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+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
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+
+\title{Théorie de Kummer et Artin-Schreier-Witt}
+
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+
+\begin{document}
+\begin{center}
+Théories de Kummer, Artin-Schreier et Artin-Schreier-Witt
+\end{center}
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Théories de Kummer, Artin-Schreier et Artin-Schreier-Witt}
+\fi
+
+%%% À faire :
+% — séries formelles : produits et sommes infinies.
+
+
+\section{Théorie de Kummer}
+
+\subsection{Introduction}Nous allons
+étudier les extensions galoisiennes cycliques d'ordre $n$
+d'un corps $k$, sous l'hypothèse que ce dernier contienne
+exactement $n$ racines $n$-ièmes de l'unité. Quatre méthodes au moins
+permettent de démontrer le point clef :
+\begin{enumerate}
+\item (algèbre linéaire) utiliser la diagonalisabilité
+d'un automorphisme d'ordre $n$ agissant sur un $k$-espace vectoriel de
+dimension finie ;
+\item (géométrique) utiliser le théorème de la base normale
+(\refext{Versel}{theoreme base normale}) et l'existence d'un isomorphisme
+(\refext{Versel}{KAS I})
+\[ k[x_{i ∈ 𝐙/n}][\det(x_{i+j})^{-1}] ≃ k[t_{i ∈ 𝐙/n}^{±1}] ;
+\]
+\item (résolvantes) utiliser les \emph{résolvantes de Lagrange} ;
+\item (cohomologique) utiliser la notion de $𝐙/n$-torseur,
+leur description comme groupe de cohomologie (\refext{Formes}{H1G=TorsG})
+et enfin le calcul de ce groupe via le théorème $90$ de Hilbert
+(\refext{Formes}{Hilbert 90}).
+\end{enumerate}
+
+Afin de donner la possibilité au lecteur d'aborder ce chapitre
+après la seule lecture des chapitres [Alg] et [CG] (cf. \emph{leitfaden})
+nous utiliserons ici les méthodes (i) et (iii), la première
+étant, loin s'en faut, la plus rapide de toutes. La seconde (iii),
+également assez courte, introduit un concept important dans les
+calculs (cf. \refext{Calculs}{}).
+L'approche reposant sur (ii) étant traitée en détail
+dans \refext{Versel}{KAS I} nous n'en parlerons pas dans ce chapitre.
+Le lecteur curieux pourra cependant essayer de comprendre sa parenté avec (i).
+Nous ferons en temps utile quelques remarques — que le lecteur pressé pourra
+passer — sur la méthode cohomologique qui, d'en d'autres contextes,
+s'avère la plus féconde.
+
+\subsection{Extension de groupe $𝐙/n$ : énoncés}
+
+\begin{théorème2}\label{extension cyclique=Kummer}
+Soient $n$ un entier et $k$ un corps contenant $n$ racines
+$n$-ièmes de l'unité. Soit $K\bo k$ une extension galoisienne
+de groupe cyclique d'ordre $n$.
+\begin{enumerate}
+\item Il existe un élément $a ∈ k^×$ tel que $K$ soit un corps de décomposition du polynôme $X^n-a$.
+\item Si $b$ est un autre élément jouissant de la même propriété,
+les sous-groupes $A=⟨a⟩$ et $B=⟨b⟩$ de $k^× ∩ {K^×}^n$ ont même image
+dans le quotient $(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n$.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+
+\begin{remarques2}
+\begin{itemize}
+\item L'hypothèse faite sur $k$ entraîne que $n$ est premier
+à son exposant caractéristique.
+\item Sans hypothèse sur $k$, on peut donner une description des extensions de groupes
+$𝐙/n$ pour $2 ≤ n ≤ 4$ (cf. \refext{Versel}{equation verselle C2},
+\ref{equation verselle C3} et \ref{equation verselle C4}).
+\item Le critère d'égalité $⟨\sur{a}⟩=⟨\sur{b}⟩$ dans le quotient $(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n$
+équivaut à l'existence d'un entier $r$ premier à $n$ et
+d'un élément $x ∈ k^×$ tels que $a=b^r x^n$.
+\end{itemize}
+\end{remarques2}
+
+Ce théorème admet la réciproque suivante.
+
+\begin{proposition2}\label{extension Kummerienne est de groupe cyclique}
+Soient $n$ un entier, $k$ un corps contenant $n$ racines
+$n$-ièmes de l'unité, $a$ un élément de $k^×$
+et enfin $f=X^n-a ∈ k[X]$.
+\begin{enumerate}
+\item Le polynôme $f$ est \emph{séparable}.
+\item Soit $α$ une racine de $f$ dans un corps de décomposition $K$ de $f$.
+Pour tout élément $σ$ de $\Gal(K\bo k)$, l'élément $σ(α)/α$ appartient à $μ_n(k)$ et est indépendant du choix
+de $α$. L'application $\Gal(K\bo k) → μ_n(k)$, $σ ↦ σ(α)/α$, est un morphisme injectif, appelé
+\emph{caractère de Kummer}\index{caractère de Kummer}. En particulier, $K\bo k$ est galoisienne
+de groupe cyclique d'ordre divisant $n$.
+\item Le groupe $\Gal(K\bo k)$ est d'ordre exactement $n$ lorsque $f$
+est irréductible, ce qui se produit si et seulement si
+$a$ n'est une puissance $ℓ$-ième dans $k$ pour aucun diviseur premier
+de $n$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\subsection{Démonstrations}
+
+\subsubsection{Démonstration de la proposition \ref{extension Kummerienne est de groupe cyclique}}
+Commençons par vérifier la séparabilité du polynôme $f$. Une manière
+de procéder est d'utiliser le critère \refext{Alg}{critère
+différentiel de séparabilité polynôme}. La dérivée
+de $f$ est $nX^{n-1}$ ; l'entier $n$ étant inversible, le pgcd
+de $f$ et $f ′$ est donc $1$.
+Soit $K$ un corps de décomposition de $f$. Notons $Π$ son groupe
+de Galois et fixons une racine $α$ de $f$ dans $K$, c'est-à-dire
+une racine $n$-ième de $a$. Le polynôme $f$ se décompose alors
+dans $K[X]$ en un produit
+\[
+f(X)=∏_{ζ ∈ μ_n(k)} (X-ζ α)
+\]
+ce qui revient à dire que l'ensemble
+des racines $n$-ièmes de $a$ est $\{ ζ α\}_{ζ}$.
+Soit $σ ∈ Π$. Il résulte de l'observation précédente
+qu'il existe une (unique) racine de l'unité $ζ_{σ}$ telle
+que
+\[
+σ(α)=ζ_σ α.
+\]
+Comme $τ(ζ)=ζ$ pour chaque $τ ∈ Π$ et chaque $ζ ∈ μ_n(k) ⊆k$,
+on a
+\[
+ζ_{τ σ}α = τ σ(α)=ζ_σ ζ_τ α :
+\]
+l'application $σ ∈ Π ↦ ζ_σ
+∈ μ_n(k)$ est un morphisme de \emph{groupes}. Ce morphisme
+est indépendant du choix de $α$ car si $β=ζ α$ est une autre racine,
+$σ(β)/β=σ(ζ)/ζ ⋅ σ(α)/α=σ(α)/α$ car $ζ$ appartient à $k$.
+D'autre part, le groupe $μ_n(k)$ est cyclique
+(\refext{Fin}{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps}), d'ordre $n$
+par hypothèse. Montrons que le caractère de Kummer est \emph{injectif} ;
+cela démontrera que $Π$, étant isomorphe à un sous-groupe
+de $μ_n(k)$, est cyclique d'ordre divisant $n$. Il suffit
+de démontrer que si $σ(α)=τ(α)$, alors $σ=τ$. Or
+$k(\{ζ α\}_ζ)=k(α)$ de sorte que $K$ est en fait
+engendré sur $k$ par $α$. Les $k$-automorphismes de $K$ sont
+donc caractérisés par l'image de $α$. Ceci achève la démonstration
+de (i) et (ii).
+
+Étudions maintenant à quelle condition l'extension $K\bo k$
+est de degré exactement $n$. L'égalité $K=k(α)$ montre
+que $[K:k]$ est le degré du polynôme minimal de $α$
+sur $k$. Celui-ci divise $f=X^n-a$ ; il est donc de degré $n$
+si et seulement si il est égal à $f$ c'est-à-dire
+si et seulement si $f$ est irréductible sur $k$.
+Soit $σ$ un \emph{générateur} de $Π$. Il résulte
+de l'isomorphisme $Π=⟨σ⟩ ⥲ ⟨ζ_σ⟩⊆μ_n(k)$
+que $f$ est réductible si et seulement si
+$ζ_σ$ est d'ordre $r$ divisant strictement $n$.
+La chaîne d'égalités $σ(α^r)=σ(α)^r=ζ_σ^r α^r=α^r$
+montre que $α^r$ appartient alors à $k^×$. Comme
+$a=(α^r)^{\frac{n}{r}}$, $a$ est dans ce cas une puissance
+$\frac{n}{r}$-ième. À plus forte raison, c'est une puissance
+$ℓ$-ième pour un diviseur premier $ℓ$ de $n$.
+Réciproquement, si $a=b^ℓ$ pour $ℓ$ divisant $n$,
+il est clair que l'image $Π$ dans $μ_n(k)$ est contenu
+dans $μ_n(k)^ℓ$ ; c'est un sous-groupe strict de $μ_n(k)$.
+
+\begin{exercice2}
+Donner une seconde démonstration du critère d'irréductibilité
+de $f$ en décomposant $f$ en produit de polynômes irréductibles
+dans $k[X]$ et en considérant les coefficients constants de ces
+polynômes.
+\end{exercice2}
+
+Nous allons maintenant donner quatre démonstration
+de l'énoncé \ref{extension cyclique=Kummer} (i), présentées
+par degré croissant de technicité.
+
+\subsubsection{Première démonstration de \ref{extension
+cyclique=Kummer} (i)}
+
+Soient $K\bo k$ et $n$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
+le groupe de Galois de $K\bo k$, supposé cyclique d'ordre $n$,
+et fixons un générateur $σ$. Considéré comme
+endomorphisme $k$-linéaire de $K$ dans $K$,
+son polynôme minimal est $X^n-1$. Cela résulte
+du fait que $σ^n=\Id_K$ et que $n$ est minimal pour
+cette propriété. Les racines de $X^n-1$
+étant simples et contenues dans $k$, l'endomorphisme
+$σ$ est \emph{diagonalisable}. Ses valeurs propres
+sont des racines $n$-ième de l'unité, dont au moins
+l'une d'entre elles est primitive, sans quoi $σ$ serait
+d'ordre divisant strictement $n$. Soit $ζ$ une telle
+valeur propre et $α ∈ K-\{0\}=K^×$ un vecteur propre.
+Par définition $σ(α)=ζα$. L'orbite de $α$ sous $Π=⟨σ⟩$
+est d'ordre $n$ de sorte que $K=k(α)$. D'autre part,
+$σ(α^n)=α^n$ si bien que $a:=α^n$ appartient à $k^×$.
+
+\subsubsection{Seconde démonstration de \ref{extension
+cyclique=Kummer} (i)}
+
+Soit $K\bo k$ et $n$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
+son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $n$,
+et fixons un générateur $σ$.
+Pour chaque élément $x$ de $K$ on notera $x_i$ l'élément $σ^i(x)$,
+où $i$ est un entier relatif quelconque. Suivant Lagrange
+\cite[§54-]{Reflexions@Lagrange}\footnote{Les résultats de ce grand mémoire,
+exposant la théorie de Galois « avant la lettre », montrent
+que les extensions considérées dans ce chapitre sont appelées
+« kummériennes » à tort. Voir par exemple \cite{cyclotomie@Weil}.}
+introduisons, pour chaque $ζ ∈ μ_n(k)$, les \emph{résolvantes}
+\[
+(ζ,x)=∑_{0 ≤ i <n} ζ^i x_i.
+\]
+Nous connaissons déjà l'une d'entre elles : $(1,x)=\Tr_{K\bo k}(x)$ ;
+elle appartient à $k$.
+Par construction $σ ⋅ (ζ,x)=ζ^{-1}(ζ,x)$. Il en résulte
+que $(ζ,x)^n$ est invariant par $σ$ et appartient donc à $k$.
+Fixons dorénavant une racine primitive $n$-ième $ζ$ de l'unité.
+Si $x ∈ K$ est tel que $α=(ζ,x)$ soit non nul, on a alors $K=k(α)$
+— car $α$ a une orbite d'ordre $n$ sous l'action de $σ$ —  et $α^n ∈ k$.
+L'existence d'un tel $x$ résulte de l'indépendance linéaire
+des automorphismes $σ^i$, $0 ≤ i <n$, cf. \refext{CG}{indépendance linéaire des automorphismes}.
+
+Lorsque $n$ est premier, on peut même s'affranchir de la référence
+à \emph{loc. cit.} En effet, lorsque $x$ appartient à $K-k$,
+l'égalité
+\[
+∑_{ζ ∈ μ_n(k)} ζ^{-1}(ζ,x)=n ⋅ x,
+\]
+dont le terme de droite n'appartient pas à $k$,
+montre qu'il existe une racine de l'unité $ζ$, nécessairement
+différente de $1$, telle que la résolvante $(ζ,x)$ n'appartienne
+pas à $k$. Elle est en particulier non nulle et $ζ$
+est une racine primitive car $n$ est supposé premier.
+
+\subsubsection{Troisième démonstration de \ref{extension
+cyclique=Kummer} (i)}\label{Kummer 3}
+
+Soit $K\bo k$ et $n$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
+son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $n$,
+et fixons un générateur $σ$. Fixons également
+une racine primitive $n$-ième $ζ$ de l'unité dans $k$.
