summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/Cebotarev.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-23 17:53:26 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-23 17:53:26 +0100
commit2d80f3b409b50f4f0e4672316d02d6aa2f6f185d (patch)
treea38f2a0d9d524cd6bc771d24f6bacfe604fc9bd9 /chapitres/Cebotarev.tex
parent60cdb18cbdaf36b8af359950d0ea8e4442bbaf2b (diff)
downloadgalois-2d80f3b409b50f4f0e4672316d02d6aa2f6f185d.zip
galois-2d80f3b409b50f4f0e4672316d02d6aa2f6f185d.tar.gz
galois-2d80f3b409b50f4f0e4672316d02d6aa2f6f185d.tar.bz2
[AC,AVD,modp,Dedekind] coquilles
Diffstat (limited to 'chapitres/Cebotarev.tex')
-rw-r--r--chapitres/Cebotarev.tex50
1 files changed, 25 insertions, 25 deletions
diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex
index 5ff47b1..db08f13 100644
--- a/chapitres/Cebotarev.tex
+++ b/chapitres/Cebotarev.tex
@@ -115,7 +115,7 @@ dans $[-N,N]$ de groupe de Galois maximal tend vers un.
%Le lecteur prouvera dans l'exercice \ref{Algebre@Bourbaki}, \textsc{v},\S 12, nº13,
%que la proportion des polynômes de $\ZZ[X]$ de degré $n$ fixé et de groupe de Galois
%$\got{S}_n$ tend vers $1$ quand les coefficients appartiennent à des intervalles
-%$[-N,N]$ avec $N\ra +\infty$ (van der Waerden, \osn{1931}).
+%$[-N,N]$ avec $N→ +\infty$ (van der Waerden, \osn{1931}).
%Cf. \emph{infra} pour un résultat d'irréductibilité.
%\end{rmr2}
@@ -126,18 +126,18 @@ dans $[-N,N]$ de groupe de Galois maximal tend vers un.
Un ensemble $\mc{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique)
$\delta$ si
$$
-\frac{\sum_{p\in \mc{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})}\sr{s\ra 1+}{\longrightarrow} \delta.
+\frac{\sum_{p\in \mc{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})}\dessusdessous{s→ 1+}{\longrightarrow} \delta.
$$
\end{définition2}
On utilisera de façon essentielle dans la démonstration du théorème,
que comme on s'y attend, l'ensemble des nombres premiers a pour densité $1$,
-\cad que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s\ra 1+$.
+\cad que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s→ 1+$.
Cf. chapitre précédent \refext{}{}.
\begin{théorème2}[Frobenius, 1880]\label{thm Frobenius}
Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
-Soit $G_f=\ga(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
+Soit $G_f=\Gal(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ \cad
une partition de $d$.
Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$,
@@ -166,7 +166,7 @@ Soit $F\in \ZZ[X]$. Notons $n_p(F)$ le nombre de racines de $F$ modulo $p$,
comptés avec multiplicités.
Alors,
$$
-\sum_p n_p(F)p^{-s}\sr{s>1}{=} \big(\# \textrm{facteurs irr\'eductibles de}\ F \textrm{dans}
+\sum_p n_p(F)p^{-s}\dessusdessous{s>1}{=} \big(\# \textrm{facteurs irr\'eductibles de}\ F \textrm{dans}
\ \QQ[X] \big)
\log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}(1).
$$
@@ -184,19 +184,19 @@ supposer $F$ irréductible. Enfin, quitte à multiplier $F$ par une constante et
de variable, ce qui ne change $n_p(F)$ que pour un nombre fini de nombres premiers,
on peut supposer $F$ unitaire (cf. démonstration de \ref{Dedekind}), de degré noté $d$.
Posons $A_F=\ZZ[X]/F$, et $K=\mathrm{Frac}(A_F)$.
