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diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex index eaffa31..817bf42 100644 --- a/chapitres/Dedekind.tex +++ b/chapitres/Dedekind.tex @@ -1,25 +1,9 @@ %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} -\synctex=1 -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -\usepackage{srcltx} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -\usetikzlibrary{calc} - +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} \title{Anneaux de Dedekind, corps globaux} - \externaldocument{extensions-algebriques} \externaldocument{correspondance-galois} \externaldocument{formes-tordues} @@ -28,15 +12,8 @@ \externaldocument{corps-finis} \externaldocument{entiers} \externaldocument{categories} - -%\textwidth16cm -%\hoffset-1.5cm -\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} - \begin{document} -\begin{center} -Anneaux de Dedekind, corps globaux -\end{center} +\maketitle \tableofcontents \else \chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux} @@ -68,14 +45,14 @@ Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}. \begin{proposition2} \XXX -Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$. -Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$ +Soit $\mathfrak{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$. +Il existe un unique sous-ensemble $S_{\mathfrak{a}}$ de $\Specmax(A)$ et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$, -tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$ -De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si -$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$, -où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$) -pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$). +tels que $$\mathfrak{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\mathfrak{a})}.$$ +De plus si $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{a'}$ si et seulement si +$n_{𝔭}(\mathfrak{a})\leq n_{𝔭}(\mathfrak{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$, +où l'on pose $n_{𝔭}(\mathfrak{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\mathfrak{a}')=0$) +pour $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}'}$). \end{proposition2} \begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫 @@ -185,7 +162,7 @@ $\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\b \end{démo} \begin{définition2} -Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$. +Discriminant $\mathfrak{d}_{K/\QQ}$. \end{définition2} Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n} @@ -193,7 +170,7 @@ p^{φ(n)/(p-1)}$. \begin{lemme2} \XXX -Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$. +Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}$. \end{lemme2} \begin{démo} @@ -232,47 +209,47 @@ Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente. \begin{theoreme2} \XXX Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau -des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini. +des entiers $\mathscr{O}_K$ de $K$ est fini. \end{theoreme2} \begin{démo} \XXX -Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$. -Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$. +Chaque classe $C\in \Pic(\mathscr{O}_K)$ est représentée par un idéal $\mathfrak{c}$ de $A$. +Pour borner les possibilités sur $\mathfrak{c}$, il suffit de borner $N(\mathfrak{c}):=\#(𝒪_K/\mathfrak{c})$. Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse -supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$. -Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois +supposer $N(\mathfrak{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\mathfrak{c}$. +Si $\mathfrak{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\mathfrak{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier $p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$, -il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$. +il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\mathfrak{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$. -Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte +Si $\mathfrak{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous. Admettons un instant le fait suivant : \begin{quote} -Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il -existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$. +Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\mathfrak{a}$, il +existe $0\neq x\in \mathfrak{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\mathfrak{a})$. \end{quote} -Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$. -et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe -un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$ +Soit $C\in \Pic(\mathscr{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\mathfrak{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mathscr{O}_K$. +et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \mathfrak{a}$, il existe +un idéal $\mathfrak{c}$ de $\mathscr{O}_K$ tel que $(x)=\mathfrak{c}\mathfrak{a}$ (cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors -$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$. +$\mathrm{N}(\mathfrak{c})\leq \mu_K$. Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$ car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}). Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons $\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$. Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$ -Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$ +Soit $\mathfrak{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$ tel que $$ -m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d. +m^d\leq \mathrm{N}(\mathfrak{a}) < (m+1)^d. $$ Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence -appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que -$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD. +appartient à $\mathfrak{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que +$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\mathfrak{a})\mu_K$. CQFD. \end{démo} \begin{théorème2} @@ -367,52 +344,53 @@ Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble $$ -\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in -\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\} +\{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in +\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\} $$ soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$. \end{théorème2} \begin{démo} \XXX -Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$. +Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\mathfrak{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$. La correspondance $$ -\got{a} \mapsto (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K +\mathfrak{a} \mapsto (\alpha_{\mathfrak{a}}):=\mathfrak{a}\mathfrak{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K $$ établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et $$ -\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\ -|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}. +\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \mathfrak{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\ +|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\mathfrak{b}_{\mathsf{C}})\}. $$ Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention. Négliger les unités revient à considérer l'ensemble -quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$, +quotient $P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}):=\mathfrak{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$, où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie -en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$. +en effet les idéaux principaux contenus dans $\mathfrak{b}_\mathsf{C}$. C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel -la norme $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$ +la norme $x\in \mathfrak{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$ se factorise. Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter $$ -\{ x \in P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}. -$$ -Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur -$P(\got{b}_\mathsf{C})$ : -$$ -\xymatrix{ -\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\got{b}_\mathsf{C}) \\ -X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR} -} -$$ -Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$, +\{ x \in P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}. +$$ +Soit $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \mathfrak{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur +$P(\mathfrak{b}_\mathsf{C})$ : +\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!} +%$$ +%\xymatrix{ +%\mathfrak{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}) \\ +%X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR} +%} +%$$ +Le sous-ensemble $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$, dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement arbitraire. On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie -$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte +$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\mathfrak{b}_{\mathsf{C}}$), sorte de domaine fondamental pour l'action de $𝒪_K^{\times}$, telle -que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$ +que $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}}=\mathfrak{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$ soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$. Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$. @@ -434,7 +412,7 @@ que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini, nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$. Ainsi, le logarithme induit une injection : -$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. +$P(\mathfrak{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert @@ -473,7 +451,7 @@ Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2. \XXX Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique $K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers -est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$ +est un \emph{réseau}, c'est-à-dire un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$ engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants. \end{lemme2} @@ -585,7 +563,7 @@ $$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]} \mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$ À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que $\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$, -\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$. +c'est-à-dire $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$. Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les conditions du lemme. @@ -633,7 +611,7 @@ La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude groupe de Picard. Il suffit de démontrer l'inégalité : $$ -\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!}, +\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!}, $$ où $n=[K:\QQ]$. Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$. @@ -648,7 +626,7 @@ Admettons que $$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$ Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$, $$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA) - \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$ + \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$ il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$. L'inégalité en résulte immédiatement. @@ -738,7 +716,7 @@ $$ Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$, et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire, $\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc, -la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$. +la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, c'est-à-dire $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$. Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$, on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$. |