+Soit $c:Π → μ_n(k)$ l'unique (iso)morphisme de groupes
+envoyant $σ$ sur $ζ$. C'est en particulier un
+$1$-cocycle à valeurs dans le groupe multiplicatif de $K^×$
+(\refext{Formes}{généralités 1-cocycles}).
+D'après le théorème de Hilbert $90$ (\ref{Hilbert 90}),
+un tel cocycle est \emph{trivial} : il existe $α ∈ K^×$
+tel que $c(τ)=α^{-1} ⋅ {^τ α}$. En particulier $σ(α)=ζ ⋅ α$.
+On a alors $α^n ∈ k^×$ et $K=k(α)$. CQFD.
+
+\begin{remarque2}
+On remarquera que le lemme \refext{CG}{indépendance linéaire des
+automorphismes}, qui apparaît de façon cruciale dans la seconde
+démonstration, intervient également
+dans la première démonstration du théorème de Hilbert 90
+(\refext{Formes}{H90 via Poincaré}).
+\end{remarque2}
+
+\subsubsection{Quatrième démonstration de \ref{extension
+cyclique=Kummer} (i) (esquisse)}\label{Kummer 4}
+
+Soit $K\bo k$ et $n$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
+son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $n$,
+et fixons un générateur $σ$. Fixons également un générateur $ζ$ de $μ_n(k)$.
+L'isomorphisme $ι:Π ⥲ μ_n(k)$, $σ ↦ ζ$ (ou plutôt son inverse) et l'action naturelle de $Π$
+font de $K$ un $μ_n(k)$-torseur sur $k$, trivialisé par $K\bo k$
+(\refext{Formes}{extension galoisienne groupe G est un
+G-torseur}). L'ensemble $\mathrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼$
+des classes d'isomorphismes de tels torseurs est naturellement isomorphe au groupe
+de cohomologie $H¹(K\bo k,μ_n(k))=\Hom(Π,μ_n(k))$ ;
+cet isomorphisme envoyant $[K]$ sur $ι$.
+Le point clef est que l'on peut \emph{calculer} le groupe
+$H¹(K\bo k,μ_n(k))$. En effet, la suite exacte de $Π$-modules abéliens
+\[
+1 → μ_n(k) → K^× \dessusdessous{x ↦ x^n}{→} {K^×}^n → 1
+\]
+induit une suite exacte
+\[
+H⁰(K\bo k,K^×) → H⁰(K\bo k,{K^×}^n) \dessusdessous{δ}{→} H¹(K\bo k,μ_n(k)) → H¹(K\bo k,K^×).
+\]
+D'après le théorème de Hilbert $90$ (\refext{Formes}{Hilbert 90}),
+le groupe $H¹(K\bo k,K^×)$ est trivial. D'autre part,
+$H⁰(K\bo k,K^×)$ est, par définition, $\Fix_Π(K^×)$, lui-même égal
+à $k^×$ et $H⁰(K\bo k,{K^×}^n)=k^× ∩ {K^×}^n$ pour la même raison.
+Le morphisme cobord induit donc un isomorphisme
+\[
+(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n ⥲ H¹(K\bo k,μ_n(k)) ≃ \mathrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼.
+\]
+Par définition du cobord (\refext{formes}{}), il envoie
+la classe d'un élément $a$ de $k^× ∩ {K^×}^n$
+sur le caractère de Kummer $χ_a: σ ↦ \frac{σ(a^{1/n})}{a^{1/n}}$
+appartenant à $\Hom(Π,μ_n(k))$. Ainsi, il existe $a$ tel que
+$ι$ soit égal au caractère de Kummer $χ_a$.
+Ceci signifie que $ι(σ)=ζ$ est égal à $\frac{σ(α)}{α}$
+où $α$ est une racine $n$-ième quelconque de $a$ dans $K$.
+CQFD.
+
+\begin{remarques2}
+\begin{itemize}
+\item Le lecteur constatera que cette méthode donne aussi
+une démonstration de \ref{extension cyclique=Kummer} (ii).
+\item On peut vérifier que le morphisme composé
+\[(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n → \mathrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼\]
+envoie la classe de $a$ sur la classe du $μ_n(k)$-torseur
+$k[X]/(X^n-a)$. % \XXX à faire
+\end{itemize}
+\end{remarques2}
+
+\subsubsection{Démonstration de \ref{extension cyclique=Kummer} (ii)}
+
+Soit $K\bo k$, $n$, $a$ et $b$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
+son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $n$,
+et fixons un générateur $σ$. Choisissons également des racines
+$n$-ièmes $α$ et $β$ de $a$ et $b$ dans $K$ respectivement.
+Ces éléments étant primitifs pour l'extension $K\bo k$,
+il existe deux racines \emph{primitives} $n$-ièmes de l'unité
+$ζ_a$ et $ζ_b$ telles que $σ(α)=ζ_a ⋅ α$ et $σ(β)=ζ_b ⋅ β$.
+Soit $r ∈ 𝐍$, nécessairement premier à $n$, tel que $ζ_β=ζ_α^r$. On
+a donc $σ(β^r)=ζ_a β^r$ et, par conséquent, $σ(\frac{α}{β^r})=\frac{α}{β^r}$.
+Ainsi, $x=\frac{α}{β^r}$ appartient à $k$. Sa puissance $n$-ième
+vaut $a/b^r$ et appartient à ${k^×}^n$. CQFD.
+
+\subsection{Amplification : extension abéliennes d'exposant divisant $n$}
+
+Une extension $K\bo k$ est dite abélienne d'exposant divisant $n$
+si elle est galoisienne de groupe abélien tué par $n$.
+La généralisation suivante de \ref{extension Kummerienne est de groupe cyclique}
+permet de construire de telles extensions.
+
+\begin{lemme2}
+Soient $n$ un entier et $k$ un corps contenant $n$ racines
+$n$-ièmes de l'unité. Soit $A$ une partie $k^×$.
+Tout corps de décomposition de la famille de polynômes
+$X^n-a$, $a ∈ A$, est une extension abélienne de $k$ d'exposant
+divisant $n$.
+\end{lemme2}
+
+On note habituellement $k(A^{1/n})$ un tel corps de décomposition
+et $A^{1/n}$ l'ensemble de ses éléments $α$ tels que $α^n$ appartienne à $A$.
+
+\begin{démo}
+Comme on l'a vu en \emph{loc. cit.}, les polynômes $X^n-a$ sont
+séparables de sorte que l'extension $k(A^{1/n})\bo k$ est galoisienne.
+Notons $Π$ son groupe de Galois. Fixons $α ∈ A^{1/n}$.
+Pour chaque $σ$ dans $Π$, il existe $ζ_{σ,α}$ dans $μ_n(k)$ tel que $σ(α)=ζ_{σ,α} α$.
+La chaîne d'égalités
+\[
+τ σ (α)=τ(ζ_{σ,α} α)=ζ_{σ,α} τ(α)=ζ_{σ,α} ζ_{τ,α} α =ζ_{τ,α} ζ_{σ,α} α,
+\]
+valable pour chaque $α$, montre que $σ$ et $τ$ commutent.
+D'autre part les égalités $σ^n(α)=ζ_{σ,α}^n α=α$, valables
+pour chaque $α$, montrent que $σ^n=1$. CQFD.
+\end{démo}
+
+Ici encore, le fait remarquable est que toutes les extensions
+abéliennes d'exposant divisant $n$ sont obtenues ainsi.
+
+\begin{théorème2}\label{Kummer général}
+Soient $n$ un entier, $k$ un corps contenant $n$ racines
+$n$-ièmes de l'unité et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+\begin{enumerate}
+\item L'application $A ↦ K_A=k(A^{1/n})$ est une bijection
+croissante entre l'ensemble des sous-groupes de $k^×$
+contenant ${k^×}^n$ et l'ensemble des sous-extensions
+abéliennes de $Ω$ d'exposant divisant $n$. La bijection
+réciproque est donnée par $K ↦ A_K={K^×}^n ∩ k^×$.
+\item Soit $A$ un sous-groupe de $k^×$ contenant ${k^×}^n$.
+Le morphisme
+\[
+\Gal(k(A^{1/n})\bo k) → \Hom(A/{k^×}^n,μ_n(k))
+\]
+\[
+σ ↦ \big( a \mod{} {k^×}^n ↦ σ(a^{1/n})/a^{1/n}\big)
+\]
+est un isomorphisme. En particulier
+\[
+[k(A^{1/n}):k]=(A:{k^×}^n).
+\]
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+\subsection{Digression : dualité des $𝐙/n$-modules}
+
+Soit $n ≥ 1$ un entier. Pour tout $𝐙/n$-module $M$, notons
+$D(M)$ le $𝐙/n$-module \emph{dual} $\Hom_{𝐙/n}(M,𝐙/n)$.
+
+\begin{lemme2}\label{Zsurn dual nul implique nul}
+Un $𝐙/n$-module $M$ de dual nul est nul.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Si $M$ est monogène, c'est évident. Considérons le cas général.
+Supposons $M$ non nul et considérons les paires $(N, φ)$
+où $N$ est un sous-module non nul de $M$ et $φ:N → 𝐙/n$ est un morphisme
+non nul. De telles paires existent (cas monogène non nul). Il en existe une maximale
+pour l'inclusion des modules et le prolongement des formes linéaires.
+Notons-la $(M ′,φ ′)$. Si $M=M ′$, on a construit un élément non nul
+du dual et la conclusion est assurée. Supposons par l'absurde
+qu'il existe un élément $m$ de $M - M ′$. Soit $r ≥ 2$ le plus petit
+entier tel que $r m $ appartienne à $M ′$ ; il divise $n$. Posons $x=φ(rm) ∈ 𝐙/n$.
+Comme $(n/r) (rm)=0$, on a $(n/r)x=0$ d'où $x ∈ r 𝐙/n$. Soit $y ∈
+𝐙/n$ tel que $x=ry$. On peut étendre $φ ′$ en $φ:M ′ + 𝐙/n ⋅ m → 𝐙/n$
+en posant $φ(m ′ + s m)=φ(m ') + s y$. Absurde.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}\label{bidualité Zsurn modules finis}
+Soit $M$ un $𝐙/n$-module \emph{fini}.
+\begin{enumerate}
+\item $ ♯ D(M) = ♯ M$.
+\item Le morphisme d'évaluation (ou « bidualité ») $M → D(D(M))$
+est un isomorphisme.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+On se ramène au cas où $M$ est cyclique car la dualité
+commute aux sommes directes finies. Le résultat est évident dans
+ce cas : si $r$ divise $n$, $D(𝐙/r)$ est naturellement isomorphe à la
+$r$-torsion de $𝐙/n$, elle-même isomorphe à $𝐙/r$.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+Nous n'utiliserons le premier lemme que dans le cas particulier où $M$ est
+\emph{fini}. Dans ce cas, il résulte du second lemme.
+Notons cependant qu'une démonstration possible
+du théorème de structure des groupes abéliens finis repose
+de façon cruciale sur une variante du lemme \ref{Zsurn dual nul implique nul}.
+\end{remarque2}
+
+\subsection{Démonstration}Nous allons démontrer ici le théorème \ref{Kummer
+général}. Commençons par le cas des extensions finies. Soit $K$ une sous-extension de
+$Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant divisant $n$.
+Considérons le morphisme $A_K \bo {k^×}^n → \Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$
+envoyant la classe de $a ∈ A_K$ sur le caractère de Kummer correspondant :
+$σ ↦ σ(a^{1/n})/a^{1/n}$. Ce morphisme est injectif car
+si $σ(a^{1/n})=a^{1/n}$ pour tout $σ$, on a $a^{1/n} ∈ k$,
+c'est-à-dire $a ∈ {k^×}^n$. Ce morphisme est également \emph{surjectif}.
+En effet, si $χ$ est un caractère du groupe de Galois,
+il existe un $α ∈ K^×$ tel que $χ(σ)=σ(α)/α$ (cf. \ref{Kummer 3}).
+Sa puissance $n$-ième $α^n$ appartient nécessairement à $k^×$,
+d'où $α ∈ A_K$. (L'isomorphisme
+$A_K \bo {k^×}^n → \Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ est également
+démontré en \ref{Kummer 4}, si l'on se souvient de
+l'identification entre $\Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ et $H¹(K\bo k,μ_n)$.)
+Notons en particulier que les groupes $A_K \bo {k^×}^n$ et $\Gal(K\bo k)$
+ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $♯ \Gal(K\bo k) = ♯ D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
+(\ref{bidualité Zsurn modules finis}).
+Soit $K ′=k(A_{K}^{1/n})$. On a trivialement $K ′ ⊆ K$ et par conséquent $A_{K ′} ⊆ A_K$.
+Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement $A_K$.
+Les groupes $\Gal(K\bo k)$ et $\Gal(K ′ \bo k)$ ayant même cardinal — celui de
+$A_K \bo {k^×}^n$ —, on a également $K = K ′$.
+Ceci montre que toute sous-extension abélienne finie d'exposant divisant $n$ de
+$Ω$ est de la forme $k(A^{1/n})$, où $A$ est comme dans l'énoncé.
+Notons $D_μ=\Hom(\tiret,μ)$. L'isomorphisme $A_K \bo {k^×}^n ⥲ D_μ(\Gal(K\bo k))$
+induit un isomorphisme $D_μD_μ(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_μ(A_K \bo {k^×}^n)$.
+On vérifie immédiatement que l'isomorphisme composé
+$\Gal(K\bo k) ⥲ D_μD_μ(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_μ(A_K \bo {k^×}^n)$
+n'est autre que l'application $σ ↦ (a \mod {{k^×}}^n ↦ σ(a^{1/n})/a^{1/n})$.
