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author | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-04-05 22:25:38 +0200 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-04-05 22:25:38 +0200 |
commit | c625174229394f69e86f91a166d2a8499e318530 (patch) | |
tree | 290045ca642befe9b98a8c6446b1519138fb70ac /chapitres/Cebotarev.tex | |
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[modp] modifications mineures suite à relecture en diagonale
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-rw-r--r-- | chapitres/Cebotarev.tex | 10 |
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diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex index e91d174..ee3f2f7 100644 --- a/chapitres/Cebotarev.tex +++ b/chapitres/Cebotarev.tex @@ -87,14 +87,14 @@ Cette algèbre est non nulle car si $1=p x$ avec $x ∈ 𝐙\alg$, on obtiendrait $1=p^r n$ avec $r,n ∈ 𝐍$ en prenant la norme. (Voir aussi \refext{CG}{Zalg-sur-p-non-nul}.) Soit $𝔪$ un idéal maximal de $A$ ; le quotient $k=A ∕ 𝔪$ -est un corps, sur lequel la réduction $\sur{f}$ de $f$ -modulo $p$ est scindé. (On vérifie sans peine que $k$ est une clôture algébrique +est un corps (une extension de $𝐅_p$), sur lequel la réduction $\sur{f}$ de $f$ +modulo $p$ est scindé. (On vérifierait sans peine que $k$ est une clôture algébrique de $𝐅_p$ mais cela n'est pas utile ici.) Par construction, le polynôme $\sur{F}$ annule -la combinaison linéaire générique modulo $p$, -$\sur{c}=\sur{ξ₁} Y₁+\cdots+ \sur{ξ_d} Y_d ∈ k(Y₁,…,Y_d)$ : +la combinaison linéaire générique modulo $p$, soit +$\sur{c}=\sur{ξ₁} Y₁+\cdots+ \sur{ξ_d} Y_d ∈ k(Y₁,…,Y_d)$ ; le polynôme minimal $F_p ∈ 𝐅_p[Y₁,…,Y_d][X]$ -de $\sur{c}$ sur $𝐅_p(Y₁,…,Y_d)$ divise $F$. +de $\sur{c}$ sur $𝐅_p(Y₁,…,Y_d)$ divise donc $F$. Notons que la surjection $𝐙\alg ↠ k$ induit une bijection entre les racines de $f$ et celles de $\sur{f}$ donc entre celles de $F$ et de $\sur{F}$, ces dernières étant de la forme $σ(c)$ et |