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author | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-04-17 14:42:16 +0200 |
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committer | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-04-17 14:42:16 +0200 |
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[modp] deux exercices
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-rw-r--r-- | chapitres/Cebotarev.tex | 32 |
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diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex index ee3f2f7..d33f1d4 100644 --- a/chapitres/Cebotarev.tex +++ b/chapitres/Cebotarev.tex @@ -153,6 +153,18 @@ On laisse le soin au lecteur de vérifier qu'il en est de même des polynômes de degré au plus $d$, non nécessairement unitaires. +\begin{exercice2} +Soit $d$ un entier et $𝐑_d[X]$ l'ensemble des polynômes +de $𝐑[X]$ de degré au plus $d$. Montrer que le sous-ensemble +des polynômes à coefficients rationnels et irréductibles +sur $𝐐$ est \emph{dense}. (On munit $𝐑_d[X]$ de la topologie +d'espace vectoriel normé.) +Indication : si $P ∈ 𝐙[X]$, on pourra montrer +l'irréductibilité du polynôme $ℓP+1$ lorsque $ℓ$ +est un grand nombre premier en utilisant le critère +d'Eisenstein. +\end{exercice2} + \begin{proposition2} \label{Sd-par-2-3-l} Pour tout $d\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$ @@ -199,6 +211,26 @@ démontré par des méthodes analytiques, reposant notamment sur le théorème d'irréductibilité de Hilbert \refext{}{}. \end{remarque2} +\begin{exercice2} +Soient $p$ un nombre premier impair, $m$ un entier naturel +non nul et $(n₁,…,n_{p−2})$ un $p − 2$-uplet d'entiers relatifs distincts. +On pose $f = (X² + m) ∏_{i=1}^{p−2} (X − n_i )$. +\begin{enumerate} +\item Montrer que pour tout réel $ε$ de valeur absolue suffisamment +petite, le polynôme $f + ε ∈ R[X]$ admet $p − 2$ racines réelles simples et deux racines +complexes conjuguées. +\item Pour tout nombre premier $ℓ$, on considère le polynôme $P = ℓ^p +f ( X/ℓ) + ℓ$. Montrer que pour $ℓ$ assez grand, +le polynôme $P ∈ 𝐐[X]$ est un polynôme irréductible ayant $p − 2$ racines réelles +simples et deux racines complexes conjuguées. +\item En déduire que le groupe de Galois de $P$ est isomorphe +au groupe symétrique $𝔖_p$. +\item En déduire que l'ensemble des classes d'isomorphismes +d'extensions de $𝐐$ de groupe de Galois $𝔖_p$ est infini. +\end{enumerate} +\end{exercice2} +% tiré d'une feuille d'exercices de Joël Riou. + \begin{théorème2}[\cite{Seltenheit@Dorge},\cite{Seltenheit-I@vdWaerden}] Soit $d ≥ 1$ un entier. Parmi les polynômes $f ∈ 𝐙[X]$ unitaires de degré $d$ |