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path: root/chapitres/KASW.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-03-07 15:49:50 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-03-07 15:49:50 (GMT)
commit36c6c91c50bb0b0e49f942bc5665c02dc9301817 (patch)
treee3642e8796fbab5cf5a7df45fdbeae0c19d15add /chapitres/KASW.tex
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--- a/chapitres/KASW.tex
+++ b/chapitres/KASW.tex
@@ -1504,12 +1504,12 @@ ensemblistement trivial}.
L'égalité $1+a₁x+a₂x²+ \cdots + a_n x^n=(1-α₁x)(1-α₂x²)\cdots(1+α_n x^n)$
se réécrit sous la forme
\[
-a_r=∑_{1 ≤i₁<i₂< \cdots < i_s ≤ r \atop i₁+2 i₂ + \cdots s i_s=r} (-1)^s α_{i₁}
+a_r=∑_{\substack{1 ≤i₁<i₂< \cdots < i_s ≤ r \\ i₁+2 i₂ + \cdots s i_s=r}} (-1)^s α_{i₁}
\cdots α_{i_s}.
\]
L'unique solution est donnée par les formules (récursives) :
\[
-α_r=a_r - ∑_{1 ≤i₁<i₂< \cdots < i_s<r \atop i₁+2 i₂ + \cdots s i_s=r} (-1)^s α_{i₁}
+α_r=a_r - ∑_{\substack{1 ≤i₁<i₂< \cdots < i_s<r \\ i₁+2 i₂ + \cdots s i_s=r}} (-1)^s α_{i₁}
\cdots α_{i_s}.
\]
Le cas $n=∞$ se démontre de même. (ii)
@@ -1665,8 +1665,8 @@ $W_{∞|𝐙_{(p)}}$, restriction de $W_∞$ aux $𝐙_{(p)}$-algèbres.
\item La somme
\[e_p=∑_{(r,p)=1} \frac{μ(r)}{r} V_r F_r,\] où $μ$ est la fonction
de Möbius, est bien définie et est un projecteur de $W_{∞|𝐙_{(p)}}$, d'image $W_∞^{(p)}$
-égale à $\displaystyle ⋂_{(r,p)=1 \atop r>1} \Ker F_r$ et de noyau
-le sous-groupe $\displaystyle \widehat{∑}_{(r,p)=1 \atop r>1} \Im V_r$ des
+égale à $\displaystyle ⋂_{\substack{(r,p)=1 \\ r>1}} \Ker F_r$ et de noyau
+le sous-groupe $\displaystyle \widehat{∑}_{\substack{(r,p)=1 \\ r>1}} \Im V_r$ des
sommes éventuellement infinies d'éléments dans les images des $V_r$ ($(r,p)=1$,
$r>1$).
\item Pour $n$ parcourant l'ensemble des entiers premiers à $p$,
@@ -1692,21 +1692,21 @@ l'inclusion \ref{relations V et F} (v).
Soit $s>1$ un entier premier à $p$. Calculons $F_s e_p$.
Par définition et découpage de l'ensemble de sommation, on a :
\[F_s e_p = ∑_{(r,p)=1} \frac{μ(r)}{r} F_s V_r F_r=
-∑_{(d,p)=1} ∑_{(r,s)=d \atop (r,p)=1} \frac{μ(r)}{r} F_{s/d} F_d V_d V_{r/d}
+∑_{(d,p)=1} ∑_{\substack{(r,s)=d \\ (r,p)=1}} \frac{μ(r)}{r} F_{s/d} F_d V_d V_{r/d}
F_r.\]
En appliquant la formule $F_d V_d=[d]$, on obtient :
-\[ F_s e_p= ∑_{(d,p)=1} ∑_{(r,s)=d \atop (r,p)=1} \frac{μ(r)}{r/d} F_{s/d} V_{r/d} F_r.\]
+\[ F_s e_p= ∑_{(d,p)=1} ∑_{\substack{(r,s)=d \\ (r,p)=1}} \frac{μ(r)}{r/d} F_{s/d} V_{r/d} F_r.\]
Utilisant la relation de commutation $F_{s/d} V_{r/d}=V_{r/d} F_{s/d}$ (car $r/d$ et $s/d$ sont
premiers entre eux) et l'identité $F_{s/d} F_r=F_{sr/d}$, on trouve :
-\[ F_s e_p= ∑_{(d,p)=1} ∑_{(r,s)=d \atop (r,p)=1} \frac{μ(r)}{r/d} V_{r/d} F_{sr/d}.\]
+\[ F_s e_p= ∑_{(d,p)=1} ∑_{\substack{(r,s)=d \\ (r,p)=1}} \frac{μ(r)}{r/d} V_{r/d} F_{sr/d}.\]
Enfin, une réécriture de la somme, où l'on pose $t=r/d$, donne
-\[ F_s e_p = ∑_{(t,s)=1 \atop (t,p)=1} \frac{1}{t} V_s F_{st} \big(\underbrace{∑_{u|s}
+\[ F_s e_p = ∑_{\substack{(t,s)=1 \\ (t,p)=1}} \frac{1}{t} V_s F_{st} \big(\underbrace{∑_{u|s}
μ(tu)}_{=0}\big)=0.\]
L'endomorphisme $e_p$ s'écrivant $1+e_p ′$ où $e_p ′$ est une somme
de multiples à gauche de $F_s$ ($s>1$, premier à $p$), on en déduit immédiatement l'égalité
$e_p²=e_p$ et l'égalité $W_∞^{(p)}=⋂_{(r,p)=1}\Ker F_r$.
On vérifie comme ci-dessus que, dualement, on a $e_p V_{s}=0$
-pour chaque $s>1$. Il en résulte que $\widehat{∑}_{(r,p)=1 \atop r>1} \Im V_r$ est contenu
+pour chaque $s>1$. Il en résulte que $\widehat{∑}_{\substack{(r,p)=1 \\ r>1}} \Im V_r$ est contenu
dans le noyau de $e_p$. Réciproquement, le fait que $e ′_p$ soit
une somme de multiples à droite de $V_s$ ($s>1$, premier à $p$),
montre que tout élément du noyau est une somme (éventuellement infinie)
@@ -1719,7 +1719,7 @@ Or, on a vu que si $n ′>1$, $F_{n ′} e_p$. De même $e_p V_{m ′}=0$ si $m
Ainsi, $e_{p,n}e_{p,m}=0$ à moins que $n=m$.
Pour conclure, il nous faut vérifier que $∑_{(n,p)=1} e_{p,n}=\Id$.
Or,
-\[ ∑_{(n,p)=1} e_{p,n}=∑_{(n,p)=1 \atop (r,p)=1} \frac{μ(r)}{rn} V_n V_r F_r F_n,\]
+\[ ∑_{(n,p)=1} e_{p,n}=∑_{\substack{(n,p)=1 \\ (r,p)=1}} \frac{μ(r)}{rn} V_n V_r F_r F_n,\]
que l'on peut réécrire, compte-tenu des égalités $V_n V_r=V_{nr}$ et $F_r
F_n=F_{rn}$, sous la forme :
\[
@@ -1828,7 +1828,7 @@ Il résulte de \ref{bijections entre Wn et An} (ii)
que pour toute $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$, tout élément
$f_n ∈ W_n(A)$ s'écrit de manière unique sous la forme
\[
-f_n= ∏_{i ≤ n \atop (i,p)=1} ∏_{q ∈ p^𝐍 \atop q ≤ q_i} E_p(α_{i,q} X^{i q}),
+f_n= ∏_{\substack{i ≤ n \\ (i,p)=1}} ∏_{\substack{q ∈ p^𝐍 \\ q ≤ q_i}} E_p(α_{i,q} X^{i q}),
\]
où les $α_{i,q}$ sont obtenus en évaluant
des polynômes à coefficients dans $𝐙_{(p)}$ en les coefficients (usuels)