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path: root/chapitres/Dedekind.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-23 12:46:35 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-23 12:46:35 (GMT)
commit6a68d5a77b707388a751b413aab831f05dd86648 (patch)
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[AC,AVD,Dedekind,plan] création deux fichiers et début de plan détaillé (+copié-collé)
Tout ce qui est copié-collé sera à réécrire totalement ; ces énoncés/démonstrations commencent par un \XXX J'aurais pu les commenter mais cela peut faire un bon point de départ.
Diffstat (limited to 'chapitres/Dedekind.tex')
-rw-r--r--chapitres/Dedekind.tex268
1 files changed, 268 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex
new file mode 100644
index 0000000..2b1683e
--- /dev/null
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -0,0 +1,268 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
+\input{../configuration/commun}
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+
+\title{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
+
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+
+\begin{document}
+\begin{center}
+Anneaux de Dedekind, corps globaux
+\end{center}
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
+\fi
+
+\section{Anneaux de Dedekind}
+
+\subsection{}
+
+\begin{definition2}
+Un anneau de Dedekind est un anneau nœthérien, intègre, normal, de dimension un.
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
+Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\SP\max(A)$
+et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_𝔭(\got{a})$, $𝔭\in S$,
+tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$
+De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
+$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \SP\max(A)$,
+où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
+pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+Tout idéal fractionnaire non nul est inversible.
+\end{proposition2}
+
+\section{Corps globaux : définitions et premiers résultats}
+
+\section{Théorèmes de finitude}
+
+\subsection{Finitude du groupe de Picard}
+
+\begin{theoreme2}
+\XXX
+Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau
+des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini.
+\end{theoreme2}
+
+[variante dans le cas d'égale caractéristique.]
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
+Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$.
+Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse
+supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$.
+Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois
+les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier
+$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$,
+il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.
+
+Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
+du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous.
+Admettons un instant le fait suivant :
+\begin{quote}
+Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il
+existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$.
+\end{quote}
+Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$.
+et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe
+un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
+(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
+$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.
+Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un
+$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
+car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ \iso K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
+Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons
+$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$.
+Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
+Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
+tel que
+$$
+m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d.
+$$
+Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
+deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
+appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
+$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\subsection{Théorème des unités}
+
+\begin{lemme2}
+\XXX
+Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
+$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
+est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
+engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants.
+\end{lemme2}
+
+\begin{proof}
+\XXX
+On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension
+$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$.
+Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ\iso K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$
+consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base
+par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base
+du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation
+à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}.
+\end{proof}
+
+\begin{theoreme2}[Théorème des unités de Dirichlet]
+\XXX
+Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
+$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR}\isononcan_{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
+Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$
+est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+\XXX
+\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR\isononcan \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}.
+Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$
+et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent
+un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite)
+$$
+\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}.
+$$
+Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→
+\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}\iso \RR^{r_\RR+r_\CC}$.
+
+
+Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$,
+est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1})
+= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
+Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance
+$$
+\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}.
+$$
+Cela résulte de l'égalité
+$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
+jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
+des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
+(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc
+l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
+le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
+des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.
+
+Enfin, l'image inverse par $\log: 𝒪_K^{\times} → \RR^{r_\RR+r_\CC}$
+de toute partie bornée est \emph{finie}.
+Soit en effet $E\subset 𝒪_K^{\times}$, ou plus généralement
+$E\subset 𝒪_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit
+bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$
+est bornée.
+Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes,
+sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$.
+Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients
+du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers,
+il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement
+pour $e\in 𝒪_K$.
+
+Il en résult que $\log(𝒪_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$
+tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}),
+de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$.
+
+Il en résulte également que le noyau de $𝒪_K^{\times}→ \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}.
+
+Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$.
+
+\begin{quote}[Lemme chinois non archimédien]
+Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in 𝒪_K^{\times}$
+tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$.
+\end{quote}
+
+Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut.
+
+\begin{quote}
+Il existe une constante $\mu_K$
+telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant :
+$$\left\{ \begin{array}{l}
+\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\
+\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
+\end{array}\right.$$
+\end{quote}
+
+Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Suppsosons donnés des nombres réels positifs
+satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$.
+Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons :
+$$E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times
+\CC^{r_\CC},\
+\left\{ \begin{array}{l}
+|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\
+|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha}
+\end{array}\right.\}
+$$
+(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.)
+
+On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et
+le produit est muni de la mesure produit.
+L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est
+fermée (donc mesurable), symétrique par rapport
+à l'origine et convexe. Son volume est
+$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
+Soit $\mu_K>0$ une constante telle que
+$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
+\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
+À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
+$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
+\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
+Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
+ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
+conditions du lemme.
+
+Démontrons le «~lemme chinois~».
+Chosissons $k$ et considérons un $\alpha\in 𝒪_K$ non nul quelconque. En vertu
+du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les
+normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent
+strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe
+$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour
+une unité $u\in 𝒪_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme.
+
+\begin{quote}
+Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$,
+ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients
+sur une ligne soit nulle.
+Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
+\end{quote}
+
+\end{proof}
+
+
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi