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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-23 17:53:26 +0100 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-23 17:53:26 +0100 |
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[AC,AVD,modp,Dedekind] coquilles
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diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex index 5ff47b1..db08f13 100644 --- a/chapitres/Cebotarev.tex +++ b/chapitres/Cebotarev.tex @@ -115,7 +115,7 @@ dans $[-N,N]$ de groupe de Galois maximal tend vers un. %Le lecteur prouvera dans l'exercice \ref{Algebre@Bourbaki}, \textsc{v},\S 12, nº13, %que la proportion des polynômes de $\ZZ[X]$ de degré $n$ fixé et de groupe de Galois %$\got{S}_n$ tend vers $1$ quand les coefficients appartiennent à des intervalles -%$[-N,N]$ avec $N\ra +\infty$ (van der Waerden, \osn{1931}). +%$[-N,N]$ avec $N→ +\infty$ (van der Waerden, \osn{1931}). %Cf. \emph{infra} pour un résultat d'irréductibilité. %\end{rmr2} @@ -126,18 +126,18 @@ dans $[-N,N]$ de groupe de Galois maximal tend vers un. Un ensemble $\mc{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique) $\delta$ si $$ -\frac{\sum_{p\in \mc{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})}\sr{s\ra 1+}{\longrightarrow} \delta. +\frac{\sum_{p\in \mc{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})}\dessusdessous{s→ 1+}{\longrightarrow} \delta. $$ \end{définition2} On utilisera de façon essentielle dans la démonstration du théorème, que comme on s'y attend, l'ensemble des nombres premiers a pour densité $1$, -\cad que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s\ra 1+$. +\cad que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s→ 1+$. Cf. chapitre précédent \refext{}{}. \begin{théorème2}[Frobenius, 1880]\label{thm Frobenius} Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$. -Soit $G_f=\ga(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois. +Soit $G_f=\Gal(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois. Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ \cad une partition de $d$. Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$, @@ -166,7 +166,7 @@ Soit $F\in \ZZ[X]$. Notons $n_p(F)$ le nombre de racines de $F$ modulo $p$, comptés avec multiplicités. Alors, $$ -\sum_p n_p(F)p^{-s}\sr{s>1}{=} \big(\# \textrm{facteurs irr\'eductibles de}\ F \textrm{dans} +\sum_p n_p(F)p^{-s}\dessusdessous{s>1}{=} \big(\# \textrm{facteurs irr\'eductibles de}\ F \textrm{dans} \ \QQ[X] \big) \log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}(1). $$ @@ -184,19 +184,19 @@ supposer $F$ irréductible. Enfin, quitte à multiplier $F$ par une constante et de variable, ce qui ne change $n_p(F)$ que pour un nombre fini de nombres premiers, on peut supposer $F$ unitaire (cf. démonstration de \ref{Dedekind}), de degré noté $d$. Posons $A_F=\ZZ[X]/F$, et $K=\mathrm{Frac}(A_F)$. -L'application $\SP(A_F)\ra \SP(\ZZ)$ : $\wp\mapsto \wp\cap \ZZ$ envoie un +L'application $\Spec(A_F)→ \Spec(\ZZ)$ : $\wp\mapsto \wp\cap \ZZ$ envoie un idéal maximal sur un idéal maximal et le cardinal de ses fibres est au plus $d$ (cf. \ref{going-up}). Si $p=\wp\cap \ZZ$, on dit que $p$ divise $\wp$, noté $p|\wp$. Revenons à notre problème. Les racines de $F$ modulo $p$ sont en bijection avec les morphismes -$A_F\surj \FF_p$, \cad les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$ +$A_F↠ \FF_p$, \cad les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$ soit un nombre premier $p$. De tels idéaux maximaux sont dit « de degré $1$ » car en général, $A_F/\wp$ est une extension finie de $\FF_p$ (de degré $\leq d$). Ainsi, $$ -Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \SP\mathrm{max}.A_F, p|\wp\ \textrm{ et } +Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \Spec\mathrm{max}.A_F, p|\wp\ \textrm{ et } N(\wp)=p\}p^{-s}, $$ où $N\wp:=\# A_F/\wp$. @@ -206,14 +206,14 @@ $\zeta_{\ZZ}=\zeta$ est la fonction de Euler-Riemann qui converge pour $s>1$. De plus, comme $\zeta(2s)$ est bornée au voisinage de $1$, on a $$ -Z_F(s)=\sum_{\wp\in \SP\mathrm{max}.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1). +Z_F(s)=\sum_{\wp\in \Spec\mathrm{max}.