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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 22:10:52 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 22:10:52 (GMT)
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@@ -390,12 +390,12 @@ abéliennes d'exposant divisant $n$ sont obtenues ainsi.
\begin{théorème2}\label{Kummer général}
Soient $n$ un entier, $k$ un corps contenant $n$ racines
-$n$-ièmes de l'unité et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+$n$-ièmes de l'unité et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
\begin{enumerate}
\item L'application $A ↦ K_A=k(A^{1/n})$ est une bijection
croissante entre l'ensemble des sous-groupes de $k^×$
contenant ${k^×}^n$ et l'ensemble des sous-extensions
-abéliennes de $Ω$ d'exposant divisant $n$. La bijection
+abéliennes de $Ω$ d'exposant divisant $n$. La bijection
réciproque est donnée par $K ↦ A_K={K^×}^n ∩ k^×$.
\item Soit $A$ un sous-groupe de $k^×$ contenant ${k^×}^n$.
Le morphisme
@@ -462,7 +462,7 @@ de façon cruciale sur une variante du lemme \ref{Zsurn dual nul implique nul}.
\subsection{Démonstration}Nous allons démontrer ici le théorème \ref{Kummer
général}. Commençons par le cas des extensions finies. Soit $K$ une sous-extension de
-$Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant divisant $n$.
+$Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant divisant $n$.
Considérons le morphisme $A_K \bo {k^×}^n → \Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$
envoyant la classe de $a ∈ A_K$ sur le caractère de Kummer correspondant :
$σ ↦ σ(a^{1/n})/a^{1/n}$. Ce morphisme est injectif car
@@ -483,7 +483,7 @@ Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement
Les groupes $\Gal(K\bo k)$ et $\Gal(K ′ \bo k)$ ayant même cardinal — celui de
$A_K \bo {k^×}^n$ —, on a également $K = K ′$.
Ceci montre que toute sous-extension abélienne finie d'exposant divisant $n$ de
-$Ω$ est de la forme $k(A^{1/n})$, où $A$ est comme dans l'énoncé.
+$Ω$ est de la forme $k(A^{1/n})$, où $A$ est comme dans l'énoncé.
Notons $D_μ=\Hom(\tiret,μ)$. L'isomorphisme $A_K \bo {k^×}^n ⥲ D_μ(\Gal(K\bo k))$
induit un isomorphisme $D_μD_μ(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_μ(A_K \bo {k^×}^n)$.
On vérifie immédiatement que l'isomorphisme composé
@@ -528,12 +528,12 @@ que $a=b^ℓ$.
\end{lemme2}
\begin{démo}
-Soient $Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $α$ une racine $ℓ$-ième
-de $a$ dans $Ω$. Les racines dans $Ω$ d'un diviseur $g$ de $f$ dans $k[X]$
+Soient $Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $α$ une racine $ℓ$-ième
+de $a$ dans $Ω$. Les racines dans $Ω$ d'un diviseur $g$ de $f$ dans $k[X]$
s'écrivant sous la forme $ζ α$, où $ζ$ parcourt une partie
-$S⊆μ_ℓ(Ω)$ de cardinal $\deg(g)$, son coefficient $g(0)$
+$S⊆μ_ℓ(Ω)$ de cardinal $\deg(g)$, son coefficient $g(0)$
est égal — au signe près — au produit $ξ α^{\deg(g)}$,
-où $ξ=∏_{ζ ∈ S} ζ$ appartient à $μ_ℓ(Ω)$. Par élévation à
+où $ξ=∏_{ζ ∈ S} ζ$ appartient à $μ_ℓ(Ω)$. Par élévation à
la puissance $ℓ$, on voit que $a^{\deg(g)}$ appartient à ${k^×}^ℓ$.
La conclusion résulte alors du fait que si $g$ est un diviseur strict de $f$,
on a $\deg(g)< ℓ$ de sorte que $d=\deg(g)$ et $ℓ$ sont premiers entre eux
@@ -550,8 +550,8 @@ existe un unique entier $r ∈ [0,ℓ-1]$ tel que $y/x^r$ appartienne à $k$.
