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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 22:38:08 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 22:38:08 +0100
commit6848042f646306a593475e43ab56718eb390e470 (patch)
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Unicode : racines carrées (le caractère √ n'est pas actif).
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index a88d1e3..1b80e8c 100644
--- a/chapitres/KASW.tex
+++ b/chapitres/KASW.tex
@@ -575,8 +575,8 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item pour tout nombre premier $ℓ$, toute racine $ℓ$-ième
de l'unité dans $k^×⟨A⟩$ est en fait dans $k^×$ et,
-\item toute racine primitive quatrième de l'unité $√{-1}$
-dans $K$ telle que $1+√{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$
+\item toute racine primitive quatrième de l'unité $\sqrt{-1}$
+dans $K$ telle que $1+\sqrt{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$
est en fait dans $k^×$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
@@ -614,10 +614,10 @@ Puisque $ℓ$ est premier à $r/(n,r)$, on en
tire $a ∈ {k^×}^ℓ$, ce qui est contraire à l'hypothèse. Ainsi $ℓ$ ne divise pas
$m$ et l'égalité $ζ_ℓ^m=λ^m a^{r/(n,r)} ∈ k^×$ entraîne l'appartenance
de $ζ_ℓ$ à $k^×$. Vérifions maintenant le critère (b) en supposant
-que $1+√{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$. (On suppose en particulier
+que $1+\sqrt{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$. (On suppose en particulier
que la caractéristique de $k$ est différente de deux, sans quoi il n'y a rien à
démontrer.) Écrivons comme précédemment
-\[1+√{-1}=λ α^r\] et posons $m=n/(n,r)$.
+\[1+\sqrt{-1}=λ α^r\] et posons $m=n/(n,r)$.
\begin{itemize}
\item [Cas où quatre divise $m$.] On obtient par élévation à la puissance $m$ l'égalité
@@ -633,16 +633,16 @@ Or, il résulte de notre hypothèse que si $s$ est un entier tel que
$4|ns$ et $a^s ∈ -4 {k^×}⁴$ alors $4|s$. En effet on aurait
dans le cas contraire soit $4|n$ et $a ∈ -4 {k^×}⁴$ (ce qui est exclu)
soit $2|n$ et $a² ∈ -4 {k^×}⁴$. Cette dernière possibilité est
-également exclue car on aurait alors $√{-1} ∈ k$ et enfin $a ∈ {k^×}²$.
+également exclue car on aurait alors $\sqrt{-1} ∈ k$ et enfin $a ∈ {k^×}²$.
Appliquant cette observation à $s=r/(n,r)$, on constate que
l'élément $a^{r/(n,r)}$ ne peut appartenir à l'ensemble $-4 {k^×}⁴$
si quatre ne divise pas $r/(n,r)$. Contradiction.
\end{itemize}
\item [Cas où quatre ne divise pas $m$.]
-Puisque $(1+√{-1})^m=λ^m a^{r/(n,r)}$ appartient à $k$,
-il en est de même de $√{-1}$ compte tenu du fait que
-$2^{-[m/2]}(1+√{-1})^m$ appartient à l'ensemble
-$\{±√{-1},±1±√{-1}\}$.
+Puisque $(1+\sqrt{-1})^m=λ^m a^{r/(n,r)}$ appartient à $k$,
+il en est de même de $\sqrt{-1}$ compte tenu du fait que
+$2^{-[m/2]}(1+\sqrt{-1})^m$ appartient à l'ensemble
+$\{±\sqrt{-1},±1±\sqrt{-1}\}$.
\end{itemize}
\end{démo}
@@ -721,7 +721,7 @@ conditions suivantes sont satisfaites :
\begin{itemize}
\item [si $ℓ≠2$ :] $x^ℓ$ appartient à $G_n$ ;
\item [si $ℓ=2$ :] $x²$ appartient à $G_n$ et, d'autre part, soit
-$x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ soit $√{-1}$ n'appartient pas à $k_n$.
+$x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ soit $\sqrt{-1}$ n'appartient pas à $k_n$.