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1). $$ En effet, les idéaux premiers de degré $\geq 2$ contribuent au maximum à hauteur de $d\zeta(2s)$. En particulier, le produit $$ -\zeta_{A_F}(s):=\prod_{(0)\neq \wp \in \SP(A_F)} \frac{1}{1-(N\wp)^{-s}}= +\zeta_{A_F}(s):=\prod_{(0)\neq \wp \in \Spec(A_F)} \frac{1}{1-(N\wp)^{-s}}= \prod_{\wp} \big( 1+(N\wp)^{-s}+(N\wp)^{-2s}+\cdots\big) $$ est également convergeant pour $s>1$ @@ -228,13 +228,13 @@ $$ $$ Soit $\mc{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ; c'est un $\ZZ$-module de type fini (\ref{normalisation finie}). -L'inclusion $A_F\ra \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$. +L'inclusion $A_F→ \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$. Ainsi (cf. \ref{spectre générique}), à un nombre \emph{fini} de facteurs près, $\zeta_{A_F}$ coïncide -avec $\zeta_{\OO_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind. +avec $\zeta_{𝒪_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind. En particulier, $$ -\log \zeta_{\OO_K}=\log \zeta_{A_F} + \mathsf{O}(1). +\log \zeta_{𝒪_K}=\log \zeta_{A_F} + \mathsf{O}(1). $$ La conclusion résulte alors du fait que les fonctions zêta de Dedekind ont un pôle simple en $1$, cf. \ref{pôle en 1 de Dedekind}. @@ -298,19 +298,19 @@ Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombre divisant $\Delta\Delta_S$. Soit $p\notin \Sigma_S$ ; $f\mod p$ et $\tilde{f}_S \mod p$ -sont donc à racines simples dans $\sur{\FFp}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[X_f]\ra \sur{\FFp}$ +sont donc à racines simples dans $\sur{𝐅_p}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[X_f]→ \sur{𝐅_p}$ et notons $\{\alpha_{1,p},\alpha_{2,p},\dots,\alpha_{d,p}\}$ les images des racines de $f$ par ce morphisme ; ce sont les racines de $f \mod p$ ; les racines du second sont alors les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \got{S}_d/S$. -Le morphisme de Frobenius $\FR_p\in \ga(\sur{\FFp}/\FFp)$ agit sur les racines de +Le morphisme de Frobenius $\Frob_p\in \Gal(\sur{𝐅_p}/𝐅_p)$ agit sur les racines de ces deux polynômes par $\alpha_{i,p}\mapsto \alpha_{i,p}^p$ et correspond à une permutation des indices $F_p\in \got{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est -dans $\FFp$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\FR_p$, ce que l'on réécrit : +dans $𝐅_p$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\Frob_p$, ce que l'on réécrit : $$ \begin{array}{ll} -(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\in \FFp &\Longleftrightarrow -\FR_p\big((\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\big)=(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\\ +(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\in 𝐅_p &\Longleftrightarrow +\Frob_p\big((\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\big)=(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\\ & \Longleftrightarrow (F_p\sigma)\Psi_S(\sous{\alpha}_p)=\sigma\Psi_S(\sous{\alpha}_p)\\ & \Longleftrightarrow \sigma^{-1}F_p \sigma \in S \end{array} @@ -389,10 +389,10 @@ $$ On a alors les égalités, utilisant \ref{point clé Frob} (« $\zeta(1)=+\infty$ ») : $$ \begin{array}{ll} -\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s}& \sr{(\star)}{=} +\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s}& \dessusdessous{(\star)}{=} \sum_{\lambda} s_\lambda \frac{d!}{d!_\lambda} \big( \sum_p p_{\lambda}^{-s}\big),\\ -\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s} & \sr{\zeta(1)=+\infty \& (\star\star)}{=} +\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s} & \dessusdessous{\zeta(1)=+\infty \& (\star\star)}{=} \frac{d!}{g_f} \big(\sum_{\lambda} \frac{s_\lambda g_{\lambda}}{d!_{\lambda}}\big) \log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}_S(1), \end{array} @@ -404,7 +404,7 @@ $$ \sum_p p_{\lambda}^{-s}=\frac{g_{\lambda}}{g_f}\log(\frac{1}{s-1})+R_{\lambda}(s). $$ On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ \cad reste bornée -quand $s\ra 1+$. +quand $s→ 1+$. Avec ces notations, les égalités précédentes deviennent : $$ (\star\star\star)_S\ \sum_{\lambda} \frac{s_\lambda}{d!_{\lambda}}R_{\lambda}=\mathsf{O}_S(1). @@ -419,7 +419,7 @@ l'inégalité opposée}. $$ Par exemple, l'élément minimal est le type de l'identité et l'élément maximal le type d'un $d$-cycle. -Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s \rangle$ +Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s →ngle$ le sous-groupe engendré. Compte tenu du fait que $S$ n'a aucun élément de type $\lambda'>\lambda$ (le nombre d'orbites augmente en élevant à une puissance), l'égalité $(\star\star\star)_S$ se devient : @@ -440,15 +440,15 @@ du pôle simple $1$ des fonctions $\zeta$ de Dedekind, donnée en \ref{pôle en \begin{corollaire2} Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$. Il existe une infinité de nombre premiers $p$ tel que $f$ modulo $p$ n'a pas -de racine dans $\FFp$. +de racine dans $𝐅_p$. \end{corollaire2} On peut également montrer que cet ensemble a une densité $\geq \frac{1}{d}$, cf. \cite{Jordan@Serre}. \begin{proof} -Le polynôme $f$ a une racine dans $\FFp$ si et seulement si, -la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{\FFp}$ a un point +Le polynôme $f$ a une racine dans $𝐅_p$ si et seulement si, +la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{𝐅_p}$ a un point fixe. Grâce au théorème, il s'agit de démontrer que $G$ possède un élément agissant sans point fixe (\cad qui ne soit pas de type $(1,\dots)$). La formule |