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path: root/chapitres/AVD.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-23 13:46:35 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-23 13:46:35 +0100
commit6a68d5a77b707388a751b413aab831f05dd86648 (patch)
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[AC,AVD,Dedekind,plan] création deux fichiers et début de plan détaillé (+copié-collé)
Tout ce qui est copié-collé sera à réécrire totalement ; ces énoncés/démonstrations commencent par un \XXX J'aurais pu les commenter mais cela peut faire un bon point de départ.
Diffstat (limited to 'chapitres/AVD.tex')
-rw-r--r--chapitres/AVD.tex307
1 files changed, 307 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/AVD.tex b/chapitres/AVD.tex
new file mode 100644
index 0000000..5816e09
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+++ b/chapitres/AVD.tex
@@ -0,0 +1,307 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
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+\begin{document}
+\begin{center}
+titre
+\end{center}
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{titre}
+\fi
+
+\section{}
+
+\subsection{}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX Un anneau local nœthérien normal de dimension $1$ est un anneau de
+valuation discrète. [à énoncer sous forme de conditions équivalentes]
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX Deux AVD de même corps des fractions sont égaux.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX Soit $A$ un anneau de valuation discrète. Un $A$-module
+de type fini est libre si et seulement si il est sans torsion.
+\end{proposition2}
+
+\subsection{Valeurs absolues}
+
+
+\subsection{Prolongements}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX Soit $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des
+fractions $K$ et $L\bo K$ une extension finie \emph{séparable}.
+La clôture intégrale $B$ de $A$ dans $K$ est un $A$-module
+libre de rang $[L:K]$ et est un anneau de valuation discrète
+complet. Il existe un entier $e ≥ 1$, divisant $[L:K]$,
+tel que la restriction de $v_B$ à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$.
+\end{théorème}
+
+\begin{définition2}
+indice de ramification
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX Si $L\bo K$ est galoisienne, $v ∘ σ = v$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{définition2}
+Extension totalement ramifiée.
+\end{définition2}
+
+\begin{définition2}
+\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$,
+$L/K$ une extension galoisienne totalement ramifiée de groupe $G$
+et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$.
+Soit $\pi_L$ une uniformisante de $B$. On pose, pour $i\ge -1$,
+$$
+G_i:=\{\sigma\in G,\ v_L(\sigma(\pi_L)-\pi_L)\geq i+1\}
+$$
+Ce sont les sous-groupes de \emph{ramification} de $G$. Ils forment
+une filtration décroissante de $G$.
+\end{définition2}
+
+[généralisation : cas extension résiduelle séparable.]
+
+\begin{exercice2}
+Interprétation géométrique dans le cas d'une courbe affine
+et d'un automorphisme : la longueur du lieu des points
+fixes (supposés isolés) est la somme des $v_x(g π - π)$.
+\end{exercice2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Introduisons une filtration décroissante du groupe des unités de $B$,
+$B^{\times}=:U^{(0)}_L$, notée $U^{(i)}_L:=1+\MM_B^i$ pour $i\geq 1$.
+\begin{enumerate}
+\item $G_0\iso G$,
+\item Chaque $G_i$ est un sous-groupe de $G$, indépendant du choix de $\pi_L$,
+\item L'application
+$$\left\{\begin{array}{l}G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto
+\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\end{array}\right.$$ est indépendante du
+choix de $\pi_L$, et induit une injection canonique
+$$
+G_i/G_{i+1}\hra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L.
+$$
+\item On a des isomorphismes canoniques :
+$$
+\begin{array}{l}
+ U^{(0)}_L/U^{(1)}_L\iso k_L^{\times}\\
+ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\iso \MM_B^i/\MM_B^{i+1}
+\end{array}
+$$
+pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}\isononcan k_L$, non canoniquement.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\begin{proof}
+1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0\iso G$.
+Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$
+induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car
+$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad
+$v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$.
+Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$,
+réciproquement, si $\sigma\in G_i$,
+pour tout $x\in B$, on a $v_L(\sigma(x)-x)\geq i+1$.
+
+2) Pour $\sigma,\sigma'\in G_i$, l'égalité
+$$\sigma'\sigma(\pi_L)-\pi_L=\sigma'\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big)+\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big),
+$$
+où deux termes de droite appartiennent à $\MM_L^{i+1}$, suffit à montrer
+que $G_i\subset G$ est un sous-groupe.
+
+3) Montrons que pour chaque $\sigma\in G_i$, la quantité
+$\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\in U^{(i)}_L$ est, modulo $U_L^{(i+1)}$, indépendante du choix de
+l'uniformisante $\pi_L$. Soit $u\in B^{\times}$ une unité. L'égalité
+$$
+\frac{\sigma(u\pi_L)}{u\pi_L}=\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\frac{\sigma(u)}{u}.
+$$
+jointe au fait que pour un tel $\sigma$, $\sigma(u)-u\in \MM_L^{i+1}$, et donc
+$\frac{\sigma(u)}{u}\in 1+ \MM_L^{i+1}$, montre que modulo $U_L^{(i+1)}$ cette image est
+bien indépendante du choix de l'unité $u$.
