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path: root/chapitres/Dedekind.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-02 21:15:02 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-02 21:15:02 (GMT)
commit6723f5406e698ae767b37e08ca62f1f24c51ef12 (patch)
treebcb324b215ed2d012dcc1ba2efd26fcb5b599863 /chapitres/Dedekind.tex
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[AC, AVD, Dedekind] suite ébauche de plan détaillé.
Il reste encore beaucoup à faire.
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-rw-r--r--chapitres/Dedekind.tex69
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index a6a82b3..8c3e465 100644
--- a/chapitres/Dedekind.tex
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -45,8 +45,24 @@ Anneaux de Dedekind, corps globaux
\subsection{}
+\begin{proposition2}
+Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$.
+Les conditions suivante sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item $A$ est nœthérien, normal, de dimension un ;
+\item tout idéal fractionnaire de $A$ est inversible ;
+\item $A$ est nœthérien et pour tout idéal maximal $𝔪$ de $A$,
+le localisé $A_𝔪$ est un corps ou bien un anneau de valuation
+discrète.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+AC, diviseurs p. 217.
+\end{démo}
+
\begin{definition2}
-Un anneau de Dedekind est un anneau nœthérien, intègre, normal, de dimension un.
+Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}.
\end{definition2}
\begin{proposition2}
@@ -61,10 +77,6 @@ où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
\end{proposition2}
-\begin{proposition2}
-Tout idéal fractionnaire non nul est inversible.
-\end{proposition2}
-
\begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫
Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de dimension un
et de corps des fractions $K$. Pour toute extension finie
@@ -76,12 +88,22 @@ de Dedekind.
p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77.
\end{démo}
+Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind.
+
+\subsubsection{}Lien entre indices de ramification et décomposition en
+produit d'idéaux premiers.
+
\section{Corps globaux : définitions et premiers résultats}
-\subsection{Places}
+\begin{définition2}
+\XXX
+Corps global : extension finie de $𝐐$ ou de $𝐅_p(t)$, pour un nombre premier $p$.
+\end{définition2}
+
+\subsection{Diviseurs}
\begin{définition2}
-Places, diviseurs, diviseurs effectifs etc.
+diviseurs, diviseurs effectifs etc.
\end{définition2}
\subsection{Sorites sur la ramification}
@@ -96,6 +118,8 @@ Places, diviseurs, diviseurs effectifs etc.
Différente $𝒟_{L\bo K}$ (via la trace).
\end{définition2}
+Lien avec la définition locale.
+
\begin{proposition2}
Critère de ramification via division de $𝒟_{L\bo K}$.
\end{proposition2}
@@ -138,6 +162,9 @@ $\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\b
Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$.
\end{définition2}
+Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n}
+p^{φ(n)/(p-1)}$.
+
\begin{lemme2}
\XXX
Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$.
@@ -163,6 +190,8 @@ variantes en caractéristique $p>0$ : cf. Hasse, chap. 25, différentielles (
Généralités sur discriminant/différente : cf. Serre [CL], [Rosen, chap. 7]
+Diviseur inessentiel : Hasse 25.6, Koch §3.6.
+
\begin{théorème2}
\XXX
Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente.
@@ -221,16 +250,36 @@ $N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
\end{démo}
\begin{théorème2}
+\XXX
+$\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ k^1_A/k^×$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Énoncé dans Weil 2.
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}
Soit $K$ un corps de fonctions.
Le groupe des classes d'idéaux de degré $0$ est \emph{fini}.
\end{théorème2}
\begin{démo}
-Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6] ou [Katô-Saitô], VI.6.4(f).
+Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6] ou [Katô-Saitô], VI.6.4(f)
+ou Weil [BNT] IV. th. 7.
\end{démo}
\subsection{Genre}
+\begin{théorème2}
+$𝐀/𝐀(D)+K$ est de dimension finie.
+\end{théorème2}
+
+Remarque : ce quotient est $𝖧¹(C,𝒪(D))$.
+
+\begin{définition2}
+$g=\dim_k(𝐀/𝐀(0)+K)$.
+\end{définition2}
+
Via différentielles de Weil ; dimension du conoyau
de $K → ⨁_v K_v/O_v$.
@@ -387,6 +436,10 @@ Voir aussi [Katô-Saitô], chap. 7.
\subsection{Théorème des unités}
+Séparer la « majoration » (notamment la type-finitude)
+de la minoration (calcul exact du rang). Cf. p. ex., Artin
+Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2.
+
\begin{lemme2}
\XXX
Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique