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authorFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-29 15:12:01 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-29 15:12:01 (GMT)
commit9a7e63edb847324b52a90c40bca7b5d494426d9b (patch)
tree6511024910bde470e7fb0c036b70a9a0fc44db88 /chapitres/Cebotarev.tex
parent452fb7d95c78137e1a96b52dca37d3c2132d4b57 (diff)
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[modp] il existe des polyn^omes de groupe S_d pour tout d
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-rw-r--r--chapitres/Cebotarev.tex106
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index b52bddc..573f6b0 100644
--- a/chapitres/Cebotarev.tex
+++ b/chapitres/Cebotarev.tex
@@ -1,5 +1,6 @@
\ifx\danslelivre\undefined
\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
+\usepackage{palatino,euler}
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\input{../configuration/smf}
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@@ -8,7 +9,6 @@
\input{../configuration/numerotation}
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-\synctex=1
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
@@ -21,6 +21,7 @@
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
+\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{formes-tordues}
\externaldocument{spectre}
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@@ -47,69 +48,50 @@ Réduction modulo $p$
Réduction modulo $p$ (chapitres précédents) : th. de Dedekind.
-Nous obtenons une $x$-ième démonstration du théorème suivant.
-
-\begin{théorème2}
-Pour tout $n\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$
-de degré $n$ et de groupe de Galois le groupe symétrique $\got{S}_n$.
-\end{théorème2}
-
-%\begin{proof}
-%Considérons trois polynômes de degré $n$ :
-%$f_2\in \FF_2[X]$ le produit d'un terme linéaire et d'une polynôme irréductible,
-%$f_3\in \FF_3[X]$ le produit d'un facteur irréductible de degré $2$ et de facteurs
-%irréductibles de degrés impairs et enfin $f_5\in \FF_5[X]$ irréductible.
-%L'existence de tels polynômes résulte de \ref{Zêta A^1}. Considérons des relèvements
-%unitaires arbitraires $g_2,g_3,g_5$ de ces polynômes à $\ZZ[X]$ et posons
-%$$f:=15g_2+10g_3+6g_5\in \ZZ[X] ;$$
-%pour $p\in \{2,3,5\}$, $f \mod p = f_p$.
-%D'après la proposition précédente (\ref{Dedekind}), le groupe de Galois de $f$
-%contient donc un $(n-1)$-cycle, un $n$-cycle et le produit d'une transposition
-%par des cycles d'ordres impairs. Un tel groupe est nécessairement le groupe
-%symétrique entier (cf. lemme ci-dessous).
-%\end{proof}
-
-%\begin{lmm2}
-%Soient $n\geq 2$ un entier et $G\leq \got{S}_n$ contenant un $(n-1)$-cycle,
-%un $n$-cycle et le produit d'une transposition par des cycles d'ordres impairs.
-%Alors, $G=\got{S}_n$.
-%\end{lmm2}
-
-%\begin{proof}
-%Quitte à élever l'élément du troisième type à une puissance impaire, et
-%renuméroter, on peut supposer que $G$ contient $(12)$. En conjuguant $(12)$ par
-%le $n$-cycle, on peut obtenir une transposition dont un des deux éléments
-%est fixe par le $(n-1)$-cycle. Quitte à renuméroter, on peut donc supposer que
-%$G$ contient $(12)$ et $(234\cdots n)$. Il en résulte que $G$ contient
-%$(1i)$ pour tout $i\in [2,n]$ et finalement, $G=\got{S}_n$.
-%\end{proof}
-
-\begin{lemme2}
-La plupart des polynômes à coefficients entiers sont
-irréductibles.
-\end{lemme2}
-
-Fixons un entier $d\geq 1$.
-Soient $p_1,\dots,p_r$, $r$ nombres premiers distincts.
-Posons
-$$\delta_i:=\frac{\#\{\text{polynômes irréductibles unitaires de degré }
-d \text{ sur } \FF_{p_i}\}}{p_i^d}.$$
-Il résulte du théorème de Bézout que la proportion
-de polynômes $f=X^d+a_1X^{d-1}+\cdots+a_d\in \ZZ[X]$ satisfaisant
-$0\leq a_i<p_1\cdots p_r$ et \emph{réductibles} modulo $p_1,\dots,p_r$
-est :
-$$
-(1-\delta_1)\cdots (1-\delta_r).