\end{itemize}
\end{itemize}
Les énoncés $C₀$ et $D₀$ sont trivialement vrais. Supposons donc $n>0$.
@@ -781,35 +781,35 @@ $x²$ appartienne à $G_n$. Il existe donc un entier $s ∈ \{0,1\}$
et un élément $h ∈ G_{n-1}$ tels que $x²=g_n^s h$.
\begin{itemize}
\item[Cas $s=0$.] Même démonstration que ci-dessus. Observer
-que si $x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $√{-1}$ n'appartient
-pas à $k_n$), alors $xg_n^{-1}$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $√{-1}$ n'appartient
+que si $x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $\sqrt{-1}$ n'appartient
+pas à $k_n$), alors $xg_n^{-1}$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $\sqrt{-1}$ n'appartient
pas à $k_{n-1}$).
% changer l'étude de cas.
\item[Cas $s=1$.] Notons $N$ la norme de $k_n$ à $k_{n-1}$ et observons d'ores et déjà
que $N(g_n)=-g_{n}²$ car le polynôme minimal de $g_n$ sur $k_{n-1}$ est
$X²-g_n²$, de degré pair. L'égalité $x²=g_n h$ devient donc $N(x)²=-g_n² h²$ par application
-de $N$, d'où $g_n h=(±N(x))√{-1}$.
+de $N$, d'où $g_n h=(±N(x))\sqrt{-1}$.
Les deux éléments $h,N(x)$ appartenant à $k_{n-1}$ et $g_n$ à $k_n-k_{n-1}$,
-il en résulte que $√{-1}$ appartient à $k_n-k_{n-1}$. En conséquence,
-l'extension quadratique $k_n \bo k_{n-1}$ est engendrée par $√{-1}$.
-On peut donc écrire l'élément $x$ de $k_n$ sous la forme $λ+μ √{-1}$
+il en résulte que $\sqrt{-1}$ appartient à $k_n-k_{n-1}$. En conséquence,
+l'extension quadratique $k_n \bo k_{n-1}$ est engendrée par $\sqrt{-1}$.
+On peut donc écrire l'élément $x$ de $k_n$ sous la forme $λ+μ \sqrt{-1}$
où $λ$ et $μ$ appartiennent à $k_{n-1}$. Par élévation au carré,
-on obtient $x²=(λ²-μ²)+(2 λ μ) √{-1}$. Comme d'autre part $x²=g_n h$
-appartient à la droite $k_{n-1} ⋅ √{-1}$ (cf. \emph{supra}),
+on obtient $x²=(λ²-μ²)+(2 λ μ) \sqrt{-1}$. Comme d'autre part $x²=g_n h$
+appartient à la droite $k_{n-1} ⋅ \sqrt{-1}$ (cf. \emph{supra}),
on a $λ=± μ$, c'est-à-dire :
\[
-x=λ(1±√{-1}).
+x=λ(1±\sqrt{-1}).
\]
En élevant à la puissance quatrième, on obtient $x⁴=(-4) ⋅ λ ⁴$. Comme $x²$
appartient à $G_n$, son carré $x^4$ appartient à $G_{n-1}$, de même que $λ⁴$.
(Rappelons que $-4 ∈ k^×=G₀$.)
En appliquant l'hypothèse de récurrence $(D_{n-1})$ à l'élément $λ²$,
-et en se souvenant que $√{-1}$ n'appartient pas à $k_{n-1}$,
+et en se souvenant que $\sqrt{-1}$ n'appartient pas à $k_{n-1}$,
on en déduit que $λ²$ appartient au groupe $G_{n-1}$. Une nouvelle
application de l'hypothèse de récurrence montre que $λ$ appartient également
-à $G_{n-1}$. Si $x=λ(1±√{-1})$ appartient à $k^×⟨A⟩$, on a donc
-$1±√{-1}$ dans $k^×⟨A⟩$. D'après l'hypothèse (b), on a alors
-$√{-1}$ dans $k^×$ et finalement $x$ dans $G_{n-1}$. CQFD.
