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author | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-03-24 10:56:42 +0100 |
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committer | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-03-24 10:56:42 +0100 |
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[ucs,KASW,Azu,Alg,versel] unicodification de la racine ;)
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-rw-r--r-- | chapitres/KASW.tex | 64 |
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diff --git a/chapitres/KASW.tex b/chapitres/KASW.tex index 609016d..029cbc8 100644 --- a/chapitres/KASW.tex +++ b/chapitres/KASW.tex @@ -570,8 +570,8 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} \item pour tout nombre premier $ℓ$, toute racine $ℓ$-ième de l'unité dans $k^×⟨A⟩$ est en fait dans $k^×$ et, -\item toute racine primitive quatrième de l'unité $\sqrt{-1}$ -dans $K$ telle que $1+\sqrt{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$ +\item toute racine primitive quatrième de l'unité $√{-1}$ +dans $K$ telle que $1+√{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$ est en fait dans $k^×$. \end{enumerate} \end{enumerate} @@ -609,10 +609,10 @@ Puisque $ℓ$ est premier à $r/(n,r)$, on en tire $a ∈ {k^×}^ℓ$, ce qui est contraire à l'hypothèse. Ainsi $ℓ$ ne divise pas $m$ et l'égalité $ζ_ℓ^m=λ^m a^{r/(n,r)} ∈ k^×$ entraîne l'appartenance de $ζ_ℓ$ à $k^×$. Vérifions maintenant le critère (b) en supposant -que $1+\sqrt{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$. (On suppose en particulier +que $1+√{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$. (On suppose en particulier que la caractéristique de $k$ est différente de deux, sans quoi il n'y a rien à démontrer.) Écrivons comme précédemment -\[1+\sqrt{-1}=λ α^r\] et posons $m=n/(n,r)$. +\[1+√{-1}=λ α^r\] et posons $m=n/(n,r)$. \begin{itemize} \item [Cas où quatre divise $m$.] On obtient par élévation à la puissance $m$ l'égalité @@ -628,16 +628,16 @@ Or, il résulte de notre hypothèse que si $s$ est un entier tel que $4|ns$ et $a^s ∈ -4 {k^×}⁴$ alors $4|s$. En effet on aurait dans le cas contraire soit $4|n$ et $a ∈ -4 {k^×}⁴$ (ce qui est exclu) soit $2|n$ et $a² ∈ -4 {k^×}⁴$. Cette dernière possibilité est -également exclue car on aurait alors $\sqrt{-1} ∈ k$ et enfin $a ∈ {k^×}²$. +également exclue car on aurait alors $√{-1} ∈ k$ et enfin $a ∈ {k^×}²$. Appliquant cette observation à $s=r/(n,r)$, on constate que l'élément $a^{r/(n,r)}$ ne peut appartenir à l'ensemble $-4 {k^×}⁴$ si quatre ne divise pas $r/(n,r)$. Contradiction. \end{itemize} \item [Cas où quatre ne divise pas $m$.] -Puisque $(1+\sqrt{-1})^m=λ^m a^{r/(n,r)}$ appartient à $k$, -il en est de même de $\sqrt{-1}$ compte tenu du fait que -$2^{-[m/2]}(1+\sqrt{-1})^m$ appartient à l'ensemble -$\{±\sqrt{-1},±1±\sqrt{-1}\}$. +Puisque $(1+√{-1})^m=λ^m a^{r/(n,r)}$ appartient à $k$, +il en est de même de $√{-1}$ compte tenu du fait que +$2^{-[m/2]}(1+√{-1})^m$ appartient à l'ensemble +$\{±√{-1},±1±√{-1}\}$. \end{itemize} \end{démo} @@ -716,7 +716,7 @@ conditions suivantes sont satisfaites : \begin{itemize} \item [si $ℓ≠2$ :] $x^ℓ$ appartient à $G_n$ ; \item [si $ℓ=2$ :] $x²$ appartient à $G_n$ et, d'autre part, soit -$x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ soit $\sqrt{-1}$ n'appartient pas à $k_n$. +$x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ soit $√{-1}$ n'appartient pas à $k_n$. \end{itemize} \end{itemize} Les énoncés $C₀$ et $D₀$ sont trivialement vrais. Supposons donc $n>0$. @@ -776,35 +776,35 @@ $x²$ appartienne à $G_n$. Il existe donc un entier $s ∈ \{0,1\}$ et un élément $h ∈ G_{n-1}$ tels que $x²=g_n^s h$. \begin{itemize} \item[Cas $s=0$.] Même démonstration que ci-dessus. Observer -que si $x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $\sqrt{-1}$ n'appartient -pas à $k_n$), alors $xg_n^{-1}$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $\sqrt{-1}$ n'appartient +que si $x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $√{-1}$ n'appartient +pas à $k_n$), alors $xg_n^{-1}$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $√{-1}$ n'appartient pas à $k_{n-1}$). % changer l'étude de cas. \item[Cas $s=1$.] Notons $N$ la norme de $k_n$ à $k_{n-1}$ et observons d'ores et déjà que $N(g_n)=-g_{n}²$ car le polynôme minimal de $g_n$ sur $k_{n-1}$ est $X²-g_n²$, de degré pair. L'égalité $x²=g_n h$ devient donc $N(x)²=-g_n² h²$ par application -de $N$, d'où $g_n h=(±N(x))\sqrt{-1}$. +de $N$, d'où $g_n h=(±N(x))√{-1}$. Les deux éléments $h,N(x)$ appartenant à $k_{n-1}$ et $g_n$ à $k_n-k_{n-1}$, -il en résulte que $\sqrt{-1}$ appartient à $k_n-k_{n-1}$. En conséquence, -l'extension quadratique $k_n \bo k_{n-1}$ est engendrée par $\sqrt{-1}$. -On peut donc écrire l'élément $x$ de $k_n$ sous la forme $λ+μ \sqrt{-1}$ +il en résulte que $√{-1}$ appartient à $k_n-k_{n-1}$. En conséquence, +l'extension quadratique $k_n \bo k_{n-1}$ est engendrée par $√{-1}$. +On peut donc écrire l'élément $x$ de $k_n$ sous la forme $λ+μ √{-1}$ où $λ$ et $μ$ appartiennent à $k_{n-1}$. Par élévation au carré, -on obtient $x²=(λ²-μ²)+(2 λ μ) \sqrt{-1}$. Comme d'autre part $x²=g_n h$ -appartient à la droite $k_{n-1} ⋅ \sqrt{-1}$ (cf. \emph{supra}), +on obtient $x²=(λ²-μ²)+(2 λ μ) √{-1}$. Comme d'autre part $x²=g_n h$ +appartient à la droite $k_{n-1} ⋅ √{-1}$ (cf. \emph{supra}), on a $λ=± μ$, c'est-à-dire : \[ -x=λ(1±\sqrt{-1}). +x=λ(1±√{-1}). \] En élevant à la puissance quatrième, on obtient $x⁴=(-4) ⋅ λ ⁴$. Comme $x²$ appartient à $G_n$, son carré $x^4$ appartient à $G_{n-1}$, de même que $λ⁴$. (Rappelons que $-4 ∈ k^×=G₀$.) En appliquant l'hypothèse de récurrence $(D_{n-1})$ à l'élément $λ²$, -et en se souvenant que $\sqrt{-1}$ n'appartient pas à $k_{n-1}$, +et en se souvenant que $√{-1}$ n'appartient pas à $k_{n-1}$, on en déduit que $λ²$ appartient au groupe $G_{n-1}$. Une nouvelle application de l'hypothèse de récurrence montre que $λ$ appartient également -à $G_{n-1}$. Si $x=λ(1±\sqrt{-1})$ appartient à $k^×⟨A⟩$, on a donc -$1±\sqrt{-1}$ dans $k^×⟨A⟩$. D'après l'hypothèse (b), on a alors -$\sqrt{-1}$ dans $k^×$ et finalement $x$ dans $G_{n-1}$. CQFD. +à $G_{n-1}$. Si $x=λ(1±√{-1})$ appartient à $k^×⟨A⟩$, on a donc +$1±√{-1}$ dans $k^×⟨A⟩$. D'après l'hypothèse (b), on a alors +$√{-1}$ dans $k^×$ et finalement $x$ dans $G_{n-1}$. CQFD. \end{itemize} \end{itemize} \end{démo} @@ -2191,14 +2191,14 @@ correspondante. Soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$. cyclique d'ordre $p^{r+1}$, il existe un élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ tel que $K$ soit $k$-isomorphe au plus petit sous-corps -$k(\sqrt[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les +$k(√[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les solutions de l'équation $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ appartiennent -à $W_{[q]}(k(\sqrt[℘]{f}))$. -\item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(\sqrt[℘]{f}) \bo k$ +à $W_{[q]}(k(√[℘]{f}))$. +\item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(√[℘]{f}) \bo k$ est galoisienne cyclique d'ordre divisant $p^{r+1}$ avec égalité si et seulement si le premier coefficient de Witt de $f$ n'appartient pas à $℘(k)$. D'autre -part, $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré +part, $k(√[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt d'un élément quelconque $g$ de $W_{[q]}(Ω)$ satisfaisant l'équation $℘(g)=f$. \end{enumerate} @@ -2213,10 +2213,10 @@ posons $g_ζ:=g₀ ⊕ ζ ∈ W_{[q]}(k\sep)$. D'après \ref{noyau p-Weierstrass les solutions de $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ sont les $(g_ζ)_ζ$. (Ici, comme dans l'énoncé, on note abusivement $f$ l'image de l'élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ par l'injection canonique -$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps +$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(√[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt de $g₀$ (par exemple) -et d'autre part que le corps $k(\sqrt[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ : -l'extension $k(\sqrt[℘]{f})\bo k$ est donc +et d'autre part que le corps $k(√[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ : +l'extension $k(√[℘]{f})\bo k$ est donc algébrique \emph{séparable}. Montrons qu'elle est \emph{normale}. Soit $σ : Ω → Ω$ un $k$-automorphisme. En appliquant $σ$ à l'égalité $℘(g₀)=f$ on obtient, par commutation @@ -2225,7 +2225,7 @@ d'où $σ (g₀)=g_{ζ_σ}$ pour un unique $ζ_σ ∈ W(𝐅_p)$. Il en résulte que $σ (g_ζ)=g_ζ ⊕ ζ_σ$ pour tout $ζ$ car $σ$ commute à l'addition dans les vecteurs de Witt tronqués et agit trivialement sur $W_{[q]}(𝐅_p)$. -Ainsi, $σ$ préserve $K=k(\sqrt[℘]{f})$, de sorte +Ainsi, $σ$ préserve $K=k(√[℘]{f})$, de sorte que l'extension $K \bo k$ est galoisienne, et $σ ∈ G=\Gal(K\bo k) ↦ ζ_σ ∈ W_{[q]}(𝐅_p)$ est une injection. D'après \ref{calcul W(Fp)}, @@ -2235,7 +2235,7 @@ Soit $f ′$ (resp. $g₀ ′$) l'image de $f$ (resp. $g₀$) dans $W_{[1]}(k) ($W_{[1]}(K) = K$) par la surjection canonique $W_{[q]} ↠W_{[1]}$. Le morphisme $℘$ commute à cette projection de sorte que $℘_{W_{[1]}}(g₀ ′)=f ′ $. Le corps $K$ contient donc le sous-corps -$K ′ =k(\sqrt[℘]{f ′})$, galoisien sur $k$. D'autre part, +$K ′ =k(√[℘]{f ′})$, galoisien sur $k$. D'autre part, l'action d'un élément $σ ∈ G$ sur $K ′$ se factorise à travers le quotient $W_{[q]}(𝐅_p) ↠ W_{[1]}(𝐅_p)=𝐅_p$ : la réduction de l'égalité $σ(g₀)= g₀ ⊕_{W_{[q]}(K)} ζ_σ$ |