-L'application $\SP(A_F)\ra \SP(\ZZ)$ : $\wp\mapsto \wp\cap \ZZ$ envoie un
+L'application $\Spec(A_F)→ \Spec(\ZZ)$ : $\wp\mapsto \wp\cap \ZZ$ envoie un
idéal maximal sur un idéal maximal et le cardinal de ses fibres est
au plus $d$ (cf. \ref{going-up}). Si $p=\wp\cap \ZZ$, on dit que $p$ divise
$\wp$, noté $p|\wp$. Revenons à notre problème.
Les racines de $F$ modulo $p$ sont en bijection avec les morphismes
-$A_F\surj \FF_p$, \cad les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$
+$A_F↠ \FF_p$, \cad les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$
soit un nombre premier $p$. De tels idéaux maximaux sont dit « de degré $1$ »
car en général, $A_F/\wp$ est une extension finie de $\FF_p$ (de degré $\leq d$).
Ainsi,
$$
-Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \SP\mathrm{max}.A_F, p|\wp\ \textrm{ et }
+Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \Spec\mathrm{max}.A_F, p|\wp\ \textrm{ et }
N(\wp)=p\}p^{-s},
$$
où $N\wp:=\# A_F/\wp$.
@@ -206,14 +206,14 @@ $\zeta_{\ZZ}=\zeta$ est la fonction de Euler-Riemann qui converge pour $s>1$.
De plus, comme $\zeta(2s)$ est bornée au voisinage de $1$,
on a
$$
-Z_F(s)=\sum_{\wp\in \SP\mathrm{max}.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1).
+Z_F(s)=\sum_{\wp\in \Spec\mathrm{max}.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1).
$$
En effet, les idéaux premiers de degré $\geq 2$ contribuent au maximum à hauteur
de $d\zeta(2s)$.
En particulier,
le produit
$$
-\zeta_{A_F}(s):=\prod_{(0)\neq \wp \in \SP(A_F)} \frac{1}{1-(N\wp)^{-s}}=
+\zeta_{A_F}(s):=\prod_{(0)\neq \wp \in \Spec(A_F)} \frac{1}{1-(N\wp)^{-s}}=
\prod_{\wp} \big( 1+(N\wp)^{-s}+(N\wp)^{-2s}+\cdots\big)
$$
est également convergeant pour $s>1$
@@ -228,13 +228,13 @@ $$
$$
Soit $\mc{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ;
c'est un $\ZZ$-module de type fini (\ref{normalisation finie}).
-L'inclusion $A_F\ra \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
+L'inclusion $A_F→ \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
Ainsi (cf. \ref{spectre générique}), à un nombre \emph{fini} de facteurs près,
$\zeta_{A_F}$ coïncide
-avec $\zeta_{\OO_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind.
+avec $\zeta_{𝒪_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind.
En particulier,
$$
-\log \zeta_{\OO_K}=\log \zeta_{A_F} + \mathsf{O}(1).
+\log \zeta_{𝒪_K}=\log \zeta_{A_F} + \mathsf{O}(1).
$$
La conclusion résulte alors du fait que les fonctions zêta de Dedekind
ont un pôle simple en $1$, cf. \ref{pôle en 1 de Dedekind}.
@@ -298,19 +298,19 @@ Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombre
divisant $\Delta\Delta_S$.
Soit $p\notin \Sigma_S$ ; $f\mod p$ et $\tilde{f}_S \mod p$
-sont donc à racines simples dans $\sur{\FFp}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[X_f]\ra \sur{\FFp}$
+sont donc à racines simples dans $\sur{𝐅_p}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[X_f]→ \sur{𝐅_p}$
et notons $\{\alpha_{1,p},\alpha_{2,p},\dots,\alpha_{d,p}\}$
les images des racines de $f$ par ce morphisme ; ce sont les
racines de $f \mod p$ ; les racines du second sont alors
les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \got{S}_d/S$.
