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path: root/chapitres/Cebotarev.tex
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authorFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-04-05 15:08:22 +0200
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-04-05 15:08:22 +0200
commit1886f57b05fa5fbddaa95f3ada80c433f4564b30 (patch)
treeaadcd7f9f0089df8117a3007bfb33220a6bac712 /chapitres/Cebotarev.tex
parentd7ee57d09ef4cdd045e35280c31c3e035462a9aa (diff)
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[modp] seconde démonstration réduction modulo p
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-rw-r--r--chapitres/Cebotarev.tex68
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diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex
index 64b3821..76c3bfe 100644
--- a/chapitres/Cebotarev.tex
+++ b/chapitres/Cebotarev.tex
@@ -63,30 +63,52 @@ de $f$ (nécessairement distinctes), se décompose comme produit de $r$
cycles de longueurs $(d_1,\ldots,d_r)$.
\end{théorème2}
-\subsubsection{}Nous allons maintenant \emph{esquisser} une
-seconde démonstration de ce théorème. Supposons pour
-simplifier $f ∈ 𝐙[X]$ unitaire de degré $d$, supposé séparable
-de même que sa réduction modulo un nombre premier $p$.
-Soient $ξ₁,…,ξ_d$ ses racines dans un corps de
-décompositions $K$ de $f$. Considérons la combinaison
-linéaire « générique » $c=ξ₁Y₁+\cdots+ ξ_d Y_d$
-dans le corps $M=K(Y₁,…,Y_d)$ sur lequel $G=\Gal(f)$
-agit (trivialement sur les $Y_i$ et par permutation des
-racines $ξ_i$). On a vu en \refext{calculs}{methode-Kronecker-calcul-Galois}
-que le groupe de Galois $G$ de $f$ s'identifie au
-stabilisateur du polynôme minimal $F$ de $c$ sur $𝐐(Y₁,…,Y_d)$.
-Ce polynôme appartient à $𝐙[Y₁,…,Y_d][X]$ ; on peut donc
-considérer sa réduction $\sur{F}$ modulo $p$.
-Factorisons $\sur{F}=G₁ \cdots G_r$ dans $𝐅_p[Y₁,…,Y_d][X]$.
-D'après \emph{loc. cit.}, le groupe de Galois de la
-réduction $\sur{f}$ de $f$ modulo $p$ s'identifie
-au stabilisateur de chacun des facteurs $G_i$ : c'est un
-sous-groupe du groupe précédent.
+\subsubsection{}Nous allons maintenant donner une
+seconde démonstration de ce théorème. Soient $f$ et $p$
+comme dans l'énoncé. On suppose pour simplifier $f$
+à coefficients entiers et unitaire.
+Notons $𝐐\alg$ une clôture algébrique de $𝐐$,
+et $𝐙\alg$ la clôture intégrale de $𝐙$ correspondante.
+Soient $ξ₁,…,ξ_d$ les racines de $f$ dans $𝐙\alg$.
+Considérons la combinaison linéaire « générique » $c=ξ₁Y₁+\cdots+ ξ_d Y_d$
+dans le corps $M=𝐐\alg(Y₁,…,Y_d)$ sur lequel $𝔖_d$
+agit : trivialement sur $𝐐\alg$ et par permutation des
+variables $Y_i$. On a vu en \refext{calculs}{methode-Kronecker-calcul-Galois}
+que le groupe de Galois $G$ de $f$, identifié
+à un sous-groupe de $𝔖_d$, est le stabilisateur
+du polynôme minimal $F$ de $c$ sur $𝐐(Y₁,…,Y_d)$
+ou, plus concrètement peut-être, l'ensemble des $σ ∈ 𝔖_d$ tels que $F(σ(c))=0$.
+Comme le polynôme $F$ appartient à $𝐙[Y₁,…,Y_d][X]$, on peut
+considérer sa réduction $\sur{F}$ modulo $p$, qui est un
+polynôme annulateur de $c′=ξ₁′ Y₁+\cdots+ ξ_d′ Y_d$, où les $ξ_i′$
+sont les images des $ξ_i$ dans $𝐅_p$-algèbre $A=𝐙\alg/p$.
+Cette algèbre est non nulle car si $1=p x$ avec $x
+∈ 𝐙\alg$, on obtiendrait $1=p^r n$ avec $r,n ∈ 𝐍$ en prenant
+la norme. (Voir aussi \refext{CG}{Zalg-sur-p-non-nul}.)
+Soit $𝔪$ un idéal maximal de $A$ ; le quotient $k=A ∕ 𝔪$
+est un corps, sur lequel la réduction $\sur{f}$ de $f$
+modulo $p$ est scindé. (On vérifie sans peine que $k$ est une clôture algébrique
+de $𝐅_p$ mais cela n'est pas utile ici.)
+Par construction, le polynôme $\sur{F}$ annule
+la combinaison linéaire générique modulo $p$,
+$\sur{c}=\sur{ξ₁} Y₁+\cdots+ \sur{ξ_d} Y_d ∈ k(Y₁,…,Y_d)$ :
+le polynôme minimal $F_p ∈ 𝐅_p[Y₁,…,Y_d][X]$
+de $\sur{c}$ sur $𝐅_p(Y₁,…,Y_d)$ divise $F$.
+Notons que la surjection $𝐙\alg ↠ k$ induit une bijection entre les racines de $f$
+et celles de $\sur{f}$ donc entre celles de $F$ et
+de $\sur{F}$, ces dernières étant de la forme $σ(c)$ et
+$σ(\sur{c})$ respectivement, pour des permutations
+convenables (c'est-à-dire : dans les groupes de Galois
+de $f$ et $\sur{f}$ respectivement).
+En conséquence, si $F_p(σ(\sur{c}))=0$ (c'est-à-dire $σ$
+dans le groupe de Galois de $\sur{f}$), donc
+\emph{a fortiori} $\sur{F}(σ(\sur{c}))=0$, on a aussi $F(σ(c))=0$
+(c'est-à-dire $σ$ dans le groupe de Galois de $f$).
+On a montré que le groupe de Galois de $\sur{f}$ s'identifie
+à un sous-groupe de celui de $f$.
Le théorème ci-dessus résulte alors du fait que le groupe
-de Galois d'un corps fini est cyclique (engendré
-par la substitution de Frobenius) et que
-les identifications précédentes respectent l'action
-sur les racines.
+de Galois d'un corps fini est cyclique, engendré
+par la substitution de Frobenius.
\XXX pas hyper clair.