diff options
author | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-03-29 17:12:01 +0200 |
---|---|---|
committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-03-29 17:12:01 +0200 |
commit | 9a7e63edb847324b52a90c40bca7b5d494426d9b (patch) | |
tree | 6511024910bde470e7fb0c036b70a9a0fc44db88 /chapitres/Cebotarev.tex | |
parent | 452fb7d95c78137e1a96b52dca37d3c2132d4b57 (diff) | |
download | galois-9a7e63edb847324b52a90c40bca7b5d494426d9b.tar.gz galois-9a7e63edb847324b52a90c40bca7b5d494426d9b.tar.bz2 galois-9a7e63edb847324b52a90c40bca7b5d494426d9b.zip |
[modp] il existe des polyn^omes de groupe S_d pour tout d
Diffstat (limited to 'chapitres/Cebotarev.tex')
-rw-r--r-- | chapitres/Cebotarev.tex | 106 |
1 files changed, 44 insertions, 62 deletions
diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex index b52bddc..573f6b0 100644 --- a/chapitres/Cebotarev.tex +++ b/chapitres/Cebotarev.tex @@ -1,5 +1,6 @@ \ifx\danslelivre\undefined \documentclass[9pt]{../configuration/smfart} +\usepackage{palatino,euler} \input{../configuration/commun} \input{../configuration/smf} \input{../configuration/adresse} @@ -8,7 +9,6 @@ \input{../configuration/numerotation} \input{../configuration/formules} \input{../configuration/encoredesmacros} -\synctex=1 \usepackage{stmaryrd} \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} @@ -21,6 +21,7 @@ \externaldocument{extensions-algebriques} \externaldocument{correspondance-galois} +\externaldocument{corps-finis} \externaldocument{formes-tordues} \externaldocument{spectre} \externaldocument{verselles} @@ -47,69 +48,50 @@ Réduction modulo $p$ Réduction modulo $p$ (chapitres précédents) : th. de Dedekind. -Nous obtenons une $x$-ième démonstration du théorème suivant. - -\begin{théorème2} -Pour tout $n\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$ -de degré $n$ et de groupe de Galois le groupe symétrique $\got{S}_n$. -\end{théorème2} - -%\begin{proof} -%Considérons trois polynômes de degré $n$ : -%$f_2\in \FF_2[X]$ le produit d'un terme linéaire et d'une polynôme irréductible, -%$f_3\in \FF_3[X]$ le produit d'un facteur irréductible de degré $2$ et de facteurs -%irréductibles de degrés impairs et enfin $f_5\in \FF_5[X]$ irréductible. -%L'existence de tels polynômes résulte de \ref{Zêta A^1}. Considérons des relèvements -%unitaires arbitraires $g_2,g_3,g_5$ de ces polynômes à $\ZZ[X]$ et posons -%$$f:=15g_2+10g_3+6g_5\in \ZZ[X] ;$$ -%pour $p\in \{2,3,5\}$, $f \mod p = f_p$. -%D'après la proposition précédente (\ref{Dedekind}), le groupe de Galois de $f$ -%contient donc un $(n-1)$-cycle, un $n$-cycle et le produit d'une transposition -%par des cycles d'ordres impairs. Un tel groupe est nécessairement le groupe -%symétrique entier (cf. lemme ci-dessous). -%\end{proof} - -%\begin{lmm2} -%Soient $n\geq 2$ un entier et $G\leq \got{S}_n$ contenant un $(n-1)$-cycle, -%un $n$-cycle et le produit d'une transposition par des cycles d'ordres impairs. -%Alors, $G=\got{S}_n$. -%\end{lmm2} - -%\begin{proof} -%Quitte à élever l'élément du troisième type à une puissance impaire, et -%renuméroter, on peut supposer que $G$ contient $(12)$. En conjuguant $(12)$ par -%le $n$-cycle, on peut obtenir une transposition dont un des deux éléments -%est fixe par le $(n-1)$-cycle. Quitte à renuméroter, on peut donc supposer que -%$G$ contient $(12)$ et $(234\cdots n)$. Il en résulte que $G$ contient -%$(1i)$ pour tout $i\in [2,n]$ et finalement, $G=\got{S}_n$. -%\end{proof} - -\begin{lemme2} -La plupart des polynômes à coefficients entiers sont -irréductibles. -\end{lemme2} - -Fixons un entier $d\geq 1$. -Soient $p_1,\dots,p_r$, $r$ nombres premiers distincts. -Posons -$$\delta_i:=\frac{\#\{\text{polynômes irréductibles unitaires de degré } -d \text{ sur } \FF_{p_i}\}}{p_i^d}.