diff options
author | Fabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-01-05 10:51:46 +0100 |
---|---|---|
committer | Fabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-01-05 10:51:46 +0100 |
commit | 9b397c6baf243cfab623ede077eff43b67f0d05f (patch) | |
tree | bf934a1dd51c9555c9ce0668bb262038b95be28a /chapitres/Boole.tex | |
parent | 71624bddf4e7e63397a9af8213153bdbdb06a3ba (diff) | |
download | galois-9b397c6baf243cfab623ede077eff43b67f0d05f.tar.gz galois-9b397c6baf243cfab623ede077eff43b67f0d05f.tar.bz2 galois-9b397c6baf243cfab623ede077eff43b67f0d05f.zip |
renommage massif : séparation des fichiers de configuration des chapitres etc.
Diffstat (limited to 'chapitres/Boole.tex')
-rw-r--r-- | chapitres/Boole.tex | 98 |
1 files changed, 98 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/Boole.tex b/chapitres/Boole.tex new file mode 100644 index 0000000..6dc1211 --- /dev/null +++ b/chapitres/Boole.tex @@ -0,0 +1,98 @@ +\documentclass[9pt]{smfart-moi} +\usepackage{stmaryrd} +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\input{commun} +\input{smf} +\input{adresse} +\input{gadgets} +\input{francais} +\input{numerotation} +\input{formules} +\input{encoredesmacros} +\usepackage{srcltx} + +\title{Algèbres de Boole et idempotents} +\setcounter{tocdepth}{3} +%\setcounter{secnumdepth}{2} +%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition} + +\begin{document} +\maketitle +\tableofcontents + +Tous les anneaux considérés dans ce chapitre sont unitaires commutatifs. + +\begin{exercice3} +\begin{enumerate} +\item Soit $A$ un anneau et $I$ un idéal. +Montrer que l'ensemble $\sqrt{I}=\{a∈A,\,∃n\,a^n∈I\}$ est un idéal +de $A$. On l'appelle la \emph{racine} de $I$. +\item Soient $e$ et $f$ deux idempotents d'un anneau $A$, tels que +$\sqrt{Ae}=\sqrt{Af}$. Montrer que $e=f$. %c'est BBK, AC, 2, §4, lemme 1 +(Indication : calculer $ef$ de deux façons différentes.) +\end{enumerate} +En particulier, deux idempotents engendrant le même idéal sont égaux. +\end{exercice3} + +\begin{exercice3}\label{exercice-inverse-ponctuel} +Soient $A$ un anneau et $a∈A$. Montrer que s'il existe un élément +$x∈A$ tel que $axa=a$, il existe alors un \emph{unique} élément +$a^{(-1)}∈A$ tel que $aa^{(-1)}a=a$ et $a^{(-1)}aa^{(-1)}=a^{(-1)}$. +(Indication : pour l'existence, considérer $a^{(-1)}=xax$. Pour l'unicité, +constater que l'idéal $(a)$ est engendré par l'idempotent $ax$ +et utiliser la remarque à la fin de l'exercice précédent.) +On dit que $a^{(-1)}$ est l'\emph{inverse ponctuel} de $a$. +% cf. Bourbaki ou Olivier, « L'anneau absolument plat universel, les épimorphismes +% et les parties constructibles » pour des compléments, à inclure en exercice [sur le +% produit tensoriel ?] dans le livre. +\end{exercice3} + + +L'exercice suivant est une réciproque au \ref{decomposition-idempotents-orthogonaux}, (ii). +\begin{exercice3}\label{famille-orthogonale-d-idempotents}\label{Hom(prod,integre)} +Soit $B=∏_{i∈I} B_i$ un produit fini d'anneaux. Pour chaque $i∈I$, soit +$e_i$ l'élément dont la $i$-ème coordonnées est l'unité de $B_i$ et dont +les autres coordonnées sont nulles : les $e_i$ +constituent une famille orthogonale d'idempotents de somme un. +Vérifier que la surjection canonique $B→B_i$ s'identifie canoniquement au +morphisme $B→Be_i$, via l'isomorphisme évident +$$Be_i=\{0\}×\cdots×\{0\}×B_i×\{0\}×\cdots×\{0\}\iso B_i.$$ +\end{exercice3} + +%\begin{démo} +%L'égalité $(ae)\cdot (be)=(ab)e$ (pour $a$ et $b$ dans $A$) entraîne la première +%assertion. Pour la seconde, on observera que si $a'∈Ae⊂A$ et $b'∈A(1-e)⊂A$, on a $a'b'=0$ dans +%$A$. +%\end{démo} + +\begin{exercice3}\label{factorisation-vers-integre} +\begin{enumerate} +\item Soient $B=∏_{i∈I} B_i$ un produit \emph{fini} d'anneaux et $f:B→C$ un morphisme vers +un anneau \emph{intègre}. Montrer que le morphisme $f$ se factorise de façon unique +à travers l'un des $B_i$, \cad qu'il existe un unique entier $i'∈I$ +et un unique morphisme $f_{i'}:B_{i'}→C$ tel que $f$ soit +le composé $B↠B_{i'}\dessusdessous{f_{i'}}{→}C$. +\item Est-ce encore vrai si $I$ est infini ? +(Cf. \ref{ultraproduits}.) +\end{enumerate} +\end{exercice3} + +%\begin{démo} +%Soient $e_i$ comme dans le lemme précédent. Notons +%$c_i=f(e_i)$. Les $c_i$ constituent également +%une famille orthogonale d'idempotents de somme un +%dans $C$. Puisque $C$ est intègre, pour tout $i$, $c_i∈\{0,1\}$ ; +%par orthogonalité au plus un des $c_i$ est égal à un. +%Leur somme étant égale à un, il existe donc un unique $i'∈I$ +%tel que $c_{i'}=1$. Ainsi, $f(b)=f(∑_i be_i)=∑_i f(b)c_i=f(be_{i'})$. +%Il se factorise donc à travers $B→B_{i'}≅Be_{i'}$. +%\end{démo} + +\end{document} + + + + + + |