+Pour achever la démonstration du théorème dans le cas fini,
+il faut vérifier que si $A$ est comme en (i) et $K_A:=k(A^{1/n})$,
+on a l'égalité entre $A$ et $A_{K_A}:={K_A^×}^n ∩ k^×$.
+L'inclusion $A ⊆ A_{K_A}$ est claire. Considérons la suite exacte \[
+1 → A/{k^×}^n → A_{K_A}/{k^×}^n → A_{K_A}/A → 1
+\]
+ainsi que la suite exacte induite par dualité
+\[
+1 → D_μ(A_{K_A}/A) → D_μ(A_{K_A}/{k^×}^n) →  D_μ(A/{k^×}^n)
+\]
+où la seconde flèche est le morphisme de restriction.
+Le morphisme composé $\Gal(K_A\bo k) ⥲  D_μ(A_{K_A}/{k^×}^n) → D_μ(A/{k^×}^n)$
+a pour noyau l'ensemble des automorphismes agissant trivialement sur $A^{1/n}$,
+c'est-à-dire l'identité de $K_A$. Il en résulte que $D_μ(A_{K_A}/{k^×}^n) →
+D_μ(A/{k^×}^n)$ est injectif et, finalement, $D_μ(A_{K_A}/A)=\{1\}$.
+D'après \ref{Zsurn dual nul implique nul} ci-dessus, on a donc
+$A=A_{K_A}$. CQFD.
+
+Cas général. Soit $K\bo k$ comme en (i). Le morphisme $\Gal(K\bo k) → D_μ(A_K
+\bo {k^×}^n)$ est un isomorphisme : cela résulte d'un passage à la limite
+sur les sous-extensions finies de $K$. L'inclusion \emph{a priori} $k(A_K
+^{1/n}) ⊆ K$ est une égalité ; cela résulte du fait que le corps $k(A_K ^{1/n})$
+contient, d'après ce qui précède, toutes les sous-$k$-extensions finies de $K$.
+Enfin, la démonstration ci-dessus de l'égalité $A = A_{K_A}$ s'étend
+au cas général, lemme \ref{Zsurn dual nul implique nul} étant valable
+sans hypothèse de finitude.
+
+\subsection{Cas où les racines de l'unité ne sont pas dans $k$}
+
+Commençons par les deux lemmes élémentaires suivants.
+
+\begin{lemme2}\label{Xl-a irréductible}
+Soient $k$ un corps, $ℓ$ un nombre premier et $a$ un
+élément de $k$. Si le polynôme $X^ℓ-a$ est réductible
+sur $k$, il existe un élément $b$ de $k$ tel
+que $a=b^ℓ$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soient $Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $α$ une racine $ℓ$-ième
+de $a$ dans $Ω$. Les racines dans $Ω$ d'un diviseur $g$ de $f$ dans $k[X]$
+s'écrivant sous la forme $ζ α$, où $ζ$ parcourt une partie
+$S⊆μ_ℓ(Ω)$ de cardinal $\deg(g)$, son coefficient $g(0)$
+est égal — au signe près — au produit $ξ α^{\deg(g)}$,
+où $ξ=∏_{ζ ∈ S} ζ$ appartient à $μ_ℓ(Ω)$. Par élévation à
+la puissance $ℓ$, on voit que $a^{\deg(g)}$ appartient à ${k^×}^ℓ$.
+La conclusion résulte alors du fait que si $g$ est un diviseur strict de $f$,
+on a $\deg(g)< ℓ$ de sorte que $d=\deg(g)$ et $ℓ$ sont premiers entre eux
+si bien que, pour chaque élément  $x$ de $k^×$, les conditions
+$x^d ∈ {k^×}^ℓ$ et $x ∈ {k^×}^ℓ$ sont équivalentes.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}\label{y=x puissance r fois lambda}
+Soient $k$ un corps, $ℓ$ un nombre premier inversible
+sur $k$ et $K=k(x)$ une extension monogène de $k$ de degré $ℓ$ telle
+que $x^ℓ$ appartienne à $k$.
+Si $y$ est un autre élément de $K$ tel que $y^ℓ$ appartienne à $k$, il
+existe un unique entier $r ∈ [0,ℓ-1]$ tel que $y/x^r$ appartienne à $k$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soient $Ω$ une clôture algébrique de $K$, $ζ$ une racine \emph{primitive}
+$ℓ$-ième de l'unité dans $Ω$ et $σ:K → Ω$ l'unique $k$-plongement
+envoyant $x$ sur $ζx$. Considérons maintenant $σ(y)$. Puisque $σ(y^ℓ)=y^ℓ$ — car
+$y^ℓ$ est un élément de $k$ —, on peut écrire $σ(y)$ sous la forme $ξ y$,
+où $ξ$ est une racine $ℓ$-ième de l'unité. Cette racine s'écrit donc
+sous la forme $ξ=ζ^r$ pour un unique $r ∈ [0,ℓ-1]$. Il en résulte
+que l'élément $y/x^r$ est laissé invariant par $σ$. Or
+le sous-corps $\{z ∈ K: σ(z)=z\}$ de $K$ ne contient pas $x$
+donc est égal à $k$ pour des raisons de degré, $[K:k]$
+ayant pour seuls diviseurs $1$ et $ℓ$. Ainsi
+le quotient $y/x^r$, qui appartient à ce sous-corps, est un élément de $k$.
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}[Martin Kneser \cite{Lineare@Kneser}]\label{théorème Kneser}
+Soient $K\bo k$ une extension algébrique séparable et $A$ un sous-groupe de $K^×$
+tel que l'indice $(k^×⟨A⟩:k^×)$ de $k^×$ dans le sous-groupe
+de $K^×$ engendré par $k^×$ et $A$ soit fini.
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item l'inégalité \emph{a priori} $[k(A):k] ≤ (k^×⟨A⟩:k^×)$ est une
+\emph{égalité} ;
+\item
+\begin{enumerate}
+\item pour tout nombre premier $ℓ$, toute racine $ℓ$-ième
+de l'unité dans $k^×⟨A⟩$ est en fait dans $k^×$ et,
+\item toute racine primitive quatrième de l'unité $\sqrt{-1}$
+dans $K$ telle que $1+\sqrt{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$
+est en fait dans $k^×$.
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+\begin{corollaire2}[Capelli]\label{théorème Capelli}
+Soient $k$ un corps et $n ≥ 2$ un entier. Un polynôme $X^n-a$ dans $k[X]$
+est irréductible si et seulement l'élément $a$ appartient à $k^×$
+mais à aucun des sous-groupes ${k^×}^ℓ$ pour $ℓ$ premier divisant $n$,
+ni à $-4 {k^×}⁴$ si $n$ est divisible par quatre.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Les conditions sont nécessaires car $X^{ℓm}-b^ℓ$ (resp.
+$X^{4m}+4b⁴$) est divisible par $X^m-b$ (resp. $X^{2m}-2bX^m+2b²$).
+Démontrons la suffisance. Soient $K$ un corps de rupture
+de $X^n-a$, $α$ une racine $n$-ième de $a$ dans $K$ et $A=⟨ α ⟩$
+le sous-groupe multiplicatif engendré, de sorte que $K=k(A)$.
+D'après le théorème précédent, l'irréductibilité de $X^n-a$
+— qui est équivalente à l'égalité $[K:k]=n$ — a lieu
+si et seulement si les critères (a) et (b) sont satisfaits
+et si de plus l'inégalité \emph{a priori} $(k^×⟨A⟩:k^×) ≤ n$ (cf. ci-après) est une
+égalité. Le groupe $A$ étant monogène engendré par $α$, l'indice
+$(k^×⟨A⟩:k^×)$ est l'ordre de la classe de $α$ dans $K^×/k^×$.
+Cet ordre divise $n$ et s'il en était un diviseur strict,
+il existerait un diviseur premier $ℓ$ de $n$ tel que $α^{n/ℓ}$ appartienne
+à $k^×$ ; ceci contredit l'hypothèse. Il nous reste à vérifier les critères (a)
+et (b). Soient $ℓ$ un nombre premier et $ζ_ℓ$ une racine $ℓ$-ième de l'unité
+appartenant au groupe $k^×⟨A⟩$ de sorte que l'on a une égalité $ζ_ℓ=λ α^r$ pour certains $λ ∈ k^×$ et $r ∈ [0,n-1]$.
+Supposons que le nombre premier $ℓ$ divise $n$ mais pas $r$ ; il
+divise donc l'entier $m=n/(n,r)$ où $(n,r)$ est le pgcd de $n$ et $r$. En élevant
+l'égalité $ζ_ℓ=λ α^r$ à la puissance $m$, on obtient $1=λ^m a^{r/(n,r)}$ d'où en
+particulier $a^{r/(n,r)} ∈ {k^×}^ℓ$ car ${k^×}^m$ est contenu dans ${k^×}^ℓ$.
+Puisque $ℓ$ est premier à $r/(n,r)$, on en
+tire $a ∈ {k^×}^ℓ$, ce qui est contraire à l'hypothèse. Ainsi $ℓ$ ne divise pas
+$m$ et l'égalité $ζ_ℓ^m=λ^m a^{r/(n,r)} ∈ k^×$ entraîne l'appartenance
+de $ζ_ℓ$ à $k^×$. Vérifions maintenant le critère (b) en supposant
+que $1+\sqrt{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$. (On suppose en particulier
+que la caractéristique de $k$ est différente de deux, sans quoi il n'y a rien à
+démontrer.) Écrivons comme précédemment
+\[1+\sqrt{-1}=λ α^r\] et posons $m=n/(n,r)$.
+
+\begin{itemize}
+\item [Cas où quatre divise $m$.] On obtient par élévation à la puissance $m$ l'égalité
+\[
+(-4)^{m/4}λ^{-m}= a^{r/(n,r)}.
+\]
+\begin{itemize}
+\item [Cas où $m/4$ est pair.] Le terme de gauche est un carré. Comme $r/(n,r)$ est
+impair, on a $a ∈ {k^×}²$ et une contradiction.
+\item [Cas où $m/4=2k+1$.] L'égalité $(-4)^{m/4}=-4 ⋅ (2^k)^4$
+jointe à l'égalité ci-dessus montre que $a^{r/(n,r)}$ appartient à $-4 {k^×}⁴$.
+Or, il résulte de notre hypothèse que si $s$ est un entier tel que
+$4|ns$ et $a^s ∈ -4 {k^×}⁴$ alors $4|s$. En effet on aurait
+dans le cas contraire soit $4|n$ et $a ∈ -4 {k^×}⁴$ (ce qui est exclu)
+soit $2|n$ et $a² ∈ -4 {k^×}⁴$. Cette dernière possibilité est
+également exclue car on aurait alors $\sqrt{-1} ∈ k$ et enfin $a ∈ {k^×}²$.
+Appliquant cette observation à $s=r/(n,r)$, on constate que
+l'élément $a^{r/(n,r)}$ ne peut appartenir à l'ensemble $-4 {k^×}⁴$
+si quatre ne divise pas $r/(n,r)$. Contradiction.
+\end{itemize}
+\item [Cas où quatre ne divise pas $m$.]
+Puisque $(1+\sqrt{-1})^m=λ^m a^{r/(n,r)}$ appartient à $k$,
+il en est de même de $\sqrt{-1}$ compte tenu du fait que
+$2^{-[m/2]}(1+\sqrt{-1})^m$ appartient à l'ensemble
+$\{±\sqrt{-1},±1±\sqrt{-1}\}$.
+\end{itemize}
+\end{démo}
+
+%La démonstration suivante est tirée de \cite[chap. 2]{Polynomials@Schinzel}.
+%La démonstration originale est identique.
+
+\begin{démo}[Démonstration du théorème \ref{théorème Kneser}]
+(i) ⇒ (ii). Commençons par observer que $A$ étant un groupe et \emph{a fortiori}
+un monoïde, le corps $k(A)$ est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments
+de $A$. Il en résulte que la dimension $[k(A):k]$ est le nombre maximal d'éléments
+de $A$ linéairement indépendants sur $k$. D'autre part, il est clair
+que des éléments de $A$ linéairement indépendants sur $k$ ne sont pas
+homothétiques deux-à-deux donc appartiennent à des classes modulo $k^×$
+distinctes. En conséquence, on a l'inégalité
+\[
+[k(A):k] ≤ (k^×⟨A⟩ : k^×).
+\]
+Soit $x$ un élément $K^×$ appartenant au sous-groupe $k^×⟨A⟩$.
+En factorisant les deux termes de l'égalité $[k(A):k]=(k^×⟨A⟩:k^×)$
+on obtient l'égalité :
+\[
+[k(A):k(x)]⋅[k(x):k]=\big(k^×⟨A⟩:k^×⟨⟨x⟩⟩\big) ⋅ \big(k^×⟨⟨x⟩⟩:k^×\big).
+\]
+L'inégalité ci-dessus, appliquée au corps $k(x)$ engendré par $x$, montre que l'on a la
+majoration $[k(A):k(x)] ≤  \big(k^×⟨A⟩:k(x)^×\big)$. Comme d'autre part
+on a l'inclusion $k^×⟨⟨x⟩⟩ ⊆ k(x)^×$, on en déduit l'inégalité
+\[
+[k(A):k(x] ≤ \big(k^×⟨A⟩:k^×⟨⟨x⟩⟩\big).
+\]
+Pour que l'égalité ci-dessus soit satisfaite, il est donc nécessaire
+que l'inégalité \emph{a priori}
+\[
+[k(x):k] ≤ \big(k^×⟨⟨x⟩⟩:k^×\big)
+\]
+soit une égalité. Le terme de droite
+coïncide avec l'ordre de $x \mod k^×$ dans $K^×/k^×$.
+
+(a) Supposons maintenant que $x$ soit une racine $ℓ$-ième
+de l'unité. Le terme de droite de l'inégalité ci-dessus est donc un diviseur du nombre premier $ℓ$
+tandis que le terme de gauche est majoré par $ℓ-1$. Il en résulte que ces entiers sont égaux à un,
+c'est-à-dire que la racine de l'unité $x$ appartient à $k^×$.
+
+(b) Supposons maintenant que $x-1$ soit une racine quatrième
+de l'unité. Observons que ce cas ne peut se produire que lorsque le corps $k$
+est de caractéristique différente de deux. Si la racine en question
+n'est pas primitive, $x=2$ et il n'y a rien à démontrer.
+Dans le cas contraire, on a $x²=2(x-1)$ et $x⁴=-4$.
+L'indice $\big(k^×⟨⟨x⟩⟩:k^×\big)$ est donc égal à $1$ ou $4$ suivant
+que $x$, ou $x-1$ — cela revient au même —, appartiennent à $k$ ou non.
+D'autre part, $[k(x):k]$ est égal à $1$ ou $2$ suivant que $x$,
+ou $x-1$ — cela revient au même —, appartiennent à $k$ ou non.
+Le cas d'égalité se produit donc si et seulement si la racine primitive
+quatrième de l'unité $x-1$ appartient à $k$.
+
+(ii) ⇒ (i). Commençons par constater que l'on peut supposer l'indice
+$(k^×⟨A⟩:k^×)$ être une puissance d'un nombre premier $ℓ$.
+En effet, si l'on considère pour chaque $ℓ$ l'image inverse $T_ℓ$
+du $ℓ$-Sylow $S_ℓ$ de $k^×⟨A⟩/k^×$ dans $k^×⟨A⟩$, et que l'on démontre
+l'égalité $[k(T_ℓ):k]=(k^×⟨T_ℓ⟩:k^×)\,(=♯S_ℓ)$, on aura
+la divisibilité $♯ S_ℓ | [k(A):k]$ pour chaque nombre premier $ℓ$ et finalement
+la relation $(k^×⟨A⟩ : k^×) | [k(A):k]$. On peut alors conclure
+en utilisant la majoration $[k(A):k] ≤ (k^×⟨A⟩ : k^×)$ démontrée ci-dessus.
+
+Plaçons nous dorénavant dans le cas où $(k^×⟨A⟩:k^×)$ est une puissance
+d'un nombre premier $ℓ$. Considérons une filtration
+\[
+k^×=G₀ ⊆ G₁ ⊆ … ⊆ G_r=k^×⟨A⟩
+\]
+à quotients d'ordre $ℓ$ et posons $k_n=k(G_n)$ pour $n ∈ [0,r]$.
+
+Nous allons démontrer par récurrence sur l'entier $n ∈ [0,r]$ les faits suivants :
+\begin{itemize}
+\item [$(C_n)$ :] $[k_n:k_{n-1}]=ℓ$ si $n>0$ ;
+\item [$(D_n)$ :] un élément $x$ de $k_n$ appartient à $G_n$ lorsque les
+conditions suivantes sont satisfaites :
+\begin{itemize}
+\item [si $ℓ≠2$ :] $x^ℓ$ appartient à $G_n$ ;
+\item [si $ℓ=2$ :] $x²$ appartient à $G_n$ et, d'autre part, soit
+$x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ soit $\sqrt{-1}$ n'appartient pas à $k_n$.
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+Les énoncés $C₀$ et $D₀$ sont trivialement vrais. Supposons donc $n>0$.
+
+Démonstration de l'implication : $(D_{n-1})$ entraîne $(C_n)$.
+Soit $g_n ∈ G_n$ tel que $G_n=G_{n-1}⟨g_n⟩$. Par construction $g_n^ℓ$ appartient
+au groupe $G_{n-1}$.  Les corps $k_n$ et $k_{n-1}(g_n)$ étant
+égaux, il en résulte que le degré du corps $k_n$ sur $k_{n-1}$ est
+inférieur ou égal à $ℓ$, avec inégalité si et seulement si
+le polynôme $X^ℓ -g_n^ℓ$ est réductible sur $k_{n-1}$. On vérifie immédiatement
+(cf. lemme \ref{Xl-a irréductible} supra) que cela force l'existence
+d'un élément $x$ de $k_{n-1}$ tel que $x^ℓ=g_n^ℓ$.
+
+\begin{itemize}
+\item [Supposons $ℓ≠2$.] Étant égal à $g_n^ℓ$, l'élément $x^ℓ$ appartient à $G_{n-1}$.
+D'après $(D_{n-1})$, l'élément $x$ appartient également à $G_{n-1}$.
+D'autre part, le quotient $g_n/x$ est une racine $ℓ$-ième de l'unité appartenant
+à $G_n$ donc, par l'hypothèse (i), à $k^×$. En conséquence, $g_n$ appartient à
+$G_{n-1}$. Absurde.
+
+\item [Supposons $ℓ=2$.] Dans ce cas, $x²$ appartient à $G_{n-1}$, $x=±g_n$ donc
+appartient à $k^×⟨A⟩$ donc, par $(D_{n-1})$, $x$ appartient également
+à $G_{n-1}$. Comme $g_n=±x$ et $\{±1\}$ est contenu dans $k^× =G₀$,
+on a $g_n ∈ G_{n-1}$. Absurde.
+\end{itemize}
+
+Démonstration de l'implication : $(D_{n-1})$ et $(C_n)$ entraînent $(D_n)$.
+
+\begin{itemize}
+\item [Supposons $ℓ≠2$.]
+Considérons un élément $x$ de $k_n$ tel que
+$x^ℓ$ appartienne à $G_n$. Il existe donc un entier $s ∈ [0,ℓ-1]$
+et un élément $h ∈ G_{n-1}$ tels que $x^ℓ=g_n^s h$.
+
+\begin{itemize}
+\item [Cas $s=0$.] On peut conclure en utilisant le lemme \ref{y=x puissance r fois lambda}.
+En effet, comme $x^ℓ$ appartient à $k_{n-1}$ et $x$ appartient à
+$k_n=k_{n-1}(g_n)$, il existe un entier $r$ tel que $x g_n^{-r}$
+appartienne à $k_{n-1}$. D'autre part $(x g_n^{-r})^ℓ=h (g_n^ℓ)^{-r}$ appartient
+à $G_{n-1}$, il résulte de $(D_{n-1})$ que $x g_n^{-r}$ appartient à $G_{n-1}$.
+CQFD.
+\item [Cas $s≠0$.] Nous allons montrer que ce cas ne se produit pas.
+Notons $N$ la norme de $k_n$ à $k_{n-1}$ et observons d'ores et déjà
+que $N(g_n)=g_{n}^ℓ$ car le polynôme minimal de $g_n$ sur $k_{n-1}$ est
+$X^ℓ-g_n^{ℓ}$, de degré impair. L'égalité $x^ℓ=g_n^s h$ devient donc, par application de $N$
+et réécriture immédiate : ${g_{n}^ℓ}^s=(N(x)/h)^ℓ$. Le terme de droite
+est un élément de ${k_{n-1}^{×}}^ℓ$. Si $s$ est non nul, il est premier à $ℓ$,
+de sorte que l'on a également $g_{n}^ℓ =y^ℓ$ pour un $y$ dans $k_{n-1}^{×}$.
+Comme $y^ℓ$ appartient à $G_{n-1}$ il résulte de $(D_{n-1})$
+que $y$ appartient à $G_{n-1}$. Comme $g_n/y$ est une racine $ℓ$-ième
+de l'unité appartenant à $G_n$ elle appartient à $k^×=G₀$ d'après
+l'hypothèse (a). Finalement $g_n$ appartient $G_{n-1}$. Absurde.
+\end{itemize}
+
+\item[Supposons $ℓ=2$.] Considérons un élément $x$ de $k_n$ tel que
+$x²$ appartienne à $G_n$. Il existe donc un entier $s ∈ \{0,1\}$
+et un élément $h ∈ G_{n-1}$ tels que $x²=g_n^s h$.
+\begin{itemize}
+\item[Cas $s=0$.] Même démonstration que ci-dessus. Observer
+que si $x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $\sqrt{-1}$ n'appartient
+pas à $k_n$), alors $xg_n^{-1}$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $\sqrt{-1}$ n'appartient
+pas à $k_{n-1}$).
+% changer l'étude de cas.
+\item[Cas $s=1$.] Notons $N$ la norme de $k_n$ à $k_{n-1}$ et observons d'ores et déjà
+que $N(g_n)=-g_{n}²$ car le polynôme minimal de $g_n$ sur $k_{n-1}$ est
+$X²-g_n²$, de degré pair.  L'égalité $x²=g_n h$ devient donc $N(x)²=-g_n² h²$ par application
+de $N$, d'où $g_n h=(±N(x))\sqrt{-1}$.
+Les deux éléments $h,N(x)$ appartenant à $k_{n-1}$ et $g_n$ à $k_n-k_{n-1}$,
+il en résulte que $\sqrt{-1}$ appartient à $k_n-k_{n-1}$. En conséquence,
+l'extension quadratique $k_n \bo k_{n-1}$ est engendrée par $\sqrt{-1}$.
+On peut donc écrire l'élément $x$ de $k_n$ sous la forme $λ+μ \sqrt{-1}$
+où $λ$ et $μ$ appartiennent à $k_{n-1}$. Par élévation au carré,
+on obtient $x²=(λ²-μ²)+(2 λ μ) \sqrt{-1}$. Comme d'autre part $x²=g_n h$
+appartient à la droite $k_{n-1} ⋅ \sqrt{-1}$ (cf. \emph{supra}),
+on a $λ=± μ$, c'est-à-dire :
+\[
+x=λ(1±\sqrt{-1}).
+\]
+En élevant à la puissance quatrième, on obtient $x⁴=(-4) ⋅ λ ⁴$. Comme $x²$
+appartient à $G_n$, son carré $x^4$ appartient à $G_{n-1}$, de même que $λ⁴$.
+(Rappelons que $-4 ∈ k^×=G₀$.)
+En appliquant l'hypothèse de récurrence $(D_{n-1})$ à l'élément $λ²$,
+et en se souvenant que $\sqrt{-1}$ n'appartient pas à $k_{n-1}$,
+on en déduit que $λ²$ appartient au groupe $G_{n-1}$. Une nouvelle
+application de l'hypothèse de récurrence montre que $λ$ appartient également
+à $G_{n-1}$. Si $x=λ(1±\sqrt{-1})$ appartient à $k^×⟨A⟩$, on a donc
+$1±\sqrt{-1}$ dans $k^×⟨A⟩$. D'après l'hypothèse (b), on a alors
+$\sqrt{-1}$ dans $k^×$ et finalement $x$ dans $G_{n-1}$. CQFD.
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+\end{démo}
+
+\section{Théorie d'Artin-Schreier}
+
+\subsection{Introduction}
+Nous allons étudier les extensions galoisiennes cycliques d'ordre $p$
+d'un corps $k$ de caractéristique le nombre premier $p$.
+Ici encore, différentes méthodes permettent de démontrer le point clef :
+\begin{enumerate}
+\item (algèbre linéaire) trigonaliser un endomorphisme
+unipotent d'ordre $p$ agissant sur un $k$-espace vectoriel
+de dimension finie ;
+\item (géométrique) utiliser le théorème de la base normale
+(\refext{Versel}{theoreme base normale}) et l'existence d'un morphisme
+$𝐙/p$-équivariant (\refext{Versel}{KAS I})
+\[ k[x_{i ∈ 𝐙/p}][\det(x_{i+j})^{-1}] → k[y]
+\]
+où $𝐙/p$ agit sur $y$ (resp. les $x_i$) par translation (resp. translation
+des indices) ;
+%\item (résolvantes) utiliser les \emph{résolvantes de Lagrange} ;
+\item (cohomologique) utiliser la notion de $𝐙/p$-torseur,
+leur description comme groupe de cohomologie (\refext{Formes}{H1G=TorsG})
+et enfin le calcul de ce groupe reposant sur \refext{Formes}{H1Ga=0}.
+\end{enumerate}
+
+\begin{remarque2}
+Les résultats qui vont suivre peuvent être vus comme des analogues
+« additifs » partiels de la théorie de Kummer. (« Partiels »
+car l'étude des extensions abélienne d'ordre $p^r$ d'un corps de
+caractéristique $p$ ne sera faite que dans une section ultérieure.)
+Ceci est manifeste à la lecture des énoncés \ref{extension cyclique=Kummer}
+et \ref{extension Z sur p-AS}.
+Cela transparaît également ainsi. Si l'on note $σ$ un générateur du groupe de Galois, la méthode (i)
+exposée ci-dessous prend pour point de départ la réécriture de l'équation $σ^p=1$
+en $σ=1+𝔫$ où $𝔫^p=0$ : on ne considère plus une matrice \emph{diagonalisable}
+inversible, dont les puissances $i$-ièmes se calculent par élévation
+à la puissance $i$ des coefficients diagonaux dans une base adaptée,
+mais une matrice \emph{unipotente} $1+𝔫$,
+dont les puissances $i$-ièmes se calculent via la multiplication
+par l'entier $i$ d'une matrice nilpotente $N$ telle
+que $1+𝔫=e^N$ (cf. exercice \ref{explog=identité} \emph{infra}).
+De même, les méthodes (ii) et (iv) font intervenir
+non plus le groupe multiplicatif $\Gm$ (représenté
+par l'algèbre $k[t,t^{-1}]$) mais le groupe additif $\Ga$ (représenté
+par l'algèbre $k[y]$).
+\end{remarque2}
+
+\begin{exercice2}\label{explog=identité}
+Soient $p$ un nombre premier et $k$ un corps de caractéristique $p$.
+Vérifier que l'exponentielle tronquée $\exp_{<p}(x)=∑_{i=0}^{p-1} \frac{x^i}{i!}$
+et le logarithme tronqué $\log_{<p}(x)=-∑_{i=1}^{p-1}\frac{(1-x)^i}{i}$
+définissent des bijections réciproques entre l'ensemble des matrices
+nilpotentes et l'ensemble des matrices unipotentes de $𝐌_p(k)$.
+\end{exercice2}
+
+\subsubsection{}Afin de donner la possibilité au lecteur d'aborder ce chapitre
+après la seule lecture des chapitres [Alg] et [CG] (cf. \emph{leitfaden})
+nous commencerons par exposer la méthode (i) ainsi que l'argument
+original de Emil Artin et Otto Schreier, qui sont aussi, loin s'en faut,
+les plus rapides de toutes. L'approche reposant sur (ii) étant traitée en détail
+dans \refext{Versel}{KAS I} et étendue au cas des extensions
+de groupe $𝐙/p^r$ lorsque $r$ est un entier quelconque dans la section
+suivante, nous n'en parlerons pas dans cette section-ci.
+Le lecteur curieux pourra cependant essayer de comprendre sa parenté avec (i).
+Nous ferons en temps utile quelques remarques — que le lecteur pressé pourra
+passer — sur la méthode cohomologique qui, d'en d'autres contextes,
+s'avère la plus féconde.
+
+\subsection{Extensions de groupe $𝐙/p$ ; énoncés}
+\begin{théorème2}[\cite{Kennzeichnung@AS}, théorème 1]\label{extension Z sur p-AS}
+Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$ et soit $K\bo k$
+une extension galoisienne de groupe cyclique d'ordre $p$.
+\begin{enumerate}
+\item Il existe un élément $a$ de $k$ tel que $K$ soit un corps
+de décomposition du polynôme $X^p-X-a$.
+\item Si $b$ est un autre élément jouissant de la même propriété,
+les sous-groupes (additifs) $A=⟨a⟩$ et $B=⟨b⟩$ de $k ∩ ℘(K)$ ont même image
+dans le quotient $k ∩ ℘(K) / ℘(k)$.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+On rappelle \XXX qu'une algèbre de caractéristique $p$ étant donnée, on note
+$℘$ l'application $𝐅_p$-linéaire $x ↦ x^p-x$ (morphisme
+d'Artin-Schreier).
+
+Ce théorème admet la réciproque suivante.
+
+\begin{proposition2}\label{extension AS est de groupe Z sur p}
+Soient $k$ un corps de caractéristique $p>0$, $a$ un élément de $k$,
+$f=X^p-X-a ∈ k[X]$ et $K$ un corps de décomposition de $f$ sur $k$.
+\begin{enumerate}
+\item Le polynôme $f$ est \emph{séparable}.
+\item Soit $α$ une racine de $f$ dans $K$
+de $f$. Pour tout élément $σ$ de $\Gal(K\bo k)$, l'élément
+$σ(α)-α$ appartient au sous-corps $𝐅_p$ de $k$ et est indépendant
+du choix de $α$. L'application $\Gal(K\bo k) → 𝐅_p$, $σ ↦ σ(α)-α$
+est un morphisme \emph{injectif}, appelé \emph{caractère
+d'Artin-Schreier}\index{caractère d'Artin-Schreier}. En particulier,
+l'extension $K\bo k$ est galoisienne de groupe trivial ou cyclique d'ordre $p$.
+\item Le groupe $\Gal(K\bo k)$ est d'ordre $p$ si et seulement si
+$f$ est irréductible, ce qui se produit si et seulement si
+$a$ n'appartient pas au sous-$𝐅_p$-espace vectoriel $℘(k)$ de $k$.
+Dans ce cas, si $α$ est une racine de $f$, tout autre élément primitif
+$β ∈ K$ également racine d'un polynôme de la forme $X^p-X-b$, où $b ∈ k$,
+s'écrit $β=i α + λ$ où $i$ est un entier non nul inférieur à $p$ et
+$λ$ appartient à $k$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+Comme nous l'avons déjà fait dans le chapitre \XXX nous
+noterons parfois $\root ℘ \of a$ une racine quelconque de l'équation
+$X^p-X=a$.
+
+\begin{lemme2}\label{trace dans AS}
+$\Tr_{K\bo k}(α^i)=0$ pour $0 ≤ i <p-1$ et $\Tr_{K\bo k}(α^{p-1})=-1$
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+En effet, $\Tr_{K\bo k}(α^i)=∑_{λ ∈ 𝐅_p}(α + λ)^i$ et
+$∑_{λ ∈ 𝐅_p} λ^i=0$ si $0 ≤ i < p-1$ et $-1$ si $i=p-1$. (On utilise
+le fait que le groupe multiplicatif $𝐅_p^×$ est cyclique d'ordre $p-1$.)
+\end{démo}
+
+\subsection{Démonstrations}
+\subsubsection{Démonstration de la proposition \ref{extension AS est de groupe Z sur p}}
+La séparabilité du polynôme $f$ résulte du fait
+que sa dérivée est $-1$, trivialement première à $f$.
+Soit $K$ un corps de décomposition de $f$. Notons $Π$ son groupe
+de Galois et fixons une racine $α$ de $f$ dans $K$ de sorte
+que $℘(α)=a$.
+L'application $℘$ étant additive de noyau $𝐅_p$,
+le polynôme $f$ se décompose alors dans $K[X]$ en un produit
+\[
+f(X)=∏_{β ∈ \root℘\of a} (X-β)= ∏_{ζ ∈ 𝐅_p} (X-(ζ + α)).
+\]
+Soit $σ ∈ Π$. Il résulte de l'observation précédente
+qu'il existe un (unique) élément $ζ_σ$ de $𝐅_p ⊆ k$ tel
+que
+\[
+σ(α)=ζ_σ + α.
+\]
+Comme $τ(ζ)=ζ$ pour chaque $τ ∈ Π$ et chaque $ζ ∈ 𝐅_p ⊆k$,
+on a
+\[
+ζ_{τ σ}α = τ σ(α)=ζ_σ + ζ_τ + α :
+\]
+l'application $σ ∈ Π ↦ ζ_σ
+∈ 𝐅_p$ est un morphisme de \emph{groupes}. Ce morphisme
+est indépendant du choix de $α$ car si $β=ζ + α$ est une autre racine,
+$σ(β)-β=(σ(ζ)-ζ) + (σ(α)-α)=σ(α)-α$ car $ζ$ appartient à $k$.
+Montrons que le caractère d'Artin-Schreier est \emph{injectif} ;
+cela démontrera que $Π$, étant isomorphe à un sous-groupe
+de $𝐅_p$, est soit trivial soit cyclique d'ordre $p$. Il suffit
+de démontrer que si $σ(α)=τ(α)$, alors $σ=τ$. Or
+$k(\{ζ + α\}_{ζ ∈ 𝐅_p})=k(α)$ de sorte que $K$ est en fait
+engendré sur $k$ par $α$. Les $k$-automorphismes de $K$ sont
+donc caractérisés par l'image de $α$. Ceci achève la démonstration
+de (i) et (ii). Considérons maintenant le troisième point.
+La première partie de l'énoncé est conséquence immédiate du fait
+que $f$ est scindé dans tout corps de rupture.
+Soit maintenant $β$ un élément primitif racine d'un polynôme d'Artin-Schreier
+comme dans l'énoncé et soit $σ$ un générateur de $Π$. Il existe un entier $i$ tel que
+$σ(β)=β+i$. Il en résulte que $β-i α$ est $σ$-invariant donc dans $k$. CQFD.
+
+\subsubsection{Première démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (i)}
+Soit $K\bo k$ comme dans l'énoncé, de groupe
+de Galois noté $Π$, supposé cyclique d'ordre $p$.
+Fixons un générateur $σ$. Considéré comme
+endomorphisme $k$-linéaire de $K$ dans $K$,
+son polynôme minimal est $X^p-1$. Cela résulte
+du fait que $σ^p=\Id_K$ et que $p$ est minimal pour
+cette propriété. L'égalité $X^p-1=(X-1)^p$ dans l'anneau
+$k[X]$ de caractéristique $p$ montre que $𝔫=σ-\Id_K$ est un endomorphisme
+nilpotent du $k$-espace vectoriel $K$ de dimension $p$.
+Le noyau de $𝔫$ n'est autre que $\Ker(σ-\Id_K)=\Fix_Π(K)=k$ : c'est une
+droite\footnote{On peut en déduire que l'indice de nilpotence de $n$ est exactement $p$.
+Ceci résulte également du fait qu'une relation
+$0=(σ-\Id_K)^r=∑₀^r {r \choose i} σ^i $ (où $r<p$) contredirait
+l'indépendance linéaire des éléments de $Π$ (\refext{CG}{indépendance linéaire
+des automorphismes}).}. La dimension de $K$ sur $k$ étant $p ≥ 2$,
+il en résulte qu'il existe un élément $α$ de $K$ tel que $𝔫²(α)$
+soit nul mais pas $𝔫(α)$. En d'autres termes, $𝔫(α)=σ(α)-α$
+appartient à $k=\Ker(𝔫)-\{0\}$. Quitte à multiplier $α$ par
+un scalaire de $k$, on a donc démontré l'existence d'un
+élément $α$ de $K$ tel que $σ(α)=1+α$.
+L'orbite de $α$ sous $Π=⟨σ⟩$ est d'ordre $p$ de sorte que $K=k(α)$.
+Enfin, $σ(α^p-α)=(1+α)^p-(1+α)=0$ de sorte que $a:=℘(α)$ appartient
+à $k$. CQFD.
+
+\subsubsection{Seconde démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (i)}\label{AS 2}
+Soit $K\bo k$ comme dans l'énoncé et soit
+$σ$ un générateur de son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $p$.
+Soit $x ∈ K$ tel que $K=k(x)$ et posons pour chaque $i ∈ [0,p-1]$,
+$x_i :=σ^i(x)$. Les $x_i$ étant deux-à-deux distincts, il résulte
+du théorème de Vandermonde que le déterminant $\det(x_i^j)_{0 ≤ i,j ≤ p-1}$
+est non nul. En particulier, il existe un entier $r ∈ [0,p-1]$ tel
+que la somme $s=∑_{0 ≤ i ≤ p-1} x_i^r$ soit non nulle.
+Posons $α=\frac{-1}{s} ∑_{0 ≤ i ≤ p-1} i x_i^r$. On vérifie immédiatement
+que $σ(α)=α+1$. On conclut comme ci-dessus. Cet argument
+est l'argument original de E. Artin et O. Schreier.
+
+\subsubsection{Troisième démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (i)}\label{AS 3}
+
+Soit $K\bo k$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
+son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $p$,
+et fixons un générateur $σ$.
+Soit $c:Π → 𝐅_p$ l'unique (iso)morphisme de groupes
+envoyant $σ$ sur $1$. C'est en particulier un
+$1$-cocycle à valeurs dans le groupe additif de $K$
+(\refext{Formes}{généralités 1-cocycles}).
+D'après \refext{Formes}{H1Ga=0}, un tel cocycle est \emph{trivial} : (en
+notations additives) il existe $α ∈ K$
+tel que $c(τ)=-α + {^τ α}$. En particulier $σ(α)=1+α$.
+On a alors $℘(α)∈ k$ et $K=k(α)$. CQFD.
+
+\subsubsection{Quatrième démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (i) (esquisse)}\label{AS 4}
+
+Soit $K\bo k$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$ son groupe de Galois, supposé
+cyclique d'ordre $p$, et fixons un générateur $σ$.
+L'isomorphisme $ι:Π ⥲ 𝐙/p$, $σ ↦ 1$ (ou plutôt son inverse) et l'action naturelle de $Π$
+font de $K$ un $𝐙/p$-torseur sur $k$, trivialisé par $K\bo k$
+(\refext{Formes}{extension galoisienne groupe G est un
+G-torseur}). L'ensemble $\mathrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼$
+des classes d'isomorphismes de tels torseurs est naturellement isomorphe au groupe
+de cohomologie $H¹(K\bo k,𝐙/p)=\Hom(Π,𝐙/p)$ ;
+cet isomorphisme envoyant $[K]$ sur $ι$.
+Le point clef est que l'on peut \emph{calculer} le groupe
+$H¹(K\bo k,𝐙/p)$. En effet, la suite exacte de $Π$-modules abéliens
+\[
+0 → 𝐙/p → K \dessusdessous{x \dessusdessous{℘}{↦} x^p-x}{→} ℘(K) → 0
+\]
+induit une suite exacte
+\[
+H⁰(K\bo k,K) → H⁰(K\bo k,℘(K)) \dessusdessous{δ}{→} H¹(K\bo k,𝐙/p) → H¹(K\bo k,K).
+\]
+D'après \refext{Formes}{H1Ga=0}, le groupe $H¹(K\bo k,K)$ est trivial. D'autre part,
+$H⁰(K\bo k,K)$ est, par définition, $\Fix_Π(K)$, lui-même égal
+à $k$ et $H⁰(K\bo k,℘(K))=k ∩ ℘(K)$ pour la même raison.
+Le morphisme cobord induit donc un isomorphisme
+\[
+(k ∩ ℘(K))/℘(k) ⥲ H¹(K\bo k,𝐙/p) ≃ \mathrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼.
+\]
+Par définition du cobord (\refext{formes}{}), il envoie
+la classe d'un élément $a$ de $k ∩ ℘(K)$
+sur le caractère d'Artin-Schreier $χ_a: σ ↦ σ(\root ℘\of a)-\root ℘\of a$
+(où $\root ℘\of a$ est une racine quelconque de $℘(X)=a$) appartenant à
+$\Hom(Π,𝐙/p)$. Ainsi, il existe $a$ tel que
+$ι$ soit égal au caractère d'Artin-Schreier $χ_a$.
+Ceci signifie que $ι(σ)=1$ est égal à $σ(α)-α$
+où $α=\root ℘\of a$.
+CQFD.
+
+\begin{remarques2}
+\begin{itemize}
+\item Le lecteur constatera que cette méthode donne aussi
+une démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (ii).
+\item On peut vérifier que le morphisme composé
+\[(k ∩ ℘(K))/℘(k) → \mathrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼\]
+envoie la classe de $a$ sur la classe du $𝐙/p$-torseur
+$k[X]/(X^p-X-a)$. % \XXX à faire
+\end{itemize}
+\end{remarques2}
+
+\subsubsection{Démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (ii)}
+Soient $K\bo k$, $a$ et $b$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
+le groupe de Galois de l'extension $K\bo k$, supposé cyclique d'ordre $p$.
+Choisissons également des racines $℘$-ièmes $α$ et $β$ de $a$ et $b$ dans $K$ respectivement.
+Ces éléments étant primitifs pour l'extension $K\bo k$,
+il existe deux éléments non nuls $ζ_a$ et $ζ_b$ de
+du sous-corps premier $𝐅_p$ tels que $σ(α)=ζ_a + α$ et $σ(β)=ζ_b + β$.
+Soit $r ∈ 𝐍$, nécessairement premier à $p$, tel que $ζ_β=r ζ_α$. On
+a donc $σ(rβ)=ζ_a + rβ$ et, par conséquent, $σ(α - β^r)=α - β^r$.
+Ainsi, $x=α-rβ$ appartient à $k$. En appliquant le morphisme
+$℘$ à cette identité, on obtient $℘(x)=a-rb ∈ ℘(k)$ où $r$ est inversible
+dans $k$. La conclusion en résulte aussitôt.
+
+\subsection{Amplification : extensions abéliennes d'exposant $p$}
+
+Rappelons qu'une extension $K\bo k$ est dite abélienne d'exposant divisant $p$
+si elle est galoisienne de groupe abélien tué par $p$.
+La généralisation suivante de \ref{extension AS est de groupe Z sur p}
+permet de construire de telles extensions.
+
+\begin{lemme2}
+Soient $k$ un corps de caractéristique $p>0$ et $A$ une partie $k$.
+Tout corps de décomposition de la famille de polynômes
+$X^p-X-a$, $a ∈ A$, est une extension abélienne de $k$ d'exposant
+divisant $p$.
+\end{lemme2}
+
+On note habituellement $k(\root ℘ \of A)$ un tel corps de décomposition
+et $\root ℘ \of A$ l'ensemble de ses éléments $α$ tels que $α^p-α$ appartienne à $A$.
+
+\begin{démo}
+Comme on l'a vu en \emph{loc. cit.}, les polynômes $X^p-X-a$ sont
+séparables de sorte que l'extension $k(\root ℘ \of A)\bo k$ est galoisienne.
+Notons $Π$ son groupe de Galois. Fixons $α ∈ \root ℘ \of A$.
+Pour chaque $σ$ dans $Π$, il existe $ζ_{σ,α}$ tel que $σ(α)=ζ_{σ,α} + α$.
+La chaîne d'égalités
+\[
+τ σ (α)=τ(ζ_{σ,α} + α)=ζ_{σ,α} + τ(α)=ζ_{σ,α} +  ζ_{τ,α} + α =ζ_{τ,α} + ζ_{σ,α} + α,
+\]
+valable pour chaque $α$, montre que $σ$ et $τ$ commutent.
+D'autre part les égalités $σ^p(α)=pζ_{σ,α}+α=α$, valables
+pour chaque $α$, montrent que $σ^p=1$. CQFD.
+\end{démo}
+
+Ici encore, le fait remarquable est que toutes les extensions
+abéliennes d'exposant divisant $p$ sont obtenues ainsi.
+
+\begin{théorème2}\label{AS général}
+Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$ et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+\begin{enumerate}
+\item L'application $A ↦ K_A=k(\root ℘ \of A)$ est une bijection
+croissante entre l'ensemble des sous-groupes de $k$
+contenant $℘(k)$ et l'ensemble des sous-extensions
+abéliennes de $Ω$ d'exposant divisant $p$. La bijection
+réciproque est donnée par $K ↦ A_K=℘(K) ∩ k$.
+\item Soit $A$ un sous-groupe de $k$ contenant $℘(k)$.
+Le morphisme
+\[
+\Gal(k(\root ℘ \of A)\bo k) → \Hom(A/℘(k),𝐙/p)
+\]
+\[
+σ ↦ \big( a \mod{} ℘(k) ↦ σ(\root ℘ \of a) - \root ℘ \of a\big)
+\]
+est un isomorphisme. En particulier
+\[
+[k(\root ℘ \of A):k]=(A: ℘(k)).
+\]
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+\subsubsection{Démonstration du théorème \ref{AS général}}
+(\emph{Mutatis mutandis}, la démonstration est identique à celle
+de \ref{Kummer général}.)
+Soit $K$ une sous-extension de $Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant
+divisant $p$. Considérons le morphisme $A_K \bo ℘(k) → \Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$
+envoyant la classe de $a ∈ A_K$ sur le caractère
+d'Artin-Schreier correspondant :
+$σ ↦ σ(\root ℘ \of a) - \root ℘ \of a$. Ce morphisme est
+injectif car si $σ(\root ℘ \of a)=\root ℘ \of a$ pour tout $σ$, on a
+$\root ℘ \of a ∈ k$, c'est-à-dire $a ∈ ℘(k)$. Ce morphisme est également
+\emph{surjectif}. En effet, si $χ$ est un caractère du groupe de Galois
+à valeurs dans $𝐅_p$, il existe d'après \ref{AS 3} un $α ∈ K$ tel que $χ(σ)=σ(α)-α$.
+Sa puissance $℘$-ième appartient nécessairement à
+$k$, d'où $α ∈ A_K$. (L'isomorphisme
+$A_K \bo  ℘(k) → \Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$ est également
+démontré en \ref{AS 4}, si l'on se souvient de
+l'identification entre $\Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$ et $H¹(K\bo k,𝐙/p)$.)
+Notons en particulier que les groupes $A_K \bo  ℘(k)$ et $\Gal(K\bo k)$
+ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $♯ \Gal(K\bo k) = ♯ D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
+(\ref{bidualité Zsurn modules finis}).
+
+Soit $K ′=k(\root ℘ \of A_{K})$. On a trivialement $K ′ ⊆ K$ et par conséquent $A_{K ′} ⊆ A_K$.
+Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement $A_K$.
+Les groupes $\Gal(K\bo k)$ et $\Gal(K ′ \bo k)$ ayant même cardinal — celui de
+$A_K \bo ℘(k)$ —, on a également $K = K ′$.
+Ceci montre que toute sous-extension abélienne finie d'exposant divisant $p$ de
+$Ω$ est de la forme $k(\root ℘ \of A)$, où $A$ est comme dans l'énoncé.
+Notons $D_p=\Hom(\tiret,𝐙/p)$. L'isomorphisme $A_K \bo ℘(k)  ⥲ D_p(\Gal(K\bo k))$
+induit un isomorphisme $D_pD_p(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_p(A_K \bo ℘(k) )$.
+On vérifie immédiatement que l'isomorphisme composé
+$\Gal(K\bo k) ⥲ D_pD_p(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_p(A_K \bo ℘(k))$
+n'est autre que l'application $σ ↦ (a \mod ℘(k) ↦ σ(\root ℘ \of a) - \root ℘ \of a)$.
+Pour achever la démonstration du théorème dans le cas fini,
+il faut vérifier que si $A$ est comme en (i) et $K_A:=k(\root ℘ \of A)$,
+on a l'égalité entre $A$ et $A_{K_A}:=℘(K_A) ∩ k$.
+L'inclusion $A ⊆ A_{K_A}$ est claire. Considérons la suite exacte \[
+1 → A/℘(k)  → A_{K_A}/℘(k) → A_{K_A}/A → 1
+\]
+ainsi que la suite exacte induite par dualité
+\[
+1 → D_p(A_{K_A}/A) → D_p(A_{K_A}/℘(k)) →  D_p(A/℘(k))
+\]
+où la seconde flèche est le morphisme de restriction.
+Le morphisme composé $\Gal(K_A\bo k) ⥲  D_p(A_{K_A}/℘(k)) → D_p(A/℘(k))$
+a pour noyau l'ensemble des automorphismes agissant trivialement sur $\root ℘ \of A$,
+c'est-à-dire l'identité de $K_A$. Il en résulte que $D_p(A_{K_A}/℘(k)) →
+D_p(A/℘(k))$ est injectif et, finalement, $D_p(A_{K_A}/A)=\{0\}$.
+D'après \ref{Zsurn dual nul implique nul} ci-dessus, on a donc
+$A=A_{K_A}$. CQFD.
+
+Cas général. Soit $K\bo k$ comme en (i). Le morphisme $\Gal(K\bo k) → D_p(A_K
+\bo ℘(k))$ est un isomorphisme : cela résulte d'un passage à la limite
+sur les sous-extensions finies de $K$. L'inclusion \emph{a priori} $k(\root ℘
+\of A_K ) ⊆ K$ est une égalité ; cela résulte du fait que le corps $k(\root ℘
+\of A_K)$ contient, d'après ce qui précède, toutes les sous-$k$-extensions finies de $K$.
+Enfin, la démonstration ci-dessus de l'égalité $A = A_{K_A}$ s'étend
+au cas général, lemme \ref{Zsurn dual nul implique nul} étant valable
+sans hypothèse de finitude.
+
+\subsection{Amplification : extension de groupe $𝐙/p²$}
+
+\subsubsection{}Soit $p$ un nombre premier et soit $K \bo k$ une extension
+galoisienne de groupe de Galois $Π$ cyclique d'ordre $p²$. Ce groupe
+possède un unique sous-groupe d'ordre $p$. La sous-extension
+correspondante de $K\bo k$ est de la forme $k(x)$ où
+$x$ est racine d'une équation $x^p-x=a$ où $a$ appartient à $k$.
+De même, l'extension $K\bo k(x)$, étant
+galoisienne d'ordre $p$, est engendrée par un élément
+$y$ satisfaisant une équation $y^p-y=b$ où $b$
+est un élément de $k(x)$, que l'on peut donc écrire
+sous la forme $b=q(x)$ pour un unique polynôme $q$
+à coefficients dans $k$ de degré inférieur ou égal à $p-1$.
+
+Soit $σ$ un générateur de $Π$. Le groupe de Galois
+de $k(x)\bo k$ est constitué des restrictions à
+$k(x)$ des éléments $\Id,σ,σ², … ,σ^{p-1}$ de $Π$.
+La racine conjuguée $σ(x)$ de $x$ est égale à $x+ζ$ où $ζ ∈ 𝐅_p-\{0\}$.
+Quitte à remplacer $σ$ par une puissance d'ordre premier à $p$
+(un autre générateur de $Π$) on peut supposer que $σ(x)=x+1$.
+Appliquant $σ$ à l'équation $y^p-y=q(x)$, on obtient
+donc $σ(y)^p-σ(y)=q(x+1)$. D'après \ref{extension AS est de groupe Z sur
+p} (iii), il existe un élément $ψ ∈ 𝐅_p-\{0\}$ et un polynôme $s ∈ k[X]$
+de degré strictement inférieur à $p$ tels que $σ(y)=ψ ⋅ y + s(x)$.
+Il en résulte par récurrence sur $i$ que l'on a l'égalité
+\[
+σ^i(y)=ψ^i y + ψ^{i-1} s(x) + ψ^{i-2} s(x+1) + \cdots + s(x+i-1).
+\]
+D'autre part, $σ^p$ fixe $k(x)$ donc appartient au groupe
+de Galois de l'extension d'Artin-Schreier $k(y)\bo k(x)$ si bien
+qu'il existe un $φ ∈ 𝐅_p-\{0\}$ pour lequel $σ^p(y)=y+φ$.
+En comparant cette égalité avec l'égalité
+précédente pour $i=p$, on trouve :
+\[
+ψ^p y + ψ^{p-1} s(x) + \cdots + s(x+p-1)=y+φ.
+\]
+On en tire $ψ^p=1$, d'où $ψ=1$, et $s(x) + \cdots + s(x+p-1)=φ$.
+Prenant la trace de $k(x)$ à $k$ et utilisant les égalités
+$\Tr_{k(x)\bo k}(x^i)=0$ pour $0 ≤ i <p-1$ et $\Tr_{k(x)\bo k}(x^{p-1})=-1$
+(cf. \ref{trace dans AS} \emph{supra}),
+on en déduit que $s(x)=-φ x^{p-1} + (\textrm{termes de plus bas degré})$.
+Quitte à remplacer $y$ par $-y/φ$, on peut donc supposer :
+\begin{enumerate}
+\item $σ(y)=y+x^{p-1}+t(x)$, où $t ∈ k[X]$ est de degré strictement inférieur
+à $p-1$ ;
+\item $σ^p(y)=y-1$.
+\end{enumerate}
+
+Soit $u ∈ k[X]$ un polynôme de degré inférieur ou égal à $p-1$
+tel que $u(X+1)-u(X)=t(X)$. (Un tel polynôme existe et est unique
+à une constante additive près.) Il résulte de l'égalité $σ(u(x))=u(x+1)$
+que l'on peut supposer, en remplaçant $y$ par $y+u(x)$, que l'on a $t=0$, c'est-à-dire :
+\[
+σ(y)=y+x^{p-1}.
+\]
+Appliquons $σ$ à l'équation $y^p-y=q(x)$. On en tire :
+\[
+q(x+1)=(y+x^{p-1})^p-(y+x^{p-1})=q(x)+(x+a)^{p-1}-x^{p-1},
+\]
+soit : $q(x+1)-q(x)=(x+a)^{p-1}-x^{p-1}$.
+On a donc montré que toute extension de $k$ de groupe $𝐙/p²$
+est obtenue par extensions successives d'Artin-Schreier d'un type
+particulier : $x^p-x=a$ puis $y^p-y=q(x)$ où $q(x+1)-q(x)=(x+a)^{p-1}-x^{p-1}$.
+
+\subsubsection{Réciproque} Soit $k$ un corps de caractéristique $p$ et soit $Ω$
+une clôture algébrique de $k$. Considérons :
+\begin{enumerate}
+\item $a ∈ k-℘(k)$ ;
+\item $x ∈ Ω$ une racine du polynôme irréductible $X^p-X-a ∈ k[X]$ ;
+\item $q ∈ k[X]$ un polynôme de degré inférieur ou égal à $p-1$
+satisfaisant l'équation aux différences
+\[
+q(x+1)-q(x)=(x+a)^{p-1}-x^{p-1}.
+\]
+\end{enumerate}
+
+Posons
+\[
+P(Y)=∏_{ζ ∈ 𝐅_p} \big(Y^p-Y-q(x+ζ)\big) ∈ Ω[X].
+\]
+
+\begin{lemme2}
+Le polynôme $P$ est séparable, appartient à $k[X]$ et y est irréductible.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+L'appartenance de $P$ à $k[X]$ est claire : ses coefficients sont visiblement
+dans $k(x)$ et $P$ est invariant par $\Gal(k(x)\bo k)=⟨ σ:x ↦ x+1 ⟩$.
+Soit $y$ une racine de $P$ et soit $b=y^p-y$. Les polynômes
+$Y^p-Y-b$ étant séparables (pour chaque $b$), il suffit
+de vérifier que les coefficients constants $q(x+ζ)$
+des facteurs de $P$ sont deux-à-deux distincts.
+Or, l'ensemble des $q(x+ζ)$ est l'orbite sous $\Gal(k(x)\bo k)$
+de l'élément $q(x)$. Cet élément n'appartient pas à $k$ car $q$ n'est pas
+constant ($a≠0$). Démontrons enfin l'irréductibilité de $P$ sur $k$.
+Soit $y$ une racine de $Y^p-Y-q(x)$. Par construction $q(x)$ appartient
+à $k(y)$. Or, puisque $q(x)$ n'est pas dans $k$, $k(q(x))=k(x)$
+pour des raisons de degré. Il en résulte que $k(x)$ est contenu dans $k(y)$.
+Montrons que cette inclusion est \emph{stricte}. Supposons
+$y=r(x)$ où $r$ est un polynôme de $k[X]$ de degré inférieur
+ou égal à $p-1$. Il résulte de l'égalité $x^p=x+a$
+que $y^p=r^{(p)}(x+a)$ où $r^{(p)}$ est le polynôme obtenu à partir
+de $r$ par élévation des coefficients à la puissance $p$.
+Considérons le coefficient de $x^{p-1}$ des termes extrêmes
+de la double égalité $q(x)=y^p-y=r^{(p)}(x+a)-r(x)$.
+On obtient $a$ à gauche (cela résulte de l'équation aux différences
+satisfaite par $q$) et $c^p-c$ à droite, où $c$ est le coefficient
+de $x^{p-1}$ dans $r(x)$. C'est absurde car $a$ n'appartient par hypothèse
+pas à $℘(k)$. Ainsi, l'inclusion $k(x) ⊆ k(y)$ est stricte et $y$ est donc de
+degré $p²$ sur $k$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+Soit $y ∈ Ω$ une racine du polynôme $P$ dans $Ω$.
+L'extension $k(y)\bo k$ est galoisienne de groupe cyclique d'ordre $p²$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Commençons par observer que si pour chaque $ζ ∈ 𝐅_p$,
+on note $y_ζ$ une racine de $Y^p-Y-q(x+ζ)$ dans $Ω$,
+l'ensemble des racines de $P$ est le sous-ensemble
+$\{y_ζ + ψ : (ζ,ψ) ∈ (𝐅_p)²\}$ de $Ω$. On veut montrer
+qu'il est contenu dans $k(y₀)$. (On peut supposer $y=y₀$.)
+Or, il résulte de l'identité $(x+ζ)^{p(p-1)}=(x+a+ζ)^{p-1}$ et
+de l'équation aux différences satisfaite par $q$ que si $y_ζ$ est une racine
+comme ci-dessus, $y_ζ + (x+ζ)^{p-1}$ est une racine de $Y^p-Y-q(x+ζ+1)$.
+Il est donc clair que l'ensemble des racines de $P$ est contenu dans $k(y₀)$.
+
+Comme on vient de le voir, $y+x^{p-1}$ est une racine de $P$.
+Notons $σ$ l'unique $k$-automorphisme de $K=k(y)$ envoyant $y$ sur $y+x^{p-1}$.
+Le groupe de Galois $Π$ de $K$ sur $k$ étant d'ordre $p²$, il nous suffit
+de montrer que $σ^p$ est non trivial pour s'assurer que $Π$ est cyclique.
+Calculons : $σ(y)^p=(y+x^{p-1})^p=y^p+(x^p)^{p-1}=y^p+(x+a)^{p-1}$.
+Il en résulte que $σ(q(x))=σ(y^p-y)$ est égal à $q(x)+(x+a)^{p-1}-x^{p-1}=q(x+1)$.
+Comme $k(q(x))=k(x)$, on en déduit que $σ(x)=x+1$.
+Ceci nous permet de vérifier par récurrence les égalités :
+\[
+σ^i(y)=y+x^{p-1}+(x+1)^{p-1}+\cdots+(x+i-1)^{p-1}.
+\]
+En particulier, $σ^p(y)=y+\Tr_{k(x)\bo k}(x^{p-1})=y-1≠y$.
+CQFD.
+\end{démo}
+
+En résumé, nous avons démontré le théorème suivant.
+
+\begin{théorème2}[\cite{Kennzeichnung@AS}, théorème 3]\label{AS Z sur p carré}
+Soient $k$ un corps de caractéristique $p>0$, $a ∈ k- ℘(k)$,
+$Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $x$ une racine du polynôme
+$X^p-X-a$ dans $Ω$. Pour tout polynôme $q_{AS} ∈ k[X]$
+tel que $q_{AS}(X+1)-q_{AS}(X)=(X+a)^{p-1}-X^{p-1}$, et toute
+racine $y_{AS}$ du polynôme $Y^p-Y-q_{AS}(x)$, la sous-extension
+$k(y_{AS})$ de $Ω$ contient $k(x)$ et est galoisienne de groupe
+cyclique d'ordre $p²$ sur $k$. Réciproquement toute telle extension est obtenue
+de cette manière. De plus, $σ(x)=x+1$ et $σ(y_{AS})=y_{AS}+x^{p-1}$. \XXX
+\end{théorème2}
+
+Ces résultats ont été généralisés dans \cite{Cyclic@Albert}
+au cas des extensions de groupe $𝐙/p^n$ avec $n ≥ 1$ quelconque.
+Peu après (1937), la construction A. Adrian Albert fut grandement simplifiée
+par Ernst Witt, qui introduisit les vecteurs portant désormais son
+nom et faisant l'objet de la section suivante.
+
+\begin{corollaire2}
+Toute extension galoisienne de groupe $𝐙/p$ d'un corps de caractéristique $p>0$
+est contenue dans extension de groupe $𝐙/p²$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{remarque2}
+Ce fait — remarquable — est un cas particulier de la nullité
+des $H^i(G_k,𝐙/p)$ pour $i>1$ cf. \refext{versel}{démo cohomologique extensions
+quaternioniques}, particulièrement \refext{versel}{obstruction cohomologique
+relèvement} et \refext{versel}{lemme relèvement et cohomologie}). \XXX
+\end{remarque2}
+
+\begin{corollaire2}
+Le groupe de Galois absolu d'un corps de caractéristique positive
+est sans torsion. En particulier, il est infini dès lors qu'il est non trivial.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+
+
+\section{¶ Vecteurs de Witt et théorie d'Artin-Schreier-Witt}\label{vecteurs Witt et ASW}
+
+Nous avons donné en \refext{Versel}{KAS I} une démonstration
+du théorème d'Artin-Schreier s'appuyant d'une part
+sur le théorème de la base normale et, d'autre part, sur la structure
+des unités des anneaux $A[X]/X^p$, où $A$ est une $𝐅_p$-algèbre
+variable. Cet argument étant de nature générale, on se convainc aisément
+du fait — dont on trouvera tous les détails ci-dessous —
+que l'étude de la structure des groupes $U_{p^r}(A)=(A[X]/{X^{p^r}})^×$
+est la clef de voute d'une méthode menant à la description
+des extensions galoisiennes de groupe $𝐙/p^r$ ($r ≥ 1$ quelconque)
+d'un corps de caractéristique $p>0$.
+
+Oubliant momentanément notre motivation initiale, nous allons commencer par
+introduire les (gros) vecteurs de Witt sans référence à un nombre premier $p$.
+Nous reviendrons ensuite progressivement au thème central de ce chapitre.
+Au prix d'une certaine longueur, nous avons essayé de rendre la présentation aussi naturelle que possible
+et d'éviter le recourt à des définitions ou constructions \emph{ad hoc}.
+
+\subsection{(Gros) vecteurs de Witt : définitions et premières propriétés}\label{gros Witt}
+\subsubsection{Notations}
+Pour chaque entier $n ≥ 0$ et chaque anneau $A$, notons $A_n$
+le quotient $A[X]/X^{n+1}$ de l'anneau de polynômes $A[X]$.
+On s'intéresse à la structure des unités de $A_n$, pour $A$ variable,
+c'est-à-dire à la structure du \emph{foncteur en groupes abéliens} $U_n$, envoyant
+un anneau $A$ sur le groupe multiplicatif $A_n^×$ des unités de $A_n$
+et un morphisme d'anneaux $A → B$ sur le morphisme induit $A_n^× → B_n^×$.
+Un premier « dévissage » est aisé : le foncteur $U_n$
+est isomorphe au foncteur $W_n × \Gm$, où $W_n$ (resp. $\Gm$) envoie un anneau $A$ sur le groupe abélien
+$\Ker(A_n^× → A^×)=1+X A_n$ (resp. $A^×$). En effet, pour chaque anneau $A$,
+on dispose d'un isomorphisme canonique
+\[A_n^× → (1+XA_n) × A^×\]
+\[f ↦ (f/f(0),f(0)).\]
+\begin{remarque2}
+Plus généralement, si $F$ est un \emph{foncteur} des anneaux
+vers les groupes commutatifs, on pourrait considérer les « courbes de longueurs
+$n$ sur $F$ » définies par la formule $C_nF(A)=\Ker(F(A_n)→ F(A))$. Le cas
+considéré ici est celui du foncteur « groupe multiplicatif » $\Gm$.
+Pour $n=1$, on obtient l'« espace tangent » à $F$ en l'identité,
+qui est une généralisation de la construction de l'algèbre de Lie
+d'un groupe algébrique.
+\end{remarque2}
+Il est également commode de « passer à la limite sur $n$ » c'est-à-dire de considérer les anneaux de \emph{séries
+formelles}\index{séries formelles} \[A_∞=A[[X]]=\{a₀+a₁X+a₂X²+\cdots \}\]
+et le foncteur
+\[
+W_∞:A ↦ 1+X A[[X]]=\Ker(A_∞^× → A^×)
+\]
+correspondant.
+
+\subsubsection{Digression sur les séries formelles}
+
+Topologie, convergence de sommes et de produits infinis.
+
+\XXX 
+
+\begin{définition2}
+On appelle \emph{foncteur des vecteurs de Witt} (resp. des \emph{vecteurs
+de Witt tronqués à l'ordre $n$}) le foncteur $W_∞$ (resp. $W_n$).
+\end{définition2}
+
+Soit $n ∈ 𝐍 ∪ \{∞\}$. Les groupes $W_n(A)$ étant abéliens, et également
+amenés à être munis (cf. \emph{infra}) d'une structure d'anneau, nous noterons
+$⊕$ leur loi de groupe. Ainsi, nous appellerons par exemple
+« multiplication par un entier $r$ » le morphisme $[r]:(W_n(A),⊕) → (W_n(A),⊕)$, $f ↦ f^r$
+(pour $A$ variable).
+
+\subsubsection{}Considérons la filtration descendante $(\mathrm{Fil}^iW_n)_{0 < i ≤ n+1}$ ($i
+∈ 𝐍$) de $W_n$ définie par les sous-groupes $\mathrm{Fil}^iW_n(A)=1+X^i A_n$.
+On a $\mathrm{Fil}^1W_n=W_n$ et $⋂_i \mathrm{Fil}^iW_n=\{1\}$.
+Pour chaque $i>0$, les applications évidentes $\mathrm{Fil}^iW_n(A) → A$, $1+a X^i+\cdots
+↦ a$ induisent un isomorphisme $\mathrm{Fil}^iW_n/\mathrm{Fil}^{i+1}W_n
+→ \Ga$, où l'on rappelle que l'on note $\Ga$ le foncteur
+envoyant un anneau $A$ sur le groupe additif $(A,+)$.
+Le foncteur en groupes commutatifs $W_n$ est donc extension successive
+du groupe additif $\Ga$. On dit que $W_n$ est (un foncteur en groupes) « unipotent ».