\end{lemme2}
\begin{démo}
-Soient $Ω$ une clôture algébrique de $K$, $ζ$ une racine \emph{primitive}
-$ℓ$-ième de l'unité dans $Ω$ et $σ:K → Ω$ l'unique $k$-plongement
+Soient $Ω$ une clôture algébrique de $K$, $ζ$ une racine \emph{primitive}
+$ℓ$-ième de l'unité dans $Ω$ et $σ:K → Ω$ l'unique $k$-plongement
envoyant $x$ sur $ζx$. Considérons maintenant $σ(y)$. Puisque $σ(y^ℓ)=y^ℓ$ — car
$y^ℓ$ est un élément de $k$ —, on peut écrire $σ(y)$ sous la forme $ξ y$,
où $ξ$ est une racine $ℓ$-ième de l'unité. Cette racine s'écrit donc
@@ -1122,12 +1122,12 @@ Ici encore, le fait remarquable est que toutes les extensions
abéliennes d'exposant divisant $p$ sont obtenues ainsi.
\begin{théorème2}\label{AS général}
-Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$ et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$ et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
\begin{enumerate}
\item L'application $A ↦ K_A=k(\root ℘ \of A)$ est une bijection
croissante entre l'ensemble des sous-groupes de $k$
contenant $℘(k)$ et l'ensemble des sous-extensions
-abéliennes de $Ω$ d'exposant divisant $p$. La bijection
+abéliennes de $Ω$ d'exposant divisant $p$. La bijection
réciproque est donnée par $K ↦ A_K=℘(K) ∩ k$.
\item Soit $A$ un sous-groupe de $k$ contenant $℘(k)$.
Le morphisme
@@ -1147,7 +1147,7 @@ est un isomorphisme. En particulier
\subsubsection{Démonstration du théorème \ref{AS général}}
(\emph{Mutatis mutandis}, la démonstration est identique à celle
de \ref{Kummer général}.)
-Soit $K$ une sous-extension de $Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant
+Soit $K$ une sous-extension de $Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant
divisant $p$. Considérons le morphisme $A_K \bo ℘(k) → \Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$
envoyant la classe de $a ∈ A_K$ sur le caractère
d'Artin-Schreier correspondant :
@@ -1170,7 +1170,7 @@ Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement
Les groupes $\Gal(K\bo k)$ et $\Gal(K ′ \bo k)$ ayant même cardinal — celui de
$A_K \bo ℘(k)$ —, on a également $K = K ′$.
Ceci montre que toute sous-extension abélienne finie d'exposant divisant $p$ de
-$Ω$ est de la forme $k(\root ℘ \of A)$, où $A$ est comme dans l'énoncé.
+$Ω$ est de la forme $k(\root ℘ \of A)$, où $A$ est comme dans l'énoncé.
Notons $D_p=\Hom(\tiret,𝐙/p)$. L'isomorphisme $A_K \bo ℘(k) ⥲ D_p(\Gal(K\bo k))$
induit un isomorphisme $D_pD_p(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_p(A_K \bo ℘(k) )$.
On vérifie immédiatement que l'isomorphisme composé
@@ -1267,11 +1267,11 @@ On a donc montré que toute extension de $k$ de groupe $𝐙/p²$
est obtenue par extensions successives d'Artin-Schreier d'un type
particulier : $x^p-x=a$ puis $y^p-y=q(x)$ où $q(x+1)-q(x)=(x+a)^{p-1}-x^{p-1}$.
-\subsubsection{Réciproque} Soit $k$ un corps de caractéristique $p$ et soit $Ω$
+\subsubsection{Réciproque} Soit $k$ un corps de caractéristique $p$ et soit $Ω$
une clôture algébrique de $k$. Considérons :
\begin{enumerate}
\item $a ∈ k-℘(k)$ ;
-\item $x ∈ Ω$ une racine du polynôme irréductible $X^p-X-a ∈ k[X]$ ;
+\item $x ∈ Ω$ une racine du polynôme irréductible $X^p-X-a ∈ k[X]$ ;
\item $q ∈ k[X]$ un polynôme de degré inférieur ou égal à $p-1$
satisfaisant l'équation aux différences
\[
@@ -1281,7 +1281,7 @@ q(x+1)-q(x)=(x+a)^{p-1}-x^{p-1}.
Posons
\[
-P(Y)=∏_{ζ ∈ 𝐅_p} \big(Y^p-Y-q(x+ζ)\big) ∈ Ω[X].
+P(Y)=∏_{ζ ∈ 𝐅_p} \big(Y^p-Y-q(x+ζ)\big) ∈ Ω[X].
