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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 09:51:46 (GMT)
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 09:51:46 (GMT)
commit9b397c6baf243cfab623ede077eff43b67f0d05f (patch)
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new file mode 100644
index 0000000..6dc1211
--- /dev/null
+++ b/chapitres/Boole.tex
@@ -0,0 +1,98 @@
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\input{commun}
+\input{smf}
+\input{adresse}
+\input{gadgets}
+\input{francais}
+\input{numerotation}
+\input{formules}
+\input{encoredesmacros}
+\usepackage{srcltx}
+
+\title{Algèbres de Boole et idempotents}
+\setcounter{tocdepth}{3}
+%\setcounter{secnumdepth}{2}
+%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\tableofcontents
+
+Tous les anneaux considérés dans ce chapitre sont unitaires commutatifs.
+
+\begin{exercice3}
+\begin{enumerate}
+\item Soit $A$ un anneau et $I$ un idéal.
+Montrer que l'ensemble $\sqrt{I}=\{a∈A,\,∃n\,a^n∈I\}$ est un idéal
+de $A$. On l'appelle la \emph{racine} de $I$.
+\item Soient $e$ et $f$ deux idempotents d'un anneau $A$, tels que
+$\sqrt{Ae}=\sqrt{Af}$. Montrer que $e=f$. %c'est BBK, AC, 2, §4, lemme 1
+(Indication : calculer $ef$ de deux façons différentes.)
+\end{enumerate}
+En particulier, deux idempotents engendrant le même idéal sont égaux.
+\end{exercice3}
+
+\begin{exercice3}\label{exercice-inverse-ponctuel}
+Soient $A$ un anneau et $a∈A$. Montrer que s'il existe un élément
+$x∈A$ tel que $axa=a$, il existe alors un \emph{unique} élément
+$a^{(-1)}∈A$ tel que $aa^{(-1)}a=a$ et $a^{(-1)}aa^{(-1)}=a^{(-1)}$.
+(Indication : pour l'existence, considérer $a^{(-1)}=xax$. Pour l'unicité,
+constater que l'idéal $(a)$ est engendré par l'idempotent $ax$
+et utiliser la remarque à la fin de l'exercice précédent.)
+On dit que $a^{(-1)}$ est l'\emph{inverse ponctuel} de $a$.
+% cf. Bourbaki ou Olivier, « L'anneau absolument plat universel, les épimorphismes
+% et les parties constructibles » pour des compléments, à inclure en exercice [sur le
+% produit tensoriel ?] dans le livre.
+\end{exercice3}
+
+
+L'exercice suivant est une réciproque au \ref{decomposition-idempotents-orthogonaux}, (ii).
+\begin{exercice3}\label{famille-orthogonale-d-idempotents}\label{Hom(prod,integre)}
+Soit $B=∏_{i∈I} B_i$ un produit fini d'anneaux. Pour chaque $i∈I$, soit
+$e_i$ l'élément dont la $i$-ème coordonnées est l'unité de $B_i$ et dont
+les autres coordonnées sont nulles : les $e_i$
+constituent une famille orthogonale d'idempotents de somme un.
+Vérifier que la surjection canonique $B→B_i$ s'identifie canoniquement au
+morphisme $B→Be_i$, via l'isomorphisme évident
+$$Be_i=\{0\}×\cdots×\{0\}×B_i×\{0\}×\cdots×\{0\}\iso B_i.$$
+\end{exercice3}
+
+%\begin{démo}
+%L'égalité $(ae)\cdot (be)=(ab)e$ (pour $a$ et $b$ dans $A$) entraîne la première
+%assertion. Pour la seconde, on observera que si $a'∈Ae⊂A$ et $b'∈A(1-e)⊂A$, on a $a'b'=0$ dans
+%$A$.
+%\end{démo}
+
+\begin{exercice3}\label{factorisation-vers-integre}
+\begin{enumerate}
+\item Soient $B=∏_{i∈I} B_i$ un produit \emph{fini} d'anneaux et $f:B→C$ un morphisme vers
+un anneau \emph{intègre}. Montrer que le morphisme $f$ se factorise de façon unique
+à travers l'un des $B_i$, \cad qu'il existe un unique entier $i'∈I$
+et un unique morphisme $f_{i'}:B_{i'}→C$ tel que $f$ soit
+le composé $B↠B_{i'}\dessusdessous{f_{i'}}{→}C$.
+\item Est-ce encore vrai si $I$ est infini ?
+(Cf. \ref{ultraproduits}.)
+\end{enumerate}
+\end{exercice3}
+
+%\begin{démo}
+%Soient $e_i$ comme dans le lemme précédent. Notons
+%$c_i=f(e_i)$. Les $c_i$ constituent également
+%une famille orthogonale d'idempotents de somme un
+%dans $C$. Puisque $C$ est intègre, pour tout $i$, $c_i∈\{0,1\}$ ;
+%par orthogonalité au plus un des $c_i$ est égal à un.
+%Leur somme étant égale à un, il existe donc un unique $i'∈I$
+%tel que $c_{i'}=1$. Ainsi, $f(b)=f(∑_i be_i)=∑_i f(b)c_i=f(be_{i'})$.
+%Il se factorise donc à travers $B→B_{i'}≅Be_{i'}$.
+%\end{démo}
+
+\end{document}
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