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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-23 16:15:58 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-23 16:15:58 (GMT)
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[Dedekind] une esquisse de plan auquel il manque notamment…
— les adèles/idèles — le théorème de Riemann-Roch [à mettre à part ?]
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-rw-r--r--chapitres/Dedekind.tex402
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--- a/chapitres/Dedekind.tex
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -65,8 +65,102 @@ pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
Tout idéal fractionnaire non nul est inversible.
\end{proposition2}
+\begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫
+Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de dimension un
+et de corps des fractions $K$. Pour toute extension finie
+$L\bo K$, le normalisé $B$ de $A$ dans $L$ est un anneau
+de Dedekind.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77.
+\end{démo}
+
\section{Corps globaux : définitions et premiers résultats}
+\subsection{Places}
+
+\begin{définition2}
+Places, diviseurs, diviseurs effectifs etc.
+\end{définition2}
+
+\subsection{Sorites sur la ramification}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX Le composé de deux extensions non ramifiées est non ramifiée.
+\end{proposition2}
+
+\subsection{Différente}
+
+\begin{définition2}
+Différente $𝒟_{L\bo K}$ (via la trace).
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+Critère de ramification via division de $𝒟_{L\bo K}$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{corollaire2}
+Presque tous les idéaux sont non-ramifiés.
+\end{corolllaire2}
+
+Méthodes de calcul.
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Si $B=A[X]/f$, $𝒟_{L\bo K}=\Ann Ω¹_{B\bo A}=(f′(x))$.
+Plus généralement, si $L=K(x)$, $x ∈ B$ et $f$ est le polynôme
+minimal, on a $𝒟$ divise $(f'(x))$ avec égalité ssi $B=K[x]$.
+[Il faut peut-être sans doute supposer $B$ libre sur $A$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Formule
+\[
+\frac{1}{f(X)}= ∑ …
+\]
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+\[
+\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2
+=|\mathrm{d\acute{e}t}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\]
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+$\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\big)$.
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}
+Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$.
+\end{définition2}
+
+\begin{lemme2}
+\XXX
+Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements
+$K\hra \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC},
+\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K\hra \CC$.
+Le morphisme
+$𝒪_K\ra K_{\RR}\isononcan \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}\iso \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
+est de la forme
+$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
+\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
+\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
+Passer de la matrice ayant ces colonnes à
+$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
+La formule en résulte.
+\end{démo}
+
+[variantes en caractéristique $p>0$.]
+
\section{Théorèmes de finitude}
\subsection{Finitude du groupe de Picard}
@@ -77,8 +171,6 @@ Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau
des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini.
\end{theoreme2}
-[variante dans le cas d'égale caractéristique.]
-
\begin{démo}
\XXX
Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
@@ -119,6 +211,126 @@ appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
\end{démo}
+\begin{théorème2}
+Soit $K$ un corps de fonctions.
+Le groupe des classes d'idéaux de degré $0$ est \emph{fini}.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6].
+\end{démo}
+
+\subsection{Fonction zêta de Dedekind}
+
+\begin{théorème2}
+Converge absolument pour $\Re(s)>1$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+On se ramène au cas du corps de base.
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}[Pôle simple en $1$]
+\XXX
+Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
+constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
+$$
+\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in
+\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
+$$
+soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t\ra +\infty$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
+La correspondance
+$$
+\got{a} \mapsto (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K
+$$
+établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et
+$$
+\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
+|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}.
+$$
+Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo
+les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention.
+Négliger les unités revient à considérer l'ensemble
+quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$,
+où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie
+en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$.
+C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel
+la norme $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
+se factorise.
+Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter
+$$
+\{ x \in P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
+$$
+Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
+$P(\got{b}_\mathsf{C})$ :
+$$
+\xymatrix{
+\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\got{b}_\mathsf{C}) \\
+X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR}
+}
+$$
+Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
+dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement
+arbitraire.
+On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie
+$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
+de domaine fondamental pour l'action de $𝒪_K^{\times}$, telle
+que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
+soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$.
+Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.
+
+\begin{quote}
+Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$.
+Alors, si $\vol(Y)>0$,
+$$
+\#(B\cap aY)\sr{a\ra +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}.
+$$
+\end{quote}
+
+
+Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC}\coprod
+\{\infty\}$
+et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore
+un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$.
+On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités}
+que $\log:𝒪_K\ra \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini,
+nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que
+l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$.