\]
\begin{lemme2}
@@ -1316,15 +1316,15 @@ degré $p²$ sur $k$. CQFD.
\end{démo}
\begin{lemme2}
-Soit $y ∈ Ω$ une racine du polynôme $P$ dans $Ω$.
+Soit $y ∈ Ω$ une racine du polynôme $P$ dans $Ω$.
L'extension $k(y)\bo k$ est galoisienne de groupe cyclique d'ordre $p²$.
\end{lemme2}
\begin{démo}
Commençons par observer que si pour chaque $ζ ∈ 𝐅_p$,
-on note $y_ζ$ une racine de $Y^p-Y-q(x+ζ)$ dans $Ω$,
+on note $y_ζ$ une racine de $Y^p-Y-q(x+ζ)$ dans $Ω$,
l'ensemble des racines de $P$ est le sous-ensemble
-$\{y_ζ + ψ : (ζ,ψ) ∈ (𝐅_p)²\}$ de $Ω$. On veut montrer
+$\{y_ζ + ψ : (ζ,ψ) ∈ (𝐅_p)²\}$ de $Ω$. On veut montrer
qu'il est contenu dans $k(y₀)$. (On peut supposer $y=y₀$.)
Or, il résulte de l'identité $(x+ζ)^{p(p-1)}=(x+a+ζ)^{p-1}$ et
de l'équation aux différences satisfaite par $q$ que si $y_ζ$ est une racine
@@ -1350,11 +1350,11 @@ En résumé, nous avons démontré le théorème suivant.
\begin{théorème2}[\cite{Kennzeichnung@AS}, théorème 3]\label{AS Z sur p carré}
Soient $k$ un corps de caractéristique $p>0$, $a ∈ k- ℘(k)$,
-$Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $x$ une racine du polynôme
-$X^p-X-a$ dans $Ω$. Pour tout polynôme $q_{AS} ∈ k[X]$
+$Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $x$ une racine du polynôme
+$X^p-X-a$ dans $Ω$. Pour tout polynôme $q_{AS} ∈ k[X]$
tel que $q_{AS}(X+1)-q_{AS}(X)=(X+a)^{p-1}-X^{p-1}$, et toute
racine $y_{AS}$ du polynôme $Y^p-Y-q_{AS}(x)$, la sous-extension
-$k(y_{AS})$ de $Ω$ contient $k(x)$ et est galoisienne de groupe
+$k(y_{AS})$ de $Ω$ contient $k(x)$ et est galoisienne de groupe
cyclique d'ordre $p²$ sur $k$. Réciproquement toute telle extension est obtenue
de cette manière. De plus, $σ(x)=x+1$ et $σ(y_{AS})=y_{AS}+x^{p-1}$. \XXX
\end{théorème2}
@@ -1982,7 +1982,7 @@ naturellement isomorphe à $(A,+)$ par le morphisme $a ′ ↦ (0,a ′)$.
\subsubsection{}
Soient $(a,b)$ deux éléments de $k$ de caractéristique $p>0$
-et soit $Ω$ une clôture séparable de $k$.
+et soit $Ω$ une clôture séparable de $k$.
L'équation $℘(x,y)=(a,b)$ en les inconnues $(x,y)$,
où $℘=F_p \ominus \Id$, est équivalente aux deux équations :
\[
@@ -1992,15 +1992,15 @@ et
\[
℘(y)=(-1)^{p+1} x^p \log_{<p}(-\frac{a}{x}) + b.
\]
-Ces équations ont des solutions dans $Ω$ car elles
+Ces équations ont des solutions dans $Ω$ car elles
sont séparables. Notons $q_W$ — $W$ pour \emph{Witt} — le terme
de droite de la seconde équation. C'est un polynôme
en $x$ de terme constant $b$ de degré visiblement
-inférieur ou égal à $p$. Si le couple $(x_W,y_W) ∈ Ω²$ est une solution de
+inférieur ou égal à $p$. Si le couple $(x_W,y_W) ∈ Ω²$ est une solution de
ces équations, le couple $τ(x_W,y_W)=(x_W+1,y_W+\log_{<p}(x_W+1))$
est également solution : cela résulte du fait
que $℘$ est additif, de noyau contenant $(1,0)$.
-Ceci se traduit par l'égalité dans $Ω$
+Ceci se traduit par l'égalité dans $Ω$
\[
℘\big(\log_{<p}(x_W+1))=q_W(x_W+1)-q_W(x_W),
\]
@@ -2151,9 +2151,9 @@ On observera que les coefficients $β$ sont obtenus par résolutions
successives d'équations d'Artin-Schreier.
Soit maintenant $f ∈ W(K)$, où $K$ n'est plus supposé
-séparablement clos. Soit $Ω$ une clôture séparable de $K$
-et soit $f_Ω$ l'image de $f$ dans le sur-groupe $W(Ω)$ de $W(K)$.
-Les $Ω$-algèbres $M(f_Ω)$ et $M(f) ⊗_K Ω$ sont canoniquement
+séparablement clos. Soit $Ω$ une clôture séparable de $K$
+et soit $f_Ω$ l'image de $f$ dans le sur-groupe $W(Ω)$ de $W(K)$.
+Les $Ω$-algèbres $M(f_Ω)$ et $M(f) ⊗_K Ω$ sont canoniquement
isomorphes. Le caractère étale d'une algèbre sur un corps
se testant après extension algébrique séparable, et
le rang étant invariant par une telle extension,
@@ -2189,40 +2189,40 @@ $E_p(α.X) ↦ ∑_{i=0}^{r} \gtilde{α_{p^i}}p^i \mod p^{r+1}$, est un isomorph
\begin{théorème2}\label{ASW}
Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$,
$r ≥ 0$ un entier et $q=p^r$ la puissance de $p$
-correspondante. Soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+correspondante. Soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
\begin{enumerate}
\item Pour toute extension galoisienne $K\bo k$ de groupe
cyclique d'ordre $p^{r+1}$, il existe un
élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ tel que
$K$ soit $k$-isomorphe au plus petit sous-corps
-$k(\sqrt[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les
-solutions de l'équation $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ appartiennent
+$k(\sqrt[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les
+solutions de l'équation $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ appartiennent
à $W_{[q]}(k(\sqrt[℘]{f}))$.
\item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(\sqrt[℘]{f}) \bo k$
est galoisienne cyclique d'ordre divisant $p^{r+1}$
avec égalité si et seulement si le premier coefficient
de Witt de $f$ n'appartient pas à $℘(k)$. D'autre
-part, $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré
+part, $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré
par les coefficients de Witt d'un élément
-quelconque $g$ de $W_{[q]}(Ω)$ satisfaisant l'équation $℘(g)=f$.
+quelconque $g$ de $W_{[q]}(Ω)$ satisfaisant l'équation $℘(g)=f$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
\subsubsection{Démonstration de \ref{ASW} (ii)}
Soit $f$ comme dans l'énoncé. Notons $k\sep$ la clôture
-séparable de $k$ dans $Ω$. D'après \ref{séparabilité p-Weierstrass-Witt},
+séparable de $k$ dans $Ω$. D'après \ref{séparabilité p-Weierstrass-Witt},
il existe $g₀ ∈ ℘^{-1}(f)(k\sep)$. Pour chaque $ζ ∈ W_{[q]}(𝐅_p)$,
posons $g_ζ:=g₀ ⊕ ζ ∈ W_{[q]}(k\sep)$. D'après \ref{noyau p-Weierstrass-Witt},
-les solutions de $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ sont les $(g_ζ)_ζ$.
+les solutions de $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ sont les $(g_ζ)_ζ$.
(Ici, comme dans l'énoncé, on note abusivement $f$ l'image
de l'élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ par l'injection canonique
-$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps
-de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt de $g₀$ (par exemple)
+$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps
+de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt de $g₀$ (par exemple)
et d'autre part que le corps $k(\sqrt[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ :
l'extension $k(\sqrt[℘]{f})\bo k$ est donc
algébrique \emph{séparable}. Montrons qu'elle est \emph{normale}.
-Soit $σ : Ω → Ω$ un $k$-automorphisme. En appliquant
+Soit $σ : Ω → Ω$ un $k$-automorphisme. En appliquant
$σ$ à l'égalité $℘(g₀)=f$ on obtient, par commutation
évidente de $σ$ avec $℘$, l'égalité $℘\big(σ (g₀)\big)=f$
d'où $σ (g₀)=g_{ζ_σ}$ pour un unique $ζ_σ ∈ W(𝐅_p)$.