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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-04-05 08:57:03 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-04-05 08:57:03 (GMT)
commit6f4c880cfc589b84ccf3143778c1302a4e21dab0 (patch)
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[modp] fin argument probabiliste + ajout rappel
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index 66e5f26..190d9e7 100644
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+++ b/chapitres/Cebotarev.tex
@@ -31,7 +31,7 @@
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-\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
+%\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
\begin{document}
\begin{center}
@@ -42,11 +42,59 @@ Réduction modulo $p$
\chapter{Réduction modulo $p$}
\fi
-\section{Le théorème de Frobenius}
+\section{Généralités}
+
+\subsection{Le théorème de spécialisation du groupe de
+Galois par réduction modulo $p$}
+
+L'objectif principal de ce chapitre est d'établir une réciproque
+au théorème \refext{CG}{specialisation-elementaire-et-cycles},
+dont nous commençons par rappeler l'énoncé :
+
+\begin{théorème2}
+Soit $f \in \QQ[X]$ un polynôme unitaire à coefficients rationnels et
+$p$ un nombre premier, ne divisant le dénominateur d'aucun coefficient
+de $f$, tel que la réduction $f_p \in \FF_p[X]$ de $f$ modulo $p$ soit
+séparable, et soient $d_1,\ldots,d_r$ (avec $d_1 + \cdots + d_r
+= \deg(f)$) les degrés des facteurs irréductibles de $f_p$. Alors le
+groupe de Galois $G_f$ de $f$ contient un élément qui, vu comme
+élément de $\mathfrak{S}_{\deg(f)}$ par son action sur les racines
+de $f$ (nécessairement distinctes), se décompose comme produit de $r$
+cycles de longueurs $(d_1,\ldots,d_r)$.
+\end{théorème2}
-\subsection{Rappels}
+\subsubsection{}Nous allons maintenant \emph{esquisser} une
+seconde démonstration de ce théorème. Supposons pour
+simplifier $f ∈ 𝐙[X]$ unitaire de degré $d$, supposé séparable
+de même que sa réduction modulo un nombre premier $p$.
+Soient $ξ₁,…,ξ_d$ ses racines dans un corps de
+décompositions $K$ de $f$. Considérons la combinaison
+linéaire « générique » $c=ξ₁Y₁+\cdots+ ξ_d Y_d$
+dans le corps $M=K(Y₁,…,Y_d)$ sur lequel $G=\Gal(f)$
+agit (trivialement sur les $Y_i$ et par permutation des
+racines $ξ_i$). On a vu en \refext{calculs}{methode-Kronecker-calcul-Galois}
+que le groupe de Galois $G$ de $f$ s'identifie au
+stabilisateur du polynôme minimal $F$ de $c$ sur $𝐐(Y₁,…,Y_d)$.
+Ce polynôme appartient à $𝐙[Y₁,…,Y_d][X]$ ; on peut donc
+considérer sa réduction $\sur{F}$ modulo $p$.
+Factorisons $\sur{F}=G₁ \cdots G_r$ dans $𝐅_p[Y₁,…,Y_d][X]$.
+D'après \emph{loc. cit.}, le groupe de Galois de la
+réduction $\sur{f}$ de $f$ modulo $p$ s'identifie
+au stabilisateur de chacun des facteurs $G_i$ : c'est un
+sous-groupe du groupe précédent.
+Le théorème ci-dessus résulte alors du fait que le groupe
+de Galois d'un corps fini est cyclique (engendré
+par la substitution de Frobenius) et que
+les identifications précédentes respectent l'action
+sur les racines.
+
+\XXX pas hyper clair.
+
+
+\subsection{Abondance des polynômes de groupe de Galois maximal}
\begin{proposition2}
+\label{Sd-par-2-3-l}
Pour tout $d\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$
de degré $d$ et de groupe de Galois le groupe symétrique
$\got{S}_d$.
