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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 02:31:15 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 02:31:15 +0100
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@@ -153,7 +153,7 @@ d'Eisenstein.
\label{Sd-par-2-3-l}
Pour tout $d\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$
de degré $d$ et de groupe de Galois le groupe symétrique
-$\got{S}_d$.
+$\mathfrak{S}_d$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -284,10 +284,10 @@ De tels polynômes ont pour groupe de Galois $𝔖_d$ (cf. \ref{Sd-par-2-3-l})
\subsection{Énoncé du théorème}
\begin{définition2}
-Un ensemble $\mc{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique)
+Un ensemble $\mathscr{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique)
$\delta$ si
$$
-\frac{\sum_{p\in \mc{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})} → δ
+\frac{\sum_{p\in \mathscr{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})} → δ
$$
en $s=1$.
\end{définition2}
@@ -299,8 +299,8 @@ Cf. chapitre précédent \refext{}{}.
\begin{théorème2}[Frobenius, 1880]\label{thm Frobenius}
Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
-Soit $G_f=\Gal(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
-Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ c'est-à-dire
+Soit $G_f=\Gal(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \mathfrak{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
+Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\mathfrak{S}_{X_f}$ c'est-à-dire
une partition de $d$.
Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$,
$$
@@ -316,7 +316,7 @@ naturelle :
\begin{remarque2}
Il existe une version plus fine du théorème de Frobenius ci-dessus : le théorème
de Čebotarëv. Dans ce cas, on étudie les classes de conjugaison de la substitution
-de Frobenius non pas dans $\got{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général
+de Frobenius non pas dans $\mathfrak{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général
plus précis. Cette version raffinée distingue les classes $3,7$ ci-dessus.
Elle sera démontrée plus loin dans ce chapitre. \XXX
%[DÉTAILLER]
@@ -389,9 +389,9 @@ et l'on a :
$$
\log \zeta_{A_F}(s) = Z_F(s)+\mathsf{O}(1).
$$
-Soit $\mc{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ;
+Soit $\mathscr{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ;
c'est un $\ZZ$-module de type fini (\ref{normalisation finie}).
-L'inclusion $A_F→ \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
+L'inclusion $A_F→ \mathscr{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
Ainsi (cf. \ref{spectre générique}), à un nombre \emph{fini} de facteurs près,
$\zeta_{A_F}$ coïncide
avec $\zeta_{𝒪_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind.
@@ -410,11 +410,11 @@ on appliquera finalement la proposition précédente et un peu de théorie des g
\begin{lemme2}\label{Frob_1}
Soit $f$ comme en \ref{thm Frobenius}. Choisissons un ordre sur les racines :
$X_f=\{\alpha_1,\dots,\alpha_d\}$ ; on pose $\sous{\alpha}:=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in
-\sur{\QQ}^d$. Pour tout sous-groupe $S\leq \got{S}_d$,
+\sur{\QQ}^d$. Pour tout sous-groupe $S\leq \mathfrak{S}_d$,
il existe un polynôme $\Psi_{S}\in \ZZ[X_1,\dots,X_d]$ satisfaisant les conditions
suivantes :
\begin{enumerate}
-\item Pour $s\in \got{S}_d$, on a l'égalité $s\Psi_S=\Psi_d$ si et seulement si $s\in S$.
+\item Pour $s\in \mathfrak{S}_d$, on a l'égalité $s\Psi_S=\Psi_d$ si et seulement si $s\in S$.
\item $s\Psi_S(\sous{\alpha})\neq s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ si $s S\neq
s' S$.
\end{enumerate}
@@ -448,13 +448,13 @@ pour $sS\neq s'S$, et en nombre fini, il existe un élément $\sous{u}\in \ZZ^{d
tel que le polynôme $\Psi_S$ correspondant satisfasse la seconde condition du lemme.
\end{proof}
-\subsubsection{}Pour chaque $S\leq \got{S}_d$ choisissons un tel $\Psi_S$ et posons :
+\subsubsection{}Pour chaque $S\leq \mathfrak{S}_d$ choisissons un tel $\Psi_S$ et posons :
$$
-f_S:=\prod_{\sigma\in \got{S}_d}\big(X-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha})\big)\in \ZZ[X].
