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path: root/chapitres/Cebotarev.tex
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authorFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-29 16:25:45 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-29 16:25:45 (GMT)
commit2af2331dcf36dd8c34e63217298f5dc0b3c959ac (patch)
tree29d69221c74bc6d9fefbd654bf376633986ad0cf /chapitres/Cebotarev.tex
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[modp] d'ebut de : 100% des polyn^omes ont S_d pour groupe de Galois
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-rw-r--r--chapitres/Cebotarev.tex57
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index 573f6b0..b9d5624 100644
--- a/chapitres/Cebotarev.tex
+++ b/chapitres/Cebotarev.tex
@@ -46,8 +46,6 @@ Réduction modulo $p$
\subsection{Rappels}
-Réduction modulo $p$ (chapitres précédents) : th. de Dedekind.
-
\begin{proposition2}
Pour tout $d\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$
de degré $d$ et de groupe de Galois le groupe symétrique
@@ -72,7 +70,8 @@ Son groupe de Galois $G$ agit donc transitivement sur
l'ensemble de ses racines dans un corps de
décomposition. Il contient un $d-1$-cycle (resp. une
transposition) car il en est ainsi du groupe de Galois de $f₃$
-(resp. de $f_ℓ$) : cela résulte de
+(resp. de $f_ℓ$) : cela résulte du
+théorème de Dedekind (et Bauer ? \XXX)
\refext{CG}{specialisation-elementaire-et-cycles}.
Or, tout sous-groupe transitif de $𝔖_d$ contenant
une transposition et un $d-1$-cycle est le groupe $𝔖_d$ tout
@@ -89,17 +88,51 @@ La démonstration utilise les idées précédentes
et les estimations utilisées en \refext{Fin}{polynomes-presque-tous-irreductibles}.
\begin{théorème2}[\cite{Seltenheit-I@vdWaerden}]
-La proportion des polynômes à coefficients
-dans $[-N,N]$ de groupe de Galois maximal tend vers un.
+Soit $d ≥ 1$ un entier.
+Parmi les polynômes $f ∈ 𝐙[X]$ unitaires de degré $d$
+à coefficients dans un intervalle $[-N,N]$, la proportion
+de ceux qui sont irréductibles et dont le groupe de Galois
+est isomorphe à $𝔖_d$ tend vers $1$ lorsque $N$ tend
+vers $+∞$.
\end{théorème2}
-%\begin{rmr2}
-%Le lecteur prouvera dans l'exercice \ref{Algebre@Bourbaki}, \textsc{v},\S 12, nº13,
-%que la proportion des polynômes de $\ZZ[X]$ de degré $n$ fixé et de groupe de Galois
-%$\got{S}_n$ tend vers $1$ quand les coefficients appartiennent à des intervalles
-%$[-N,N]$ avec $N→ +\infty$ (van der Waerden, \osn{1931}).
-%Cf. \emph{infra} pour un résultat d'irréductibilité.
-%\end{rmr2}
+\begin{démo}
+%Ci-dessous, on ne considère que des polynômes unitaires de degré $d$.
+On suppose $d ≥ 4$ pour simplifier la discussion ;
+les cas particuliers $d=2$ et $d=3$ sont plus simples
+et les modifications à apporter à l'argument sont immédiates.
+Pour chaque $p ≥ 3$, la proportion des polynômes
+unitaires, de degré $d$ dans $𝐅_p[X]$
+qui sont :
+\begin{itemize}
+\item \emph{irréductibles} est au moins égale à $\frac{1}{2d}$
+(\refext{Fin}{estimation-uniforme-proportion-polynomes-irreductibles-dans-Fp}) ;
+\item \emph{produit d'un facteur linéaire et d'un facteur irréductible}
+(nécessairement de degré $d-1$) est au moins
+$\frac{1}{1}×\frac{1}{2(d-1)}$ (puisque tout polynôme de
+degré $1$ est irréductible) ;
+\item \emph{produit d'un facteur quadratique irréductible et un ou deux facteurs irréductibles distincts de degrés impairs}
+est au moins $\frac{1}{8(d-3)}$ : si $d$ est impair,
+on peut minorer par $\frac{1}{2×2} ×
+\frac{1}{2(d-2)}$ (un seul facteur irréductible
+de degré impair $d-2$) et, si $d$ est pair,
+on peut minorer par $\frac{1}{2×2} ×
+\frac{1}{2(d-3)} × \frac{1}{1}$ (un facteur
+irréductible de degré impair $d-3$ et un facteur
+linéaire).
+\end{itemize}
+Ainsi, il existe un réel $0<δ<1$, indépendant de $p$,
+tel que la proportion des polynômes modulo $p$
+(unitaires, de degré $d$) ayant un des trois types de décomposition précédent
+est supérieure ou égale à $δ$.
+Notons que tout polynôme (unitaire, de degré $d$)
+à coefficients entiers ayant ses trois type de décomposition
+modulo trois nombres premiers a pour groupe de Galois $𝔖_d$.
+La démonstration est la même que ci-dessus, si ce n'est que
+l'on doit éventuellement élever à une puissance impaire un
+cycle pour obtenir une transposition.
+[...]
+\end{démo}
\subsection{Énoncé et démonstration}