+
+Pour tout $\sigma\in G$, $\sigma(\pi_L)$ est une uniformisante. Il en résulte
+que pour chaque $\sigma'\in G_i$,
+$$
+\frac{\sigma'\big(\sigma(\pi_L)\big)}{\sigma(\pi_L)}=
+\frac{\sigma'(\pi_L)}{\pi_L} \mod U^{(i+1)}_L.
+$$
+Ainsi, pour $\sigma,\sigma'\in G_i$,
+l'égalité
+$$
+\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\pi_L}=\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\sigma(\pi_L)}
+\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}
+$$
+entraîne que $G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son
+noyau est par définition $G_{i+1}$.
+
+4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B\surj k_L$ induit
+un isomorphisme $B^{\times}\ra 1+\MM_B\ra k_L^{\times}$.
+Enfin,
+$$
+\begin{array}{l}
+U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\ra \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\
+1+x\mapsto x
+\end{array}
+$$
+est un isomorphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite).
+Comme $\MM_B$ est principal, le terme de droite est un $k_L$-espace
+vectoriel de dimension $1$.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+\XXX
+Sous les hypothèses précédentes :
+\begin{enumerate}
+\item $G_0/G_1$ est cyclique d'ordre premier à la caractéristique de $k_K$,
+\item si $\mathrm{car}(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique.
+\end{enumerate}
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Comme $G_0/G_1$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $k^{\times}$, il est cyclique
+et d'ordre premier à la caractéristique.
+
+Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L\isononcan k_L$ n'a pas de sous-groupe
+fini si $k_L$ est de caractéristique nulle. En particulier $G_i/G_{i+1}=\{1\}$,
+pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)-
+\pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$.
+\end{démo}
+
+
+
+\section{Puiseux-Newton}
+
+\subsection{Polygone de Newton}
+\begin{definition2}[Polygone de Newton]
+\XXX Soient $K$ un corps muni d'une valuation discrète et $f=a_nX^n+\cdots+a_0$
+un polynôme à coefficients dans $K$. On appelle \emph{polygone de Newton}
+l'enveloppe convexe de l'ensemble des points de $\RR^2$ au-dessus
+des couples $(i,v(a_i))$, $0\leq i \leq n$.
+\end{definition2}
+
+
+\begin{theoreme2}[Factorisation et pentes du polygone de Newton]
+\XXX Soient $K$ le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète
+complet et $f=a_nX^n+\cdots+a_0\in K[X]$ un polynôme séparable de degré $n$.
+Soient $L$ un corps de décomposition de $f$ et $v_L$ la valuation de $L$ prolongeant
+celle de $K$. Soient $(x_i,y_i)$, $i=1,\dots,r$ les sommets
+du polygone de Newton, qui a donc $r$ pentes [...]. Alors,
+$$
+f=g_1\cdots g_r
+$$
+où :
+\begin{enumerate}
+\item Chaque polynôme $g_i\in K[X]$ est de degré $x_i-x_{i-1}$,
+\item Les racines $\alpha$ de $g_i$ sont toutes de valeur absolue :
+$$
+v_L(\alpha)=-\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}.
+$$
+\end{enumerate}
+\end{theoreme2}
+
+\begin{corollaire2}[Eisenstein]
+\end{corollaire2}
+
+Réciproque.
+
+\begin{proposition2}
+\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions,
+et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
+$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ \cad que l'extension
+est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante
+de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a :
+\begin{itemize}
+\item $f$ est d'Eisenstein \cad unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
+\item $$\begin{array}{l}A[X]/f\ra B\\ X\mapsto x\end{array}$$
+est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+
+\begin{proof}
+\XXX Écrivons $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_n$. Ses coefficients sont entiers sur $A$
+et dans $K$. Comme la valuation $\MM_A$-adique étendue de $x$ est $1/n$,
+le polygone de Newton a pour unique pente $-\frac{1}{n}$ (cf. \ref{Newton}).
+Il en résulte que $v(a_0)=1$ et que
+$v(a_i)\geq 1$.
+Enfin, $A[X]/f$ est local (cf. $A[X]/f\otimes_A A/\MM_A$) et de corps des fractions
+$L$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Théorème de Puiseux et structure de l'inertie modérée}
+
+\begin{theoreme2}
+\XXX Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique nulle.
+Alors, $$k((t))\sep=\cup_{n\geq 1} k((t^{1/n})).$$
+\end{theoreme2}
+
+[généralisation : variante modérée et caractéristique mixte]
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Soit $L$ une extension finie galoisienne de $K=k((t))=\mathrm{Frac}(k\[t\])$ où
+$k$ est algébriquement clos de caractéristique nulle. En particulier
+$L/K$ est totalement ramifiée. Il résulte du corollaire
+précédent que $G=\ga(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$.
+Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines
+de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne
+de groupe $\mu_n(k)$.
+Considérons une extension composée $L_n=L K_n$ :
+$$
+\xymatrix{
+L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\
+K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u]
+}
+$$
+L'extension $L_n/K$ est elle aussi galoisienne, de groupe cyclique.
+Son groupe de Galois étant cyclique, il n'a donc qu'un seul quotient isomorphe à $\ZZ/n$.
+Cela se traduit par l'égalité $L=K_n$
+et finalement $K\sep=\cup_n K_n$.
+\end{démo}
+
+
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi