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Le morphisme @@ -462,7 +462,7 @@ de façon cruciale sur une variante du lemme \ref{Zsurn dual nul implique nul}. \subsection{Démonstration}Nous allons démontrer ici le théorème \ref{Kummer général}. Commençons par le cas des extensions finies. Soit $K$ une sous-extension de -$Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant divisant $n$. +$Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant divisant $n$. Considérons le morphisme $A_K \bo {k^×}^n → \Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ envoyant la classe de $a ∈ A_K$ sur le caractère de Kummer correspondant : $σ ↦ σ(a^{1/n})/a^{1/n}$. Ce morphisme est injectif car @@ -483,7 +483,7 @@ Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement Les groupes $\Gal(K\bo k)$ et $\Gal(K ′ \bo k)$ ayant même cardinal — celui de $A_K \bo {k^×}^n$ —, on a également $K = K ′$. Ceci montre que toute sous-extension abélienne finie d'exposant divisant $n$ de -$Ω$ est de la forme $k(A^{1/n})$, où $A$ est comme dans l'énoncé. +$Ω$ est de la forme $k(A^{1/n})$, où $A$ est comme dans l'énoncé. Notons $D_μ=\Hom(\tiret,μ)$. L'isomorphisme $A_K \bo {k^×}^n ⥲ D_μ(\Gal(K\bo k))$ induit un isomorphisme $D_μD_μ(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_μ(A_K \bo {k^×}^n)$. On vérifie immédiatement que l'isomorphisme composé @@ -528,12 +528,12 @@ que $a=b^ℓ$. \end{lemme2} \begin{démo} -Soient $Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $α$ une racine $ℓ$-ième -de $a$ dans $Ω$. Les racines dans $Ω$ d'un diviseur $g$ de $f$ dans $k[X]$ +Soient $Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $α$ une racine $ℓ$-ième +de $a$ dans $Ω$. Les racines dans $Ω$ d'un diviseur $g$ de $f$ dans $k[X]$ s'écrivant sous la forme $ζ α$, où $ζ$ parcourt une partie -$S⊆μ_ℓ(Ω)$ de cardinal $\deg(g)$, son coefficient $g(0)$ +$S⊆μ_ℓ(Ω)$ de cardinal $\deg(g)$, son coefficient $g(0)$ est égal — au signe près — au produit $ξ α^{\deg(g)}$, -où $ξ=∏_{ζ ∈ S} ζ$ appartient à $μ_ℓ(Ω)$. Par élévation à +où $ξ=∏_{ζ ∈ S} ζ$ appartient à $μ_ℓ(Ω)$. Par élévation à la puissance $ℓ$, on voit que $a^{\deg(g)}$ appartient à ${k^×}^ℓ$. La conclusion résulte alors du fait que si $g$ est un diviseur strict de $f$, on a $\deg(g)< ℓ$ de sorte que $d=\deg(g)$ et $ℓ$ sont premiers entre eux @@ -550,8 +550,8 @@ existe un unique entier $r ∈ [0,ℓ-1]$ tel que $y/x^r$ appartienne à $k$. \end{lemme2} \begin{démo} -Soient $Ω$ une clôture algébrique de $K$, $ζ$ une racine \emph{primitive} -$ℓ$-ième de l'unité dans $Ω$ et $σ:K → Ω$ l'unique $k$-plongement +Soient $Ω$ une clôture algébrique de $K$, $ζ$ une racine \emph{primitive} +$ℓ$-ième de l'unité dans $Ω$ et $σ:K → Ω$ l'unique $k$-plongement envoyant $x$ sur $ζx$. Considérons maintenant $σ(y)$. Puisque $σ(y^ℓ)=y^ℓ$ — car $y^ℓ$ est un élément de $k$ —, on peut écrire $σ(y)$ sous la forme $ξ y$, où $ξ$ est une racine $ℓ$-ième de l'unité. Cette racine s'écrit donc @@ -1122,12 +1122,12 @@ Ici encore, le fait remarquable est que toutes les extensions abéliennes d'exposant divisant $p$ sont obtenues ainsi. \begin{théorème2}\label{AS