-$$
-Si $p_i\geq 3$, $\frac{p_i-2}{p_i-1}\geq \frac{1}{2}$ donc $\delta_i\geq \frac{1}{2d}$ ;
-il en résulte que la proportion de polynômes unitaires réductibles modulo $p_1,\dots,p_r$
-et à coefficients strictement inférieurs à $p_1\cdots p_r$ est
-au plus $(1-\frac{1}{2d})^r$.
-
\begin{proposition2}
+Pour tout $d\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$
+de degré $d$ et de groupe de Galois le groupe symétrique
+$\got{S}_d$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soit $ℓ ≥ d-2$ un nombre premier différent de $2$ et $3$.
+Soit $f₂ ∈ 𝐅₂[X]$ (resp. $f₃ ∈ 𝐅₃[X]$, $f_ℓ ∈ 𝐅_ℓ[X]$)
+un polynôme unitaire séparable de degré $d$ qui
+est irréductible (resp. produit d'un facteur linéaire
+et d'un facteur irréductible de degré $d-1$, resp. produit
+d'un facteur quadratique irréductible et de facteurs
+linéaires).
+L'existence de ces polynômes est assurée par \refext{Fin}{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}.
+Pour $f_ℓ$, on utilise également le fait que $\#𝐅_ℓ ≥ d-2$
+pour garantir de l'existence de suffisamment de facteurs linéaires distincts.
+Soit $f ∈ 𝐙[X]$ unitaire de degré $d$ relevant $f₂,f₃$
+et $f_ℓ$ ; son existence résulte du lemme chinois.
+Le polynôme $f$ est irréductible car $f₂$ l'est.
+Son groupe de Galois $G$ agit donc transitivement sur
+l'ensemble de ses racines dans un corps de
+décomposition. Il contient un $d-1$-cycle (resp. une
+transposition) car il en est ainsi du groupe de Galois de $f₃$
+(resp. de $f_ℓ$) : cela résulte de
+\refext{CG}{specialisation-elementaire-et-cycles}.
+Or, tout sous-groupe transitif de $𝔖_d$ contenant
+une transposition et un $d-1$-cycle est le groupe $𝔖_d$ tout
+entier. En effet, on peut supposer que les $d-1$-cycle est
+$c=(1,2,…,d-1)$ et, par transitivité de l'action que
+la transposition est $τ=(i,d)$ pour un $1 ≤ i ≤ d-1$. Par conjugaison, on obtient
+toutes les transpositions $(j,d)$. Il est bien connu
+qu'elles engendrent $𝔖_d$ (l'arbre naturellement associé est
+connexe).
+\end{démo}
+
+Nous allons préciser la proposition précédente en démontrons le théorème suivant.
+La démonstration utilise les idées précédentes
+et les estimations utilisées en \refext{Fin}{polynomes-presque-tous-irreductibles}.
+
+\begin{théorème2}[\cite{Seltenheit-I@vdWaerden}]
La proportion des polynômes à coefficients
dans $[-N,N]$ de groupe de Galois maximal tend vers un.
-\end{proposition2}
+\end{théorème2}
%\begin{rmr2}
%Le lecteur prouvera dans l'exercice \ref{Algebre@Bourbaki}, \textsc{v},\S 12, nº13,
@@ -154,7 +136,7 @@ naturelle :
\begin{remarque2}
Il existe une version plus fine du théorème de Frobenius ci-dessus : le théorème
-de Čebotarev. Dans ce cas, on étudie les classes de conjugaison de la substitution
+de Čebotarëv. Dans ce cas, on étudie les classes de conjugaison de la substitution
de Frobenius non pas dans $\got{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général
plus précis. Cette version raffinée distingue les classes $3,7$ ci-dessus.
Elle sera démontrée plus loin dans ce chapitre. \XXX