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path: root/chapitres/Cebotarev.tex
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authorFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-04-05 15:07:27 +0200
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-04-05 15:07:27 +0200
commitd7ee57d09ef4cdd045e35280c31c3e035462a9aa (patch)
tree9c5bd4cfc3aa6fdb7c3dfb67bc2e9ce61df569e3 /chapitres/Cebotarev.tex
parent1d36a0141ed47b79e720abbb07b89d515d4b7ea6 (diff)
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-rw-r--r--chapitres/Cebotarev.tex39
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diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex
index 190d9e7..64b3821 100644
--- a/chapitres/Cebotarev.tex
+++ b/chapitres/Cebotarev.tex
@@ -90,8 +90,45 @@ sur les racines.
\XXX pas hyper clair.
+\begin{proposition2}
+\label{polynomes-presque-tous-irreductibles}
+Soit $d ≥ 1$ un entier. Parmi les polynômes $f ∈ 𝐙[X]$
+unitaires de degré $d$ à coefficients dans un intervalle
+$[-N,N]$, la proportion de ceux qui sont
+\emph{réductibles} tend vers $0$ lorsque $N$ tend
+vers $+∞$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soit $ε>0$ ; il existe un entier $r ≥ 1$ tel que
+$2^d(1-\frac{1}{2d})^r ≤ ε$.
+Soit $P=p₁…p_r$ un produit de nombres premiers distincts
+et supérieurs ou égaux à $3$ (par exemple, $P=3 ⋅ 5 ⋅ 7
+\cdots$). Vérifions que si $N ≥ P$, la proportion
+des polynômes comme dans l'énoncé est au plus $ε$.
+L'application envoyant un polynôme $f ∈ 𝐙[X]$ à coefficients
+dans $[-N,N]$, unitaire de degré $d$, sur sa réduction $f \mod P ∈ 𝐙/P[X]$
+est à fibres de cardinal au plus $(\frac{2N+1}{P}+1)^d$.
+Elle envoie un polynôme réductible (unitaire, de degré $d$)
+sur un polynôme réductible (unitaire, de degré $d$).
+D'autre part, il résulte du lemme chinois que l'application
+de réduction modulo chacun des $p_i$, $𝐙/P[X] → 𝐅_{p₁}[X]×…×
+𝐅_{p_r}[X]$, est un isomorphisme d'anneaux.
+Il en résulte que la proportion des
+polynômes \emph{réductibles} parmi les
+polynômes de $𝐙/P[X]$ unitaires de degré $d$ est majorée
+par $(1-\frac{1}{2d})^r$.
+Ainsi le nombre de polynômes réductibles comme
+dans l'énoncé est majoré par
+\[
+(1-\frac{1}{2d})^r × P^d × (\frac{2N+1}{P}+1)^d ≤ ε (2N+1)^d
+\]
+car $2N+1+P ≤ 2(2N+1)$, $N$ étant supérieur ou égal à $P$.
+\end{démo}
-\subsection{Abondance des polynômes de groupe de Galois maximal}
+On laisse le soin au lecteur de vérifier qu'il en est de
+même des polynômes de degré au plus $d$, non nécessairement
+unitaires.
\begin{proposition2}
\label{Sd-par-2-3-l}