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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-03-02 22:15:02 +0100 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-03-02 22:15:02 +0100 |
commit | 6723f5406e698ae767b37e08ca62f1f24c51ef12 (patch) | |
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[AC, AVD, Dedekind] suite ébauche de plan détaillé.
Il reste encore beaucoup à faire.
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-rw-r--r-- | chapitres/Dedekind.tex | 69 |
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diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex index a6a82b3..8c3e465 100644 --- a/chapitres/Dedekind.tex +++ b/chapitres/Dedekind.tex @@ -45,8 +45,24 @@ Anneaux de Dedekind, corps globaux \subsection{} +\begin{proposition2} +Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$. +Les conditions suivante sont équivalentes : +\begin{enumerate} +\item $A$ est nœthérien, normal, de dimension un ; +\item tout idéal fractionnaire de $A$ est inversible ; +\item $A$ est nœthérien et pour tout idéal maximal $𝔪$ de $A$, +le localisé $A_𝔪$ est un corps ou bien un anneau de valuation +discrète. +\end{enumerate} +\end{proposition2} + +\begin{démo} +AC, diviseurs p. 217. +\end{démo} + \begin{definition2} -Un anneau de Dedekind est un anneau nœthérien, intègre, normal, de dimension un. +Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}. \end{definition2} \begin{proposition2} @@ -61,10 +77,6 @@ où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$) pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$). \end{proposition2} -\begin{proposition2} -Tout idéal fractionnaire non nul est inversible. -\end{proposition2} - \begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫 Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de dimension un et de corps des fractions $K$. Pour toute extension finie @@ -76,12 +88,22 @@ de Dedekind. p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77. \end{démo} +Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind. + +\subsubsection{}Lien entre indices de ramification et décomposition en +produit d'idéaux premiers. + \section{Corps globaux : définitions et premiers résultats} -\subsection{Places} +\begin{définition2} +\XXX +Corps global : extension finie de $𝐐$ ou de $𝐅_p(t)$, pour un nombre premier $p$. +\end{définition2} + +\subsection{Diviseurs} \begin{définition2} -Places, diviseurs, diviseurs effectifs etc. +diviseurs, diviseurs effectifs etc. \end{définition2} \subsection{Sorites sur la ramification} @@ -96,6 +118,8 @@ Places, diviseurs, diviseurs effectifs etc. Différente $𝒟_{L\bo K}$ (via la trace). \end{définition2} +Lien avec la définition locale. + \begin{proposition2} Critère de ramification via division de $𝒟_{L\bo K}$. \end{proposition2} @@ -138,6 +162,9 @@ $\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\b Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$. \end{définition2} +Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n} +p^{φ(n)/(p-1)}$. + \begin{lemme2} \XXX Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$. @@ -163,6 +190,8 @@ variantes en caractéristique $p>0$ : cf. Hasse, chap. 25, différentielles ( Généralités sur discriminant/différente : cf. Serre [CL], [Rosen, chap. 7] +Diviseur inessentiel : Hasse 25.6, Koch §3.6. + \begin{théorème2} \XXX Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente. @@ -221,16 +250,36 @@ $N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD. \end{démo} \begin{théorème2} +\XXX +$\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ k^1_A/k^×$. +\end{théorème2} + +\begin{démo} +Énoncé dans Weil 2. +\end{démo} + +\begin{théorème2} Soit $K$ un corps de fonctions. Le groupe des classes d'idéaux de degré $0$ est \emph{fini}. \end{théorème2} \begin{démo} -Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6] ou [Katô-Saitô], VI.6.4(f). +Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6] ou [Katô-Saitô], VI.6.4(f) +ou Weil [BNT] IV. th. 7. \end{démo} \subsection{Genre} +\begin{théorème2} +$𝐀/𝐀(D)+K$ est de dimension finie. +\end{théorème2} + +Remarque : ce quotient est $𝖧¹(C,𝒪(D))$. + +\begin{définition2} +$g=\dim_k(𝐀/𝐀(0)+K)$. +\end{définition2} + Via différentielles de Weil ; dimension du conoyau de $K → ⨁_v K_v/O_v$. @@ -387,6 +436,10 @@ Voir aussi [Katô-Saitô], chap. 7. \subsection{Théorème des unités} +Séparer la « majoration » (notamment la type-finitude) +de la minoration (calcul exact du rang). Cf. p. ex., Artin +Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2. + \begin{lemme2} \XXX Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique |