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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 01:31:15 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 01:31:15 (GMT)
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-rw-r--r--chapitres/Dedekind.tex140
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index eaffa31..817bf42 100644
--- a/chapitres/Dedekind.tex
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -1,25 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
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-
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\title{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
-
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@@ -28,15 +12,8 @@
\externaldocument{corps-finis}
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-
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-
\begin{document}
-\begin{center}
-Anneaux de Dedekind, corps globaux
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
@@ -68,14 +45,14 @@ Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}.
\begin{proposition2}
\XXX
-Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
-Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$
+Soit $\mathfrak{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
+Il existe un unique sous-ensemble $S_{\mathfrak{a}}$ de $\Specmax(A)$
et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$,
-tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$
-De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
-$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
-où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
-pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
+tels que $$\mathfrak{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\mathfrak{a})}.$$
+De plus si $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{a'}$ si et seulement si
+$n_{𝔭}(\mathfrak{a})\leq n_{𝔭}(\mathfrak{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
+où l'on pose $n_{𝔭}(\mathfrak{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\mathfrak{a}')=0$)
+pour $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}'}$).
\end{proposition2}
\begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫
@@ -185,7 +162,7 @@ $\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\b
\end{démo}
\begin{définition2}
-Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$.
+Discriminant $\mathfrak{d}_{K/\QQ}$.
\end{définition2}
Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n}
@@ -193,7 +170,7 @@ p^{φ(n)/(p-1)}$.
\begin{lemme2}
\XXX
-Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$.
+Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}$.
\end{lemme2}
\begin{démo}
@@ -232,47 +209,47 @@ Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente.
\begin{theoreme2}
\XXX
Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau
-des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini.
+des entiers $\mathscr{O}_K$ de $K$ est fini.
\end{theoreme2}
\begin{démo}
\XXX
-Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
-Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$.
+Chaque classe $C\in \Pic(\mathscr{O}_K)$ est représentée par un idéal $\mathfrak{c}$ de $A$.
+Pour borner les possibilités sur $\mathfrak{c}$, il suffit de borner $N(\mathfrak{c}):=\#(𝒪_K/\mathfrak{c})$.
Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse
-supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$.
-Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois
+supposer $N(\mathfrak{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\mathfrak{c}$.
+Si $\mathfrak{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\mathfrak{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois
les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier
$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$,
-il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.
+il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\mathfrak{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.
-Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
+Si $\mathfrak{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous.
Admettons un instant le fait suivant :
\begin{quote}
-Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il
-existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$.
+Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\mathfrak{a}$, il
+existe $0\neq x\in \mathfrak{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\mathfrak{a})$.
\end{quote}
-Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$.
-et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe
-un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
+Soit $C\in \Pic(\mathscr{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\mathfrak{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mathscr{O}_K$.
+et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \mathfrak{a}$, il existe
+un idéal $\mathfrak{c}$ de $\mathscr{O}_K$ tel que $(x)=\mathfrak{c}\mathfrak{a}$
(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
-$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.
+$\mathrm{N}(\mathfrak{c})\leq \mu_K$.
Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un
$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons
$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$.
Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
-Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
+Soit $\mathfrak{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
tel que
$$
-m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d.
+m^d\leq \mathrm{N}(\mathfrak{a}) < (m+1)^d.
$$
Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
-appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
-$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
+appartient à $\mathfrak{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
+$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\mathfrak{a})\mu_K$. CQFD.
\end{démo}
\begin{théorème2}
@@ -367,52 +344,53 @@ Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected
Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
-\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in
-\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
+\{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in
+\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{théorème2}
\begin{démo}
\XXX
-Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
+Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\mathfrak{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
La correspondance
$$
-\got{a} \mapsto (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K
+\mathfrak{a} \mapsto (\alpha_{\mathfrak{a}}):=\mathfrak{a}\mathfrak{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K
$$
établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et
$$
-\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
-|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}.
+\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \mathfrak{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
+|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\mathfrak{b}_{\mathsf{C}})\}.
$$
Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo
les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention.
Négliger les unités revient à considérer l'ensemble
-quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$,
+quotient $P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}):=\mathfrak{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$,
où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie
-en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$.
+en effet les idéaux principaux contenus dans $\mathfrak{b}_\mathsf{C}$.
C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel
-la norme $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
+la norme $x\in \mathfrak{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
se factorise.
Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter
$$
-\{ x \in P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
-$$
-Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
-$P(\got{b}_\mathsf{C})$ :
-$$
-\xymatrix{
-\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\got{b}_\mathsf{C}) \\
-X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR}
-}
-$$
-Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
+\{ x \in P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
+$$
+Soit $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \mathfrak{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
+$P(\mathfrak{b}_\mathsf{C})$ :
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%\mathfrak{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}) \\
+%X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR}
+%}
+%$$
+Le sous-ensemble $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement
arbitraire.
On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie
-$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
+$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\mathfrak{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
de domaine fondamental pour l'action de $𝒪_K^{\times}$, telle
-que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
+que $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}}=\mathfrak{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$.
Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.
@@ -434,7 +412,7 @@ que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini,
nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que
l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$.
Ainsi, le logarithme induit une injection :
-$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
+$P(\mathfrak{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire
de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert
@@ -473,7 +451,7 @@ Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2.
\XXX
Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
-est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
+est un \emph{réseau}, c'est-à-dire un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants.
\end{lemme2}
@@ -585,7 +563,7 @@ $$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
-\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
+c'est-à-dire $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
conditions du lemme.
@@ -633,7 +611,7 @@ La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude
groupe de Picard.
Il suffit de démontrer l'inégalité :
$$
-\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!},
+\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!},
$$
où $n=[K:\QQ]$.
Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
@@ -648,7 +626,7 @@ Admettons que
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
+ \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.
@@ -738,7 +716,7 @@ $$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
-la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
+la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, c'est-à-dire $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.