+Ainsi, le logarithme induit une injection :
+$P(\got{b}_\mathsf{C})\hra \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
+
+Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire
+de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert
+de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection
+$D\oplus P \iso \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection
+canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}\surj \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
+[FIGURE]
+Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le
+logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme
+$N(ax)=a^{[K:\QQ]}N(x)$ pour tout $a\geq 0$ et $x\in K_{\RR}$,
+la propriété $X_{t}=t^{1/[K:\QQ]}X_1$ est équivalente au fait que pour
+tout $a\in \RR$, $aX\subset X$. Or, si $x\in X$, $\log(ax)=\log(x)+ \log(|a|)(1,\cdots,1,2,\cdots,2)$. (On pose $\log(0)v=\infty$.)
+Enfin, $X_1$ est mesurable, de volume non nul.
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}
+Cas d'un corps de fonctions :
+\[
+ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}
+\]
+pôle simple en $1$ (et $0$).
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Cf. [Rosen] chap. 5. Utilise Riemann-Roch.
+Voir aussi [Katô-Saitô], chap. 7.
+\end{démo}
+
\subsection{Théorème des unités}
\begin{lemme2}
@@ -256,10 +468,194 @@ ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients
sur une ligne soit nulle.
Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
\end{quote}
-
\end{proof}
+\begin{théorème2}
+Structure des $S$-unités dans le cas des corps de fonctions.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29.
+\end{démo}
+
+\section{Non-existence d'extensions non ramifiées ; application}
+
+\subsection{Le théorème de Minkowski}
+
+\begin{théorème2}[Minkowski]
+\XXX
+Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout
+non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale
+connexe alors $\ZZ\iso A$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du
+groupe de Picard.
+Il suffit de démontrer l'inégalité :
+$$
+\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!},
+$$
+où $n=[K:\QQ]$.
+Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
+Soit
+$$
+A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\}
+$$
+le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$.
+L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
+de $A$ a une norme inférieure à $1$.
+Admettons que
+$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
+Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
+$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
+ \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
+il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
+de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
+L'inégalité en résulte immédiatement.
+
+Effectuons le calcul volumique. Posons
+$$
+f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
+2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
+\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
+$$
+où $n=r_{\RR}+2r_\CC$.
+En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité
+$$
+f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1}
+f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u,
+$$
+on trouve :
+$$
+f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
+$$
+Soit
+$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
+\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
+\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
+de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
+Calculons $g$ :
+$$\begin{array}{ll}
+g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\
+& = 2\pi g_{r-1}(1)
+\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\
+& = ... \\
+& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}.
+\end{array}
+$$
+Finalement,
+$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC}
+\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$
+comme annoncé.
+\end{démo}
+
+\subsection{Caractéristique $p>0$}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $𝐅_p(t)$ partout non ramifiée.
+\end{théorème2}
+
+\subsection{Un théorème de Selmer}
+
+\begin{proposition2}[Selmer]
+\XXX
+Soit $n ≥ 1$. Le polynôme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irréductible dans $𝐐[X]$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$
+les racines, non nulles, de $f$. Considérons :
+$$
+S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}),
+$$
+et de même pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
+Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on
+a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les
+racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le
+produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ;
+il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
+En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis
+que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.
+
+Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
+si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
+on a
+$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
+Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
+en sommant le carré des deux égalités on trouve :
+$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
+En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et
+les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce
+qui n'est pas le cas.
+Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
+$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
+on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
+$$
+\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
+$$
+Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
+et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
+$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
+la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
+Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
+on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
+l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
+CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX Le groupe de Galois du polynôme $f_n$
+est $𝔖_n$ tout entier.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau
+des entiers. Supposons que le nombre premier
+$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'après [sorites] il est alors
+ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$
+est le composé de tels corps.
+Compte tenu de [calcul différente], $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune
+modulo $p$ ; il en est de même de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$.
+Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$,
+que la racine est congrue à $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$
+et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$.
+Il en résulte [sorites à dégager] que le groupe d'inertie en $p$
+est soit trivial soit engendré par une transposition.
+Ainsi, le groupe de Galois de $f_n$ est un sous-groupe transitif
+de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier
+[facile].
+\end{démo}
+
+\section{Fonction zêta de Hasse de l'équation homogène $X³+Y³+Z³=0$}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+Posons $Λ(s)=27^{\frac{s}{2}}(2π)^sΓ(s)L(E,s)$.
+Alors :
+\[
+Λ(E,s)=Λ(E,2-s).
+\]
+\end{théorème2}
+
+\begin{remarque2}
+\XXX
+Courbe elliptique à multiplication complexe.
+\end{remarque2}
+
+Cf. cours à Hyères (2008).
+
+Utilise :
+
+— $𝐐(j)=𝐐(√3)$ est euclidien ;
+
+— construction ad hoc caractère de Hecke via sommes de Jacobi ;
+— transformée de Mellin + formule de Poisson pour démontrer équation fonctionnelle.
\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}