@@ -60,34 +108,35 @@ est irréductible (resp. produit d'un facteur linéaire
et d'un facteur irréductible de degré $d-1$, resp. produit
d'un facteur quadratique irréductible et de facteurs
linéaires).
-L'existence de ces polynômes est assurée par \refext{Fin}{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}.
-Pour $f_ℓ$, on utilise également le fait que $\#𝐅_ℓ ≥ d-2$
-pour garantir de l'existence de suffisamment de facteurs linéaires distincts.
+L'existence de ces polynômes est assurée par \refext{Fin}{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}
+et, dans le cas de $f_ℓ$, on utilise également l'inégalité $\#𝐅_ℓ ≥ d-2$
+garantissant l'existence de suffisamment de facteurs linéaires distincts.
Soit $f ∈ 𝐙[X]$ unitaire de degré $d$ relevant $f₂,f₃$
-et $f_ℓ$ ; son existence résulte du lemme chinois.
-Le polynôme $f$ est irréductible car $f₂$ l'est.
+et $f_ℓ$, dont l'existence résulte du lemme chinois.
+Il est irréductible car $f₂$ l'est.
Son groupe de Galois $G$ agit donc transitivement sur
l'ensemble de ses racines dans un corps de
décomposition. Il contient un $d-1$-cycle (resp. une
transposition) car il en est ainsi du groupe de Galois de $f₃$
(resp. de $f_ℓ$) : cela résulte du
-théorème de Dedekind (et Bauer ? \XXX)
-\refext{CG}{specialisation-elementaire-et-cycles}.
+théorème de Dedekind \commentaire{Dedekind et un certain Bauer (cf.
+van der Waerden) ?} \refext{CG}{specialisation-elementaire-et-cycles}.
Or, tout sous-groupe transitif de $𝔖_d$ contenant
une transposition et un $d-1$-cycle est le groupe $𝔖_d$ tout
-entier. En effet, on peut supposer que les $d-1$-cycle est
+entier. En effet, on peut supposer que le $d-1$-cycle est
$c=(1,2,…,d-1)$ et, par transitivité de l'action que
-la transposition est $τ=(i,d)$ pour un $1 ≤ i ≤ d-1$. Par conjugaison, on obtient
+la transposition est $τ=(i,d)$ pour un $1 ≤ i ≤ d-1$. Par
+conjugaison par les puissances de $c$, on obtient
toutes les transpositions $(j,d)$. Il est bien connu
-qu'elles engendrent $𝔖_d$ (l'arbre naturellement associé est
-connexe).
+qu'elles engendrent $𝔖_d$ : l'arbre naturellement associé est
+connexe.
\end{démo}
-Nous allons préciser la proposition précédente en démontrons le théorème suivant.
-La démonstration utilise les idées précédentes
-et les estimations utilisées en \refext{Fin}{polynomes-presque-tous-irreductibles}.
+Nous allons préciser la proposition précédente en démontrons
+le théorème suivant, en utilisant les idées précédentes
+ainsi que les estimations utilisées en \refext{Fin}{polynomes-presque-tous-irreductibles}.
-\begin{théorème2}[\cite{Dorge},\cite{Seltenheit-I@vdWaerden}]
+\begin{théorème2}[\cite{Seltenheit@Dorge},\cite{Seltenheit-I@vdWaerden}]
Soit $d ≥ 1$ un entier.
