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path: root/chapitres/Boole.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 11:17:23 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 11:17:23 (GMT)
commit3b779bfbdcfdf1fc4626df162f7c80790cc648af (patch)
tree3b33525d607e6c5288dc0d6340c22156d1da4552 /chapitres/Boole.tex
parente0c77f6dc4c6ab7e8a13a635b1b7c1322386c515 (diff)
downloadgalois-3b779bfbdcfdf1fc4626df162f7c80790cc648af.zip
galois-3b779bfbdcfdf1fc4626df162f7c80790cc648af.tar.gz
galois-3b779bfbdcfdf1fc4626df162f7c80790cc648af.tar.bz2
Transformation en LuaTeX : encore des chapitres(?) oubliés.
Je ne sais pas bien ce que sont ces fichiers ! Je renonce à faire compiler cohomologie-groupes.tex (trop cassé).
Diffstat (limited to 'chapitres/Boole.tex')
-rw-r--r--chapitres/Boole.tex47
1 files changed, 14 insertions, 33 deletions
diff --git a/chapitres/Boole.tex b/chapitres/Boole.tex
index 47a9506..af9e58f 100644
--- a/chapitres/Boole.tex
+++ b/chapitres/Boole.tex
@@ -1,30 +1,11 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-%\usepackage{makeidx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-%\usepackage{pxfonts}
-
-\synctex=1
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Algèbres de Boole et idempotents}
\begin{document}
-\begin{center}
-Algèbres de Boole et idempotents
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Algèbres de Boole et idempotents}
@@ -39,7 +20,7 @@ pour des compléments.
\XXX Inclure lemme 2.17 de Liu (sous $k$-algèbre étale maximale
d'une $k$-algèbre de type fini et lien avec π₀).
-\begin{exercice3}
+\begin{exercice2}
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ un anneau et $I$ un idéal.
Montrer que l'ensemble $\sqrt{I}=\{a∈A,\,∃n\,a^n∈I\}$ est un idéal
@@ -49,9 +30,9 @@ $\sqrt{Ae}=\sqrt{Af}$. Montrer que $e=f$. %c'est BBK, AC, 2, §4, lemme 1
(Indication : calculer $ef$ de deux façons différentes.)
\end{enumerate}
En particulier, deux idempotents engendrant le même idéal sont égaux.
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice3}\label{exercice-inverse-ponctuel}
+\begin{exercice2}\label{exercice-inverse-ponctuel}
Soient $A$ un anneau et $a∈A$. Montrer que s'il existe un élément
$x∈A$ tel que $axa=a$, il existe alors un \emph{unique} élément
$a^{(-1)}∈A$ tel que $aa^{(-1)}a=a$ et $a^{(-1)}aa^{(-1)}=a^{(-1)}$.
@@ -59,11 +40,11 @@ $a^{(-1)}∈A$ tel que $aa^{(-1)}a=a$ et $a^{(-1)}aa^{(-1)}=a^{(-1)}$.
constater que l'idéal $(a)$ est engendré par l'idempotent $ax$
et utiliser la remarque à la fin de l'exercice précédent.)
On dit que $a^{(-1)}$ est l'\emph{inverse ponctuel} de $a$.
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
L'exercice suivant est une réciproque au \ref{decomposition-idempotents-orthogonaux}, (ii).
-\begin{exercice3}\label{famille-orthogonale-d-idempotents}\label{Hom(prod,integre)}
+\begin{exercice2}\label{famille-orthogonale-d-idempotents}\label{Hom(prod,integre)}
Soit $B=∏_{i∈I} B_i$ un produit fini d'anneaux. Pour chaque $i∈I$, soit
$e_i$ l'élément dont la $i$-ème coordonnées est l'unité de $B_i$ et dont
les autres coordonnées sont nulles : les $e_i$
@@ -71,7 +52,7 @@ constituent une famille orthogonale d'idempotents de somme un.
Vérifier que la surjection canonique $B→B_i$ s'identifie canoniquement au
morphisme $B→Be_i$, via l'isomorphisme évident
$$Be_i=\{0\}×\cdots×\{0\}×B_i×\{0\}×\cdots×\{0\} ⥲ B_i.$$
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
%\begin{démo}
%L'égalité $(ae)\cdot (be)=(ab)e$ (pour $a$ et $b$ dans $A$) entraîne la première
@@ -79,17 +60,17 @@ $$Be_i=\{0\}×\cdots×\{0\}×B_i×\{0\}×\cdots×\{0\} ⥲ B_i.$$
%$A$.
%\end{démo}
-\begin{exercice3}\label{factorisation-vers-integre}
+\begin{exercice2}\label{factorisation-vers-integre}
\begin{enumerate}
\item Soient $B=∏_{i∈I} B_i$ un produit \emph{fini} d'anneaux et $f:B→C$ un morphisme vers
un anneau \emph{intègre}. Montrer que le morphisme $f$ se factorise de façon unique
-à travers l'un des $B_i$, \cad qu'il existe un unique entier $i'∈I$
+à travers l'un des $B_i$, c'est-à-dire qu'il existe un unique entier $i'∈I$
et un unique morphisme $f_{i'}:B_{i'}→C$ tel que $f$ soit
le composé $B↠B_{i'}\dessusdessous{f_{i'}}{→}C$.
\item Est-ce encore vrai si $I$ est infini ?
(Cf. \ref{ultraproduits}.)
\end{enumerate}
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
%\begin{démo}
%Soient $e_i$ comme dans le lemme précédent. Notons