+à $G_{n-1}$. Si $x=λ(1±\sqrt{-1})$ appartient à $k^×⟨A⟩$, on a donc
+$1±\sqrt{-1}$ dans $k^×⟨A⟩$. D'après l'hypothèse (b), on a alors
+$\sqrt{-1}$ dans $k^×$ et finalement $x$ dans $G_{n-1}$. CQFD.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{démo}
@@ -2195,14 +2195,14 @@ correspondante. Soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
cyclique d'ordre $p^{r+1}$, il existe un
élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ tel que
$K$ soit $k$-isomorphe au plus petit sous-corps
-$k(√[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les
+$k(\sqrt[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les
solutions de l'équation $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ appartiennent
-à $W_{[q]}(k(√[℘]{f}))$.
-\item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(√[℘]{f}) \bo k$
+à $W_{[q]}(k(\sqrt[℘]{f}))$.
+\item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(\sqrt[℘]{f}) \bo k$
est galoisienne cyclique d'ordre divisant $p^{r+1}$
avec égalité si et seulement si le premier coefficient
de Witt de $f$ n'appartient pas à $℘(k)$. D'autre
-part, $k(√[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré
+part, $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré
par les coefficients de Witt d'un élément
quelconque $g$ de $W_{[q]}(Ω)$ satisfaisant l'équation $℘(g)=f$.
\end{enumerate}
@@ -2217,10 +2217,10 @@ posons $g_ζ:=g₀ ⊕ ζ ∈ W_{[q]}(k\sep)$. D'après \ref{noyau p-Weierstrass
les solutions de $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ sont les $(g_ζ)_ζ$.
(Ici, comme dans l'énoncé, on note abusivement $f$ l'image
de l'élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ par l'injection canonique
-$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(√[℘]{f})$ est le sous-corps
+$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps
de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt de $g₀$ (par exemple)
-et d'autre part que le corps $k(√[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ :
-l'extension $k(√[℘]{f})\bo k$ est donc
+et d'autre part que le corps $k(\sqrt[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ :
+l'extension $k(\sqrt[℘]{f})\bo k$ est donc
algébrique \emph{séparable}. Montrons qu'elle est \emph{normale}.
Soit $σ : Ω → Ω$ un $k$-automorphisme. En appliquant
$σ$ à l'égalité $℘(g₀)=f$ on obtient, par commutation
@@ -2229,7 +2229,7 @@ d'où $σ (g₀)=g_{ζ_σ}$ pour un unique $ζ_σ ∈ W(𝐅_p)$.
Il en résulte que $σ (g_ζ)=g_ζ ⊕ ζ_σ$ pour tout $ζ$ car $σ$ commute
à l'addition dans les vecteurs de Witt tronqués et
agit trivialement sur $W_{[q]}(𝐅_p)$.
-Ainsi, $σ$ préserve $K=k(√[℘]{f})$, de sorte
+Ainsi, $σ$ préserve $K=k(\sqrt[℘]{f})$, de sorte
que l'extension $K \bo k$ est galoisienne,
et $σ ∈ G=\Gal(K\bo k) ↦ ζ_σ ∈ W_{[q]}(𝐅_p)$
est une injection. D'après \ref{calcul W(Fp)},
@@ -2239,7 +2239,7 @@ Soit $f ′$ (resp. $g₀ ′$) l'image de $f$ (resp. $g₀$) dans $W_{[1]}(k)
($W_{[1]}(K) = K$) par la surjection canonique $W_{[q]} ↠W_{[1]}$.
Le morphisme $℘$ commute à cette projection de sorte que
$℘_{W_{[1]}}(g₀ ′)=f ′ $. Le corps $K$ contient donc le sous-corps
-$K ′ =k(√[℘]{f ′})$, galoisien sur $k$. D'autre part,
+$K ′ =k(\sqrt[℘]{f ′})$, galoisien sur $k$. D'autre part,
l'action d'un élément $σ ∈ G$ sur $K ′$ se factorise
à travers le quotient $W_{[q]}(𝐅_p) ↠ W_{[1]}(𝐅_p)=𝐅_p$ :
la réduction de l'égalité $σ(g₀)= g₀ ⊕_{W_{[q]}(K)} ζ_σ$