+f_S:=\prod_{\sigma\in \mathfrak{S}_d}\big(X-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha})\big)\in \ZZ[X].
$$
C'est un polynôme de degré $d!$, qui est la puissance $\# S$-ième de $\tilde{f}_S$,
défini par le même produit mais restreint aux $\sigma$ parcourant
-les représentants de $\got{S}_d/S$ (classes à gauche).
+les représentants de $\mathfrak{S}_d/S$ (classes à gauche).
Soient $\Delta=\mathrm{disc}(f)$ et $\Delta_S=\mathrm{disc}(\tilde{f}_S)$
leurs discriminants respectifs.
Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombres premiers
@@ -465,10 +465,10 @@ sont donc à racines simples dans $\sur{𝐅_p}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[
et notons $\{\alpha_{1,p},\alpha_{2,p},\dots,\alpha_{d,p}\}$
les images des racines de $f$ par ce morphisme ; ce sont les
racines de $f \mod p$ ; les racines du second sont alors
-les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \got{S}_d/S$.
+les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \mathfrak{S}_d/S$.
Le morphisme de Frobenius $\Frob_p\in \Gal(\sur{𝐅_p}/𝐅_p)$ agit sur les racines de
ces deux polynômes par $\alpha_{i,p}\mapsto \alpha_{i,p}^p$ et correspond à
-une permutation des indices $F_p\in \got{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est
+une permutation des indices $F_p\in \mathfrak{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est
dans $𝐅_p$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\Frob_p$, ce que l'on réécrit :
$$
\begin{array}{ll}
@@ -480,7 +480,7 @@ $$
$$
On en tire :
$$
-N_p(f_S)=\{\sigma\in \got{S}_d, \sigma^{-1}F_p\sigma\in S\}.
+N_p(f_S)=\{\sigma\in \mathfrak{S}_d, \sigma^{-1}F_p\sigma\in S\}.
$$
Prendre garde que ce n'est \emph{pas} le cardinal
de l'intersection $\big\{\textrm{classe de conjugaison de }F_p\big\}\cap S$. Rappelons également
@@ -489,58 +489,59 @@ que les racines ci-dessus sont comptées avec multiplicités.
Notons $\lambda$ le \emph{type} de la permutation $F_p$, $s_\lambda$ le nombre d'éléments
de type $\lambda$ dans $S$, $d!_{\lambda}$ le nombre de tels éléments dans
-$\got{S}_d$ et enfin $s=\# S$. Avec ces notations, l'égalité précédente
+$\mathfrak{S}_d$ et enfin $s=\# S$. Avec ces notations, l'égalité précédente
se réécrit :
$$
(\star)\ N_p(f_S)=s_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}.
$$
\subsubsection{}Soit $g_f$ le cardinal du groupe de Galois $G_f$ de $\QQ(\sous{\alpha})/\QQ$.
-Pour tout $S\leq \got{S}_d$, on a un diagramme :
-$$
-\xymatrix{
-\QQ(\sous{\alpha}) \ar@{-}[dd] & \\
-& \QQ(\Psi_S(\sous{\alpha})) \ar@{-}[ul] \ar@/_3ex/[ul]_{G_f\cap S} \\
-\QQ \ar@/^3ex/[uu]^{G_f} \ar@{-}[ur] &
-}
-$$
+Pour tout $S\leq \mathfrak{S}_d$, on a un diagramme :
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%\QQ(\sous{\alpha}) \ar@{-}[dd] & \\
+%& \QQ(\Psi_S(\sous{\alpha})) \ar@{-}[ul] \ar@/_3ex/[ul]_{G_f\cap S} \\
+%\QQ \ar@/^3ex/[uu]^{G_f} \ar@{-}[ur] &
+%}
+%$$
En effet, un élément $g\in G_f$ fixe les $\Psi_S(\sous{\alpha})$ si et seulement si
il appartient à $S$. Ainsi le degré de l'extension $\QQ(\Psi_S(\sous{\alpha}))/\QQ$
est
$$
c_S:=\frac{g_f}{\#(G_f\cap S)}.
$$
-%Rappelons qu'\emph{a priori}, l'inclusion $G_f\hra \got{S}_d$ peut-être stricte :
-%un élément quelconque de $\got{S}_d$ ne correspond pas nécessairement à un automorphisme
+%Rappelons qu'\emph{a priori}, l'inclusion $G_f\hra \mathfrak{S}_d$ peut-être stricte :
+%un élément quelconque de $\mathfrak{S}_d$ ne correspond pas nécessairement à un automorphisme
%de corps.