$$ -Il résulte du théorème de Bézout que la proportion -de polynômes $f=X^d+a_1X^{d-1}+\cdots+a_d\in \ZZ[X]$ satisfaisant -$0\leq a_i<p_1\cdots p_r$ et \emph{réductibles} modulo $p_1,\dots,p_r$ -est : -$$ -(1-\delta_1)\cdots (1-\delta_r). -$$ -Si $p_i\geq 3$, $\frac{p_i-2}{p_i-1}\geq \frac{1}{2}$ donc $\delta_i\geq \frac{1}{2d}$ ; -il en résulte que la proportion de polynômes unitaires réductibles modulo $p_1,\dots,p_r$ -et à coefficients strictement inférieurs à $p_1\cdots p_r$ est -au plus $(1-\frac{1}{2d})^r$. - \begin{proposition2} +Pour tout $d\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$ +de degré $d$ et de groupe de Galois le groupe symétrique +$\got{S}_d$. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Soit $ℓ ≥ d-2$ un nombre premier différent de $2$ et $3$. +Soit $f₂ ∈ 𝐅₂[X]$ (resp. $f₃ ∈ 𝐅₃[X]$, $f_ℓ ∈ 𝐅_ℓ[X]$) +un polynôme unitaire séparable de degré $d$ qui +est irréductible (resp. produit d'un facteur linéaire +et d'un facteur irréductible de degré $d-1$, resp. produit +d'un facteur quadratique irréductible et de facteurs +linéaires). +L'existence de ces polynômes est assurée par \refext{Fin}{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}. +Pour $f_ℓ$, on utilise également le fait que $\#𝐅_ℓ ≥ d-2$ +pour garantir de l'existence de suffisamment de facteurs linéaires distincts. +Soit $f ∈ 𝐙[X]$ unitaire de degré $d$ relevant $f₂,f₃$ +et $f_ℓ$ ; son existence résulte du lemme chinois. +Le polynôme $f$ est irréductible car $f₂$ l'est. +Son groupe de Galois $G$ agit donc transitivement sur +l'ensemble de ses racines dans un corps de +décomposition. Il contient un $d-1$-cycle (resp. une +transposition) car il en est ainsi du groupe de Galois de $f₃$ +(resp. de $f_ℓ$) : cela résulte de +\refext{CG}{specialisation-elementaire-et-cycles}. +Or, tout sous-groupe transitif de $𝔖_d$ contenant +une transposition et un $d-1$-cycle est le groupe $𝔖_d$ tout +entier. En effet, on peut supposer que les $d-1$-cycle est +$c=(1,2,…,d-1)$ et, par transitivité de l'action que +la transposition est $τ=(i,d)$ pour un $1 ≤ i ≤ d-1$. Par conjugaison, on obtient +toutes les transpositions $(j,d)$. Il est bien connu +qu'elles engendrent $𝔖_d$ (l'arbre naturellement associé est +connexe). +\end{démo} + +Nous allons préciser la proposition précédente en démontrons le théorème suivant. +La démonstration utilise les idées précédentes +et les estimations utilisées en \refext{Fin}{polynomes-presque-tous-irreductibles}. + +\begin{théorème2}[\cite{Seltenheit-I@vdWaerden}] La proportion des polynômes à coefficients dans $[-N,N]$ de groupe de Galois maximal tend vers un. -\end{proposition2} +\end{théorème2} %\begin{rmr2} %Le lecteur prouvera dans l'exercice \ref{Algebre@Bourbaki}, \textsc{v},\S 12, nº13, @@ -154,7 +136,7 @@ naturelle : \begin{remarque2} Il existe une version plus fine du théorème de Frobenius ci-dessus : le théorème -de Čebotarev. Dans ce cas, on étudie les classes de conjugaison de la substitution +de Čebotarëv. Dans ce cas, on étudie les classes de conjugaison de la substitution de Frobenius non pas dans $\got{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général plus précis. Cette version raffinée distingue les classes $3,7$ ci-dessus. Elle sera démontrée plus loin dans ce chapitre. \XXX |