général} -Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$ et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$. +Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$ et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$. \begin{enumerate} \item L'application $A ↦ K_A=k(\root ℘ \of A)$ est une bijection croissante entre l'ensemble des sous-groupes de $k$ contenant $℘(k)$ et l'ensemble des sous-extensions -abéliennes de $Ω$ d'exposant divisant $p$. La bijection +abéliennes de $Ω$ d'exposant divisant $p$. La bijection réciproque est donnée par $K ↦ A_K=℘(K) ∩ k$. \item Soit $A$ un sous-groupe de $k$ contenant $℘(k)$. Le morphisme @@ -1147,7 +1147,7 @@ est un isomorphisme. En particulier \subsubsection{Démonstration du théorème \ref{AS général}} (\emph{Mutatis mutandis}, la démonstration est identique à celle de \ref{Kummer général}.) -Soit $K$ une sous-extension de $Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant +Soit $K$ une sous-extension de $Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant divisant $p$. Considérons le morphisme $A_K \bo ℘(k) → \Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$ envoyant la classe de $a ∈ A_K$ sur le caractère d'Artin-Schreier correspondant : @@ -1170,7 +1170,7 @@ Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement Les groupes $\Gal(K\bo k)$ et $\Gal(K ′ \bo k)$ ayant même cardinal — celui de $A_K \bo ℘(k)$ —, on a également $K = K ′$. Ceci montre que toute sous-extension abélienne finie d'exposant divisant $p$ de -$Ω$ est de la forme $k(\root ℘ \of A)$, où $A$ est comme dans l'énoncé. +$Ω$ est de la forme $k(\root ℘ \of A)$, où $A$ est comme dans l'énoncé. Notons $D_p=\Hom(\tiret,𝐙/p)$. L'isomorphisme $A_K \bo ℘(k) ⥲ D_p(\Gal(K\bo k))$ induit un isomorphisme $D_pD_p(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_p(A_K \bo ℘(k) )$. On vérifie immédiatement que l'isomorphisme composé @@ -1267,11 +1267,11 @@ On a donc montré que toute extension de $k$ de groupe $𝐙/p²$ est obtenue par extensions successives d'Artin-Schreier d'un type particulier : $x^p-x=a$ puis $y^p-y=q(x)$ où $q(x+1)-q(x)=(x+a)^{p-1}-x^{p-1}$. -\subsubsection{Réciproque} Soit $k$ un corps de caractéristique $p$ et soit $Ω$ +\subsubsection{Réciproque} Soit $k$ un corps de caractéristique $p$ et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$. Considérons : \begin{enumerate} \item $a ∈ k-℘(k)$ ; -\item $x ∈ Ω$ une racine du polynôme irréductible $X^p-X-a ∈ k[X]$ ; +\item $x ∈ Ω$ une racine du polynôme irréductible $X^p-X-a ∈ k[X]$ ; \item $q ∈ k[X]$ un polynôme de degré inférieur ou égal à $p-1$ satisfaisant l'équation aux différences \[ @@ -1281,7 +1281,7 @@ q(x+1)-q(x)=(x+a)^{p-1}-x^{p-1}. Posons \[ -P(Y)=∏_{ζ ∈ 𝐅_p} \big(Y^p-Y-q(x+ζ)\big) ∈ Ω[X]. +P(Y)=∏_{ζ ∈ 𝐅_p} \big(Y^p-Y-q(x+ζ)\big) ∈ Ω[X]. \] \begin{lemme2} @@ -1316,15 +1316,15 @@ degré $p²$ sur $k$. CQFD. \end{démo} \begin{lemme2} -Soit $y ∈ Ω$ une racine du polynôme $P$ dans $Ω$. +Soit $y ∈ Ω$ une racine du polynôme $P$ dans $Ω$. L'extension $k(y)\bo k$ est galoisienne de groupe cyclique d'ordre $p²$. \end{lemme2} \begin{démo} Commençons par observer que si pour chaque $ζ ∈ 𝐅_p$, -on note $y_ζ$ une racine de $Y^p-Y-q(x+ζ)$ dans $Ω$, +on note $y_ζ$ une racine de $Y^p-Y-q(x+ζ)$ dans $Ω$, l'ensemble des racines de $P$ est le sous-ensemble -$\{y_ζ + ψ : (ζ,ψ) ∈ (𝐅_p)²\}$ de $Ω$. On veut montrer +$\{y_ζ + ψ : (ζ,ψ) ∈ (𝐅_p)²\}$ de $Ω$. On veut montrer qu'il est contenu dans $k(y₀)$. (On peut supposer $y=y₀$.) Or, il résulte de l'identité $(x+ζ)^{p(p-1)}=(x+a+ζ)^{p-1}$ et de l'équation aux différences satisfaite par $q$ que si $y_ζ$ est une racine @@ -1350,11 +1350,11 @@ En résumé, nous avons démontré le théorème suivant. \begin{théorème2}[\cite{Kennzeichnung@AS}, théorème 3]\label{AS Z sur p carré} Soient $k$ un corps de caractéristique $p>0$, $a ∈ k- ℘(k)$, -$Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $x$ une racine du polynôme -$X^p-X-a$ dans $Ω$. Pour tout polynôme $q_{AS} ∈ k[X]$ +$Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $x$ une racine du polynôme +$X^p-X-a$ dans $Ω$. Pour tout polynôme $q_{AS} ∈ k[X]$ tel que $q_{AS}(X+1)-q_{AS}(X)=(X+a)^{p-1}-X^{p-1}$, et toute racine $y_{AS}$ du polynôme $Y^p-Y-q_{AS}(x)$, la sous-extension -$k(y_{AS})$ de $Ω$ contient $k(x)$ et est galoisienne de groupe +$k(y_{AS})$ de $Ω$ contient $k(x)$ et est galoisienne de groupe cyclique d'ordre $p²$ sur $k$. Réciproquement toute telle extension est obtenue de cette manière. De plus, $σ(x)=x+1$ et $σ(y_{AS})=y_{AS}+x^{p-1}$. \XXX \end{théorème2} @@ -1982,7 +1982,7 @@ naturellement isomorphe à $(A,+)$ par le morphisme $a ′ ↦ (0,a ′)$. \subsubsection{} Soient $(a,b)$ deux éléments de $k$ de caractéristique $p>0$ -et soit $Ω$ une clôture séparable de $k$. +et soit $Ω$ une clôture séparable de $k$. L'équation $℘(x,y)=(a,b)$ en les inconnues $(x,y)$, où $℘=F_p \ominus \Id$, est équivalente aux deux équations : \[ @@ -1992,15 +1992,15 @@ et \[ ℘(y)=(-1)^{p+1} x^p \log_{<p}(-\frac{a}{x}) + b. \] -Ces équations ont des solutions dans $Ω$ car elles +Ces équations ont des solutions dans $Ω$ car elles sont séparables. Notons $q_W$ — $W$ pour \emph{Witt} — le terme de droite de la seconde équation. C'est un polynôme en $x$ de terme constant $b$ de degré visiblement -inférieur ou égal à $p$. Si le couple $(x_W,y_W) ∈ Ω²$ est une solution de +inférieur ou égal à $p$. Si le couple $(x_W,y_W) ∈ Ω²$ est une solution de ces équations, le couple $τ(x_W,y_W)=(x_W+1,y_W+\log_{<p}(x_W+1))$ est également solution : cela résulte du fait que $℘$ est additif, de noyau contenant $(1,0)$. -Ceci se traduit par l'égalité dans $Ω$ +Ceci se traduit par l'égalité dans $Ω$ \[ ℘\big(\log_{<p}(x_W+1))=q_W(x_W+1)-q_W(x_W), \] @@ -2151,9 +2151,9 @@ On observera que les coefficients $β$ sont obtenus par résolutions successives d'équations d'Artin-Schreier. Soit maintenant $f ∈ W(K)$, où $K$ n'est plus supposé -séparablement clos. Soit $Ω$ une clôture séparable de $K$ -et soit $f_Ω$ l'image de $f$ dans le sur-groupe $W(Ω)$ de $W(K)$. -Les $Ω$-algèbres $M(f_Ω)$ et $M(f) ⊗_K Ω$ sont canoniquement +séparablement clos. Soit $Ω$ une clôture séparable de $K$ +et soit $f_Ω$ l'image de $f$ dans le sur-groupe $W(Ω)$ de $W(K)$. +Les $Ω$-algèbres $M(f_Ω)$ et $M(f) ⊗_K Ω$ sont canoniquement isomorphes. Le caractère étale d'une algèbre sur un corps se testant après extension algébrique séparable, et le rang étant invariant par une telle extension, @@ -2189,40 +2189,40 @@ $E_p(α.X) ↦ ∑_{i=0}^{r} \gtilde{α_{p^i}}p^i \mod p^{r+1}$, est un isomorph \begin{théorème2}\label{ASW} Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$, $r ≥ 0$ un entier et $q=p^r$ la puissance de $p$ -correspondante. Soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$. +correspondante. Soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$. \begin{enumerate} \item Pour toute extension galoisienne $K\bo k$ de groupe cyclique d'ordre $p^{r+1}$, il existe un élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ tel que $K$ soit $k$-isomorphe au plus petit sous-corps -$k(\sqrt[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les -solutions de l'équation $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ appartiennent +$k(\sqrt[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les +solutions de l'équation $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ appartiennent à $W_{[q]}(k(\sqrt[℘]{f}))$. \item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(\sqrt[℘]{f}) \bo k$ est galoisienne cyclique d'ordre divisant $p^{r+1}$ avec égalité si et seulement si le premier coefficient de Witt de $f$ n'appartient pas à $℘(k)$. D'autre -part, $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré +part, $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt d'un élément -quelconque $g$ de $W_{[q]}(Ω)$ satisfaisant l'équation $℘(g)=f$. +quelconque $g$ de $W_{[q]}(Ω)$ satisfaisant l'équation $℘(g)=f$. \end{enumerate} \end{théorème2} \subsubsection{Démonstration de \ref{ASW} (ii)} Soit $f$ comme dans l'énoncé. Notons $k\sep$ la clôture -séparable de $k$ dans $Ω$. D'après \ref{séparabilité p-Weierstrass-Witt}, +séparable de $k$ dans $Ω$. D'après \ref{séparabilité p-Weierstrass-Witt}, il existe $g₀ ∈ ℘^{-1}(f)(k\sep)$. Pour chaque $ζ ∈ W_{[q]}(𝐅_p)$, posons $g_ζ:=g₀ ⊕ ζ ∈ W_{[q]}(k\sep)$. D'après \ref{noyau p-Weierstrass-Witt}, -les solutions de $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ sont les $(g_ζ)_ζ$. +les solutions de $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ sont les $(g_ζ)_ζ$. (Ici, comme dans l'énoncé, on note abusivement $f$ l'image de l'élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ par l'injection canonique -$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps -de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt de $g₀$ (par exemple) +$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps +de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt de $g₀$ (par exemple) et d'autre part que le corps $k(\sqrt[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ : l'extension $k(\sqrt[℘]{f})\bo k$ est donc algébrique \emph{séparable}. Montrons qu'elle est \emph{normale}. -Soit $σ : Ω → Ω$ un $k$-automorphisme. En appliquant +Soit $σ : Ω → Ω$ un $k$-automorphisme. En appliquant $σ$ à l'égalité $℘(g₀)=f$ on obtient, par commutation évidente de $σ$ avec $℘$, l'égalité $℘\big(σ (g₀)\big)=f$ d'où $σ (g₀)=g_{ζ_σ}$ pour un unique $ζ_σ ∈ W(𝐅_p)$. |