Pour $S$ donné, les conjugués (sur $\QQ$) de
$\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont donc au nombre de $c_S$ ; ce sont
des racines de $f_S$ :
$\sigma_1\Psi_S(\sous{\alpha}),\dots,\sigma_{c_S}\Psi_S(\sous{\alpha})$,
-pour des $\sigma_i\in \got{S}_d$ convenables. Pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$,
+pour des $\sigma_i\in \mathfrak{S}_d$ convenables. Pour chaque $\sigma\in \mathfrak{S}_d$,
la fonction polynomiale $\sigma\Psi_{S}$ satisfait aux conditions du lemme \ref{Frob_1},
-pour le sous-groupe $S_{\sigma}:=\sigma S \sigma^{-1}$ de $\got{S}$.
+pour le sous-groupe $S_{\sigma}:=\sigma S \sigma^{-1}$ de $\mathfrak{S}$.
Notons $$g_{\sigma,S}=\# G_f\cap S_{\sigma}$$ le cardinal de cette intersection.
En vertu de la formule précédente,
les $\sigma_i\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont de degré $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}$
sur $\QQ$. Comme ils sont tous conjugués, on a : $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}=c_S=
\frac{g_f}{g_{e,S}}$.
Finalement, $$g_f=c_S g_{e,S}=\sum_{i=1}^{c_S}g_{\sigma_i,S}.$$
-Si l'on somme sur tous les $\sigma\in \got{S}_d$ cette égalité,
+Si l'on somme sur tous les $\sigma\in \mathfrak{S}_d$ cette égalité,
on obtient :
$$
-\sum_{\sigma\in \got{S}_d} g_{\sigma,S}=m_S g_f,
+\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_d} g_{\sigma,S}=m_S g_f,
$$
où $m_S$ est le nombre de facteurs irréductibles de $f_S$.
En regroupant par type :
$$
\sum_{\lambda}
-\underbrace{\sum_{\sigma\in\got{S}_d}\big(\textrm{nombre d'éléments de }S_{\sigma}\cap G_f
+\underbrace{\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_d}\big(\textrm{nombre d'éléments de }S_{\sigma}\cap G_f
\textrm{ de type }\lambda\big)}_{=s_{\lambda} g_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}}.
$$
où l'égalité sous l'accolade résulte de ce que, si $s_1,\cdots,s_{s_{\lambda}}$ sont
les éléments de $S$ de type $\lambda$ et $g_1,\dots,g_{g_{\lambda}}$
-ceux de $G$, pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$,
+ceux de $G$, pour chaque $\sigma\in \mathfrak{S}_d$,
les $\sigma s_i \sigma^{-1}$ sont les éléments de type $\lambda$ dans $S_{\sigma}$
et $\# \{\sigma,\ \sigma s_i \sigma^{-1}=g_j \}=\frac{d!}{d!_{\lambda}}$.
@@ -575,14 +576,14 @@ $$
\subsubsection{} Jusqu'à présent, le sous-groupe $S$ était fixe. On va utiliser des groupes
variables pour démontrer $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ par récurrence.
-Introduisons l'ordre partiel suivant sur les types d'éléments de $\got{S}_d$ :
+Introduisons l'ordre partiel suivant sur les types d'éléments de $\mathfrak{S}_d$ :
$$
\lambda'<\lambda \textrm{ si et seulement si les nombres d'orbites correspondants vérifient
l'inégalité opposée}.
$$
Par exemple, l'élément minimal est le type de l'identité et l'élément
maximal le type d'un $d$-cycle.
-Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s →ngle$
+Soient $s\in\mathfrak{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s →ngle$
le sous-groupe engendré. Compte tenu du fait que $S$ n'a aucun élément
de type $\lambda'>\lambda$ (le nombre d'orbites augmente en élevant à une puissance),
l'égalité $(\star\star\star)_S$ se devient :