Parmi les polynômes $f ∈ 𝐙[X]$ unitaires de degré $d$
à coefficients dans un intervalle $[-N,N]$, la proportion
@@ -105,37 +154,55 @@ Pour chaque $p ≥ 3$, la proportion des polynômes
unitaires, de degré $d$ dans $𝐅_p[X]$
qui sont :
\begin{itemize}
-\item \emph{irréductibles} est au moins égale à $\frac{1}{2d}$
+\item « de type $1$ », c'est-à-dire \emph{irréductibles}, est au moins égale à $\frac{1}{2d}$
(\refext{Fin}{estimation-uniforme-proportion-polynomes-irreductibles-dans-Fp}) ;
-\item \emph{produit d'un facteur linéaire et d'un facteur irréductible}
+\item « de type $2$ », c'est-à-dire \emph{produits d'un facteur linéaire et d'un facteur irréductible}
(nécessairement de degré $d-1$) est au moins
$\frac{1}{1}×\frac{1}{2(d-1)}$ (puisque tout polynôme de
degré $1$ est irréductible) ;
-\item \emph{produit d'un facteur quadratique irréductible et un ou deux facteurs irréductibles distincts de degrés impairs}
+\item « de type $3$ », c'est-à-dire \emph{produits
+d'un facteur quadratique irréductible et un ou deux facteurs irréductibles distincts de degrés impairs}
est au moins $\frac{1}{8(d-3)}$ : si $d$ est impair,
-on peut minorer par $\frac{1}{2×2} ×
-\frac{1}{2(d-2)}$ (un seul facteur irréductible
-de degré impair $d-2$) et, si $d$ est pair,
-on peut minorer par $\frac{1}{2×2} ×
-\frac{1}{2(d-3)} × \frac{1}{1}$ (un facteur
-irréductible de degré impair $d-3$ et un facteur
-linéaire).
+on peut minorer cette proportion par $\frac{1}{2×2} ×
+\frac{1}{2(d-2)}$ — correspondant à la partition
+$d=2+(d-2)$ — et, si $d$ est pair,
+on peut la minorer par $\frac{1}{2×2} ×
+\frac{1}{2(d-3)} × \frac{1}{1}$
+— correspondant à la partition $d=2+(d-3)+1$ —.
\end{itemize}
-Ainsi, il existe un réel $0<δ<1$, indépendant de $p$,
+Ainsi, il existe un réel $0<δ<1$, \emph{indépendant de $p$},
tel que la proportion des polynômes modulo $p$
(unitaires, de degré $d$) ayant un des trois types de décomposition précédent
est supérieure ou égale à $δ$.
Notons que tout polynôme (unitaire, de degré $d$)
-à coefficients entiers ayant ses trois type de décomposition
-modulo trois nombres premiers a pour groupe de Galois $𝔖_d$.
+à coefficients entiers ayant ses trois types de décomposition
+modulo trois nombres premiers distincts a pour groupe de Galois $𝔖_d$.
La démonstration est la même que ci-dessus, si ce n'est que
l'on doit éventuellement élever à une puissance impaire un
cycle pour obtenir une transposition.
-[...]
+Soit $P=p₁…p_r$ un produit de nombres premiers distincts $≠2$.
+Il résulte du lemme chinois et de ce qui précède que pour chaque $t ∈ \{1,2,3\}$,
+la proportion des polynômes unitaires de degré $d$ de $𝐙/P[X]$
+dont aucune des réductions modulo $p₁,…,p_r$ n'est de
+type $t$ est au plus $(1-δ)^r$. En conséquence,
+le nombre de polynômes unitaires $f$ de degré $d$ de $𝐙/P[X]$
+tel que pour chaque $t ∈ \{1,2,3\}$, il existe un $p_t | P$
+tel que $f \mod p_t$ soit de type $t$ est \emph{au moins}
+$(1-3(1-δ)^r) P^d$. Soit maintenant $ε >0$ et $r$
+tel que $2^d ⋅ 3(1-δ)^r< ε$.
+Alors, la proportion des polynômes unitaires de degré $d$
+à coefficients dans $[-N,N]$ dont les réductions
+modulo $p₁,…,p_r$ réalisent les trois types considérés
+est supérieure ou égale à $1-ε$. (Le calcul
+a été fait en \refext{Fin}{polynomes-presque-tous-irreductibles}.)
+De tels polynômes ont pour groupe de Galois $𝔖_d$ (cf.
+\ref{Sd-par-2-3-l}).
\end{démo}
-\subsection{Énoncé et démonstration}
+\section{Le théorème de Frobenius-Čebotarëv}
+
+\subsection{Énoncé du théorème}
\begin{définition2}
Un ensemble $\mc{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique)