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author | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-03-29 18:25:45 +0200 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-03-29 18:25:45 +0200 |
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[modp] d'ebut de : 100% des polyn^omes ont S_d pour groupe de Galois
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-rw-r--r-- | chapitres/Cebotarev.tex | 57 |
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diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex index 573f6b0..b9d5624 100644 --- a/chapitres/Cebotarev.tex +++ b/chapitres/Cebotarev.tex @@ -46,8 +46,6 @@ Réduction modulo $p$ \subsection{Rappels} -Réduction modulo $p$ (chapitres précédents) : th. de Dedekind. - \begin{proposition2} Pour tout $d\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$ de degré $d$ et de groupe de Galois le groupe symétrique @@ -72,7 +70,8 @@ Son groupe de Galois $G$ agit donc transitivement sur l'ensemble de ses racines dans un corps de décomposition. Il contient un $d-1$-cycle (resp. une transposition) car il en est ainsi du groupe de Galois de $f₃$ -(resp. de $f_ℓ$) : cela résulte de +(resp. de $f_ℓ$) : cela résulte du +théorème de Dedekind (et Bauer ? \XXX) \refext{CG}{specialisation-elementaire-et-cycles}. Or, tout sous-groupe transitif de $𝔖_d$ contenant une transposition et un $d-1$-cycle est le groupe $𝔖_d$ tout @@ -89,17 +88,51 @@ La démonstration utilise les idées précédentes et les estimations utilisées en \refext{Fin}{polynomes-presque-tous-irreductibles}. \begin{théorème2}[\cite{Seltenheit-I@vdWaerden}] -La proportion des polynômes à coefficients -dans $[-N,N]$ de groupe de Galois maximal tend vers un. +Soit $d ≥ 1$ un entier. +Parmi les polynômes $f ∈ 𝐙[X]$ unitaires de degré $d$ +à coefficients dans un intervalle $[-N,N]$, la proportion +de ceux qui sont irréductibles et dont le groupe de Galois +est isomorphe à $𝔖_d$ tend vers $1$ lorsque $N$ tend +vers $+∞$. \end{théorème2} -%\begin{rmr2} -%Le lecteur prouvera dans l'exercice \ref{Algebre@Bourbaki}, \textsc{v},\S 12, nº13, -%que la proportion des polynômes de $\ZZ[X]$ de degré $n$ fixé et de groupe de Galois -%$\got{S}_n$ tend vers $1$ quand les coefficients appartiennent à des intervalles -%$[-N,N]$ avec $N→ +\infty$ (van der Waerden, \osn{1931}). -%Cf. \emph{infra} pour un résultat d'irréductibilité. -%\end{rmr2} +\begin{démo} +%Ci-dessous, on ne considère que des polynômes unitaires de degré $d$. +On suppose $d ≥ 4$ pour simplifier la discussion ; +les cas particuliers $d=2$ et $d=3$ sont plus simples +et les modifications à apporter à l'argument sont immédiates. +Pour chaque $p ≥ 3$, la proportion des polynômes +unitaires, de degré $d$ dans $𝐅_p[X]$ +qui sont : +\begin{itemize} +\item \emph{irréductibles} est au moins égale à $\frac{1}{2d}$ +(\refext{Fin}{estimation-uniforme-proportion-polynomes-irreductibles-dans-Fp}) ; +\item \emph{produit d'un facteur linéaire et d'un facteur irréductible} +(nécessairement de degré $d-1$) est au moins +$\frac{1}{1}×\frac{1}{2(d-1)}$ (puisque tout polynôme de +degré $1$ est irréductible) ; +\item \emph{produit d'un facteur quadratique irréductible et un ou deux facteurs irréductibles distincts de degrés impairs} +est au moins $\frac{1}{8(d-3)}$ : si $d$ est impair, +on peut minorer par $\frac{1}{2×2} × +\frac{1}{2(d-2)}$ (un seul facteur irréductible +de degré impair $d-2$) et, si $d$ est pair, +on peut minorer par $\frac{1}{2×2} × +\frac{1}{2(d-3)} × \frac{1}{1}$ (un facteur +irréductible de degré impair $d-3$ et un facteur +linéaire). +\end{itemize} +Ainsi, il existe un réel $0<δ<1$, indépendant de $p$, +tel que la proportion des polynômes modulo $p$ +(unitaires, de degré $d$) ayant un des trois types de décomposition précédent +est supérieure ou égale à $δ$. +Notons que tout polynôme (unitaire, de degré $d$) +à coefficients entiers ayant ses trois type de décomposition +modulo trois nombres premiers a pour groupe de Galois $𝔖_d$. +La démonstration est la même que ci-dessus, si ce n'est que +l'on doit éventuellement élever à une puissance impaire un +cycle pour obtenir une transposition. +[...] +\end{démo} \subsection{Énoncé et démonstration} |