-Le morphisme de Frobenius $\FR_p\in \ga(\sur{\FFp}/\FFp)$ agit sur les racines de
+Le morphisme de Frobenius $\Frob_p\in \Gal(\sur{𝐅_p}/𝐅_p)$ agit sur les racines de
ces deux polynômes par $\alpha_{i,p}\mapsto \alpha_{i,p}^p$ et correspond à
une permutation des indices $F_p\in \got{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est
-dans $\FFp$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\FR_p$, ce que l'on réécrit :
+dans $𝐅_p$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\Frob_p$, ce que l'on réécrit :
$$
\begin{array}{ll}
-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\in \FFp &\Longleftrightarrow
-\FR_p\big((\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\big)=(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\\
+(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\in 𝐅_p &\Longleftrightarrow
+\Frob_p\big((\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\big)=(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\\
& \Longleftrightarrow (F_p\sigma)\Psi_S(\sous{\alpha}_p)=\sigma\Psi_S(\sous{\alpha}_p)\\
& \Longleftrightarrow \sigma^{-1}F_p \sigma \in S
\end{array}
@@ -389,10 +389,10 @@ $$
On a alors les égalités, utilisant \ref{point clé Frob} (« $\zeta(1)=+\infty$ ») :
$$
\begin{array}{ll}
-\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s}& \sr{(\star)}{=}
+\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s}& \dessusdessous{(\star)}{=}
\sum_{\lambda} s_\lambda \frac{d!}{d!_\lambda}
\big( \sum_p p_{\lambda}^{-s}\big),\\
-\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s} & \sr{\zeta(1)=+\infty \& (\star\star)}{=}
+\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s} & \dessusdessous{\zeta(1)=+\infty \& (\star\star)}{=}
\frac{d!}{g_f} \big(\sum_{\lambda} \frac{s_\lambda g_{\lambda}}{d!_{\lambda}}\big)
\log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}_S(1),
\end{array}
@@ -404,7 +404,7 @@ $$
\sum_p p_{\lambda}^{-s}=\frac{g_{\lambda}}{g_f}\log(\frac{1}{s-1})+R_{\lambda}(s).
$$
On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ \cad reste bornée
-quand $s\ra 1+$.
+quand $s→ 1+$.
Avec ces notations, les égalités précédentes deviennent :
$$
(\star\star\star)_S\ \sum_{\lambda} \frac{s_\lambda}{d!_{\lambda}}R_{\lambda}=\mathsf{O}_S(1).
@@ -419,7 +419,7 @@ l'inégalité opposée}.
$$
Par exemple, l'élément minimal est le type de l'identité et l'élément
maximal le type d'un $d$-cycle.
-Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s \rangle$
+Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s →ngle$
le sous-groupe engendré. Compte tenu du fait que $S$ n'a aucun élément
de type $\lambda'>\lambda$ (le nombre d'orbites augmente en élevant à une puissance),
l'égalité $(\star\star\star)_S$ se devient :
@@ -440,15 +440,15 @@ du pôle simple $1$ des fonctions $\zeta$ de Dedekind, donnée en \ref{pôle en
\begin{corollaire2}
Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
Il existe une infinité de nombre premiers $p$ tel que $f$ modulo $p$ n'a pas
-de racine dans $\FFp$.
+de racine dans $𝐅_p$.
\end{corollaire2}
On peut également montrer que cet ensemble a une densité $\geq \frac{1}{d}$,
cf. \cite{Jordan@Serre}.
\begin{proof}
-Le polynôme $f$ a une racine dans $\FFp$ si et seulement si,
-la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{\FFp}$ a un point
+Le polynôme $f$ a une racine dans $𝐅_p$ si et seulement si,
+la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{𝐅_p}$ a un point
fixe. Grâce au théorème, il s'agit de démontrer que $G$ possède un élément agissant
sans point fixe (\cad qui ne soit pas de type $(1,\dots)$).
La formule