+Bien entendu, les extensions ne sont \emph{a priori} pas
+nécessairement triviales de sorte qu'il se pourrait
+que $W_n$ ne soit pas isomorphe, comme foncteur en groupes, à $\Ga^n$.
+Notons cependant qu'il en est ensemblistement ainsi :
+l'application envoyant $1+a₁X+a₂X²+\cdots ∈ W_n(A)$ sur $(a₁,a₂,
+\cdots) ∈ A^n$ est bijective pour chaque $A$.
+La remarque suivante fournit, à $A$ fixé, quantité
+d'autres bijections entre $W_n$ vu comme foncteur en \emph{ensembles}
+et le foncteurs en ensembles $𝐀^n:A ↦ A^n$. En caractéristique nulle, il en existe
+qui sont des \emph{isomorphismes} de groupes (cf. \ref{Wn en caractéristique
+nulle}).
+
+\begin{remarque2}\label{groupe unipotent est ensemblistement trivial}
+Soit $W$ un groupe abstrait et $(\mathrm{Fil}^iW)_{0 ≤ i < r}$ une filtration décroissante finie
+sur $W$ telle que $F⁰W=W$ et $\mathrm{Fil}^rW=\{1\}$, à gradués
+$\mathrm{gr}^{\mathrm{Fil}}_i(W)=\mathrm{Fil}^iW/\mathrm{Fil}^{i+1}W$ isomorphes à un
+même groupe $G$. Chaque choix de sections \emph{ensemblistes} $s_i$ aux morphismes
+$\mathrm{Fil}^i(W) ↠ \mathrm{gr}^{\mathrm{Fil}}_i(W)⥲ G$ induit une bijection $G^r ⥲ W$,
+$(g₀, …,g_{r-1}) ↦ s₀(g₀)\cdots s_{r-1}(g_{r-1})$.
+\end{remarque2}
+
+\begin{proposition2}\label{Wn en caractéristique nulle}
+La restriction $W_{n|𝐐}$ du foncteur en groupes $W_n$ aux $𝐐$-algèbres est isomorphe
+au foncteur $\Ga^n$. En particulier, il existe pour chaque $𝐐$-algèbre $A$ un
+isomorphisme de groupes $(W_n(A), ⊕) ⥲ (A^n,+)$.
+\end{proposition2}
+
+(Pour une généralisation, cf. \ref{structure Wn sur Z(p)}.)
+C'est là un fait général\footnote{« Tout groupe algébrique
+unipotent sur un corps de caractéristique nulle est isomorphe
+à une puissance du groupe additif ».} dont nous allons donner
+ici une démonstration \emph{ad hoc}, reposant sur un lemme
+qui sera utile pour notre étude. (Rappelons
+que l'on s'intéresse particulièrement aux $W_n(A)$ lorsque
+$A$ est une \emph{$𝐅_p$-algèbre}.)
+
+\begin{lemme2}\label{bijections entre Wn et An}
+Soit $n ∈ 𝐍 ∪ \{∞\}$.
+\begin{enumerate}
+\item Tout élément $f=1+∑_{i=1}^{n} a_i x^i$ de $W_n(A)$ s'écrit
+de manière unique sous la forme $∏_{i=1}^{n}(1-α_i x^i)$
+où chaque $α_i$ est un élément de $A$ obtenu
+en évaluant en $(a₁, …,a_i)$ des polynômes à coefficients entiers
+indépendants de l'anneau $A$.
+\item Soient $k$ un anneau, $u ∈ k^×$ et $E=1+uX+\cdots ∈ k[[X]]$ une série
+formelle. Pour toute $k$-algèbre $A$, chaque élément $f=1+∑_{i=1}^{n} a_i x^i$ de $W_n(A)$
+s'écrit de manière unique sous la forme $∏_{i=1}^{n}E(α_i x^i)$
+où chaque $α_i$ est un élément de $A$ obtenu en évaluant en $(a₁, …,a_i)$ des polynômes à coefficients
+dans $k$ indépendants de la $k$-algèbre $A$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+Remarquons que les applications $α ↦ E(\frac{α}{u} x^i)$ sont des sections
+(fonctorielles, ensemblistes) du morphisme $\mathrm{Fil}^iW_n/\mathrm{Fil}^{i+1}W_n → \Ga$.
+L'énoncé (ii), dont (i) est le cas particulier $k=𝐙$ et $E(X)=1-X$, est
+donc une variante de la remarque \ref{groupe unipotent est
+ensemblistement trivial}.
+
+\begin{démo}
+(i) Supposons $n$ fini.
+L'égalité $1+a₁x+a₂x²+ \cdots + a_n x^n=(1-α₁x)(1-α₂x²)\cdots(1+α_n x^n)$
+se réécrit sous la forme
+\[
+a_r=∑_{1 ≤i₁<i₂< \cdots < i_s ≤ r \atop i₁+2 i₂ + \cdots s i_s=r} (-1)^s α_{i₁}
+\cdots α_{i_s}.
+\]
+L'unique solution est donnée par les formules (récursives) :
+\[
+α_r=a_r - ∑_{1 ≤i₁<i₂< \cdots < i_s<r \atop i₁+2 i₂ + \cdots s i_s=r} (-1)^s α_{i₁}
+\cdots α_{i_s}.
+\]
+Le cas $n=∞$ se démontre de même. (ii)
+Supposons $n$ fini.
+On suffit de montrer par récurrence sur $r ≤ n$ que
+tout élément $f ∈ W_n(A)$ s'écrit $E(α₁X) \cdots E(α_r X^r) g_r$
+où $g_r ∈ \mathrm{Fil}^{r+1}W_n(A)$, et les $α_i$ sont comme dans l'énoncé.
+Cela résulte du fait que pour chaque $α ∈ A$, le quotient
+d'une série $g=1+αX^{r+1}+ β X^{r+2}+\cdots $ par $E(\frac{α}{u} X^{r+1})$ appartient
+à $ \mathrm{Fil}^{r+2}W_n(A)$ et que son coefficient en $X^{r+2}$
+est un polynôme en $α$ et $β$ à coefficients dans $k$. (Ce polynôme
+ne dépend que de $r$ et des coefficients de $E$.) Le cas $n=∞$ se démontre de même.
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Démonstration de la proposition \ref{Wn en
+caractéristique nulle}]
+On applique le lemme à $k=𝐐$ et $E(X)=\exp(X)$
+en observant que $\exp(α_i X^i) ⊕ \exp(β_i X^i)=\exp((α_i+β_i) X^i)$.
+\end{démo}
+
+Si l'on ne restreint plus $W_n$ aux $𝐐$-algèbres
+la structure du groupe $W_n$ est plus compliquée. Nous allons maintenant l'étudier
+pour une classe d'anneaux contenant les $𝐅_p$-algèbres.
+
+\begin{exercice2}
+Montrer qu'en caractéristique $p>0$, il n'existe
+pas de série $E(X)=1+uX+\cdots$ telle que $E(aX)E(bX)=E((a+b)X)$.
+\end{exercice2}
+
+\subsection{Verschiebung, Frobenius, séries $p$-typiques et
+exponentielle de Artin-Hasse}
+\subsubsection{}Considérons maintenant le foncteur $W_∞$, qui est la limite des
+tronqués $W_n$. On souhaite en comprendre la structure, en tant que foncteur
+en groupes abéliens ; il est donc naturel de considérer le groupe (non commutatif)
+de ses endomorphismes. Si l'on parvient par exemple à construire
+un idempotent non trivial $e$ de $\End(W_∞)$, on en déduira
+une décomposition non triviale $W_∞=\Ker(e)×\Im(e)$. (Réciproquement,
+toute décomposition non triviale de $W_n$ est obtenue ainsi.)
+À cette fin, considérons, pour chaque entier $r ≥ 1$ et chaque anneau $A$,
+le morphisme d'anneaux $φ_{r,A}:A[[X]] → A[[X]]$ défini par $X ↦ X^r$. Ce morphisme fait que $A[[X]]$
+un module libre de rang $r$ sur lui-même. (Il n'en est pas ainsi
+des morphismes semblables de $A_n$ dans $A_n$ lorsque $n≠∞$.)
+On en déduit des endomorphismes $V_r:W_∞ → W_∞$
+(V pour « Verschiebung »\footnote{Mot allemand signifiant « décalage ».}), envoyant $f =1+a₁X+a₂X²+\cdots ∈ W_∞(A)$ sur $φ_{r,A}(f)=f(X^r)$ et $F_r:W_∞ → W_∞$
+(F pour « Frobenius », cf. \emph{infra}),
+envoyant $f$ sur $\N(f(X))$, où $\N:A[[X]]^× → A[[X]]^×$ désigne la norme
+déduite de $φ_{r,A}$ (cf. \refext{Alg}{trace-et-norme}).
+Le fait que le terme constant de $\N(f(X))$ soit un, c'est-à-dire
+que $\N(f(X))$ — \emph{a priori} dans $A[[X]]^×$ — soit dans
+$1+XA[[X]]=W_∞(A)$ résulte de l'égalité $\N(f(X))(0)=\N(f(0))$
+où le terme de droite est la norme de $A[[X]]/(X^r)$ à $A$
+de l'élément $f(0)=1$ de $A[[X]]/(X^r)$ (cf. \refext{Alg}{cb-trace}).
+
+La proposition ci-dessus établit des relations entre ces endomorphismes ;
+elle nous permettra de construire un idempotent non trivial de $\End(W_∞)$.
+
+\begin{proposition2}\label{relations V et F}
+Soient $r$ et $s$ des entiers non nuls. Les identités suivantes sont valables dans $W_∞$ :
+\begin{enumerate}
+\item $F_r V_r=[r]$ ;
+\item $F_s F_t =F_{st}$ ;
+\item $V_s V_t =V_{st}$ ;
+\item $F_r V_s=V_s F_r$ si $r$ et $s$ sont premiers entre eux.
+\item $V_r F_r (\mathrm{Fil}^s) ⊆ \mathrm{Fil}^s$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+(i) C'est un cas particulier de la dernière formule de \refext{Alg}{trivialités sur trace et norme}.
+(ii) C'est une cas particulier de la transitivité de la norme (\refext{Alg}{composition-trace-norme}).
+(iii) Résulte de la formule $(X^s)^t=X^{st}$.
+(iv) Résulte des deux formules :
+\[
+V_s (1-α X^n)= 1-α  X^{ns}
+\]
+et
+\[
+F_r (1-α  X^n) = (1- α ^{r/(r,n)} X^{n/(r,n)})^{(r,n)}
+\]
+où $(r,n)$ désigne le pgcd de $r$ et $n$.
+La première formule est évidente. La seconde se ramène, d'après (ii) et (i), au cas particulier où
+$r$ et $n$ sont premiers entre eux : on veut montrer l'égalité
+\[
+N_{A[[X]]\bo A[[X^r]]}(1-α X^r)=(1-α^r X^{rn}),
+\]
+où $A[[X^r]] → A[[X]]$ est l'inclusion.
+Pour chaque entier $0 ≤ i ≤ r$ notons $n_i$ le reste de la division euclidienne
+de $in$ par $r$ et $e_i=X^{n_i}$. Les entiers $n$ et $r$ étant premiers
+entre eux, la famille $e₀, …,e_{r-1}$ est une base de $A[[X]]$ sur $A[[X^r]]$.
+D'autre part, la multiplication par $1- α X^n$ envoie $e_i$ sur $e_i - α x^{β_i}
+e_{i+1}$ où $β_i=n+(n_i - n_{i+1})$. On vérifie sans peine que le déterminant
+d'une telle application $A[[X^r]]$-linéaire est $1+(-1)^{r-1}∏_{i=0}^{r-1}
+(-αX^{β_i})=1-α^r X^{rn}$. CQFD.
+(v). Résulte du lemme \ref{bijections entre Wn et An} et des formules
+ci-dessus. [À un passage à la limite près.] \XXX
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{Frobenius sur Witt en caractéristique p}
+Soient $p$ un nombre premier et $f=1+∑_{i>0} a_i X^i ∈ W_∞(A)$ où
+$A$ est une $𝐅_p$-algèbre. Alors,
+\[
+F_p(f)=1+∑_{i>0} a_i^p X^i :
+\]
+le morphisme de Frobenius d'indice $p$ agit par élévation
+à la puissance $p$ des coefficients.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Il résulte de \ref{bijections entre Wn et An} qu'il suffit de démontrer que
+pour chaque entier $n ≥ 1$, on a $F_p(1-α X^n)=1-α^p X^n$. Or,
+d'après la formule $F_r (1-α  X^n) = (1- α ^{r/(r,n)} X^{n/(r,n)})^{(r,n)}$
+démontrée ci-dessus, on a $F_p(1-α X^n)=(1-α^p X^n)$ si $p$ ne divise pas $n$
+et $F_p(1-α X^n)=(1-α X^{n/p})^p$ si $p$ divise $n$. On observe
+alors qu'en caractéristique $p>0$, on a $(1-α X^{n/p})^p=1-α^p X^n$.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}Soit $n ∈ A^×$. Le groupe $W_∞(A)$ n'a pas de $n$-torsion car
+l'égalité $(1+f)^n=1$ se réécrit $nf+{n \choose 2}f²+\cdots=0$ d'où $f=0$
+(regarder le terme de plus bas degré de $f$.
+D'autre part, le groupe $W(A)$ est $n$-divisible : tout élément
+$1+f$ de $W_∞(A)$ s'écrit — de manière unique d'après ce qui précède —
+sous la forme $(1+g)^n$. Il suffit en effet de poser
+$g=∑_{i>0} {1/n \choose i } f^i$. Ainsi, la structure de groupe abélien,
+c'est-à-dire de $𝐙$-module sur $W_∞(A)$ s'étend (de façon unique) en
+une structure de $𝐙[1/n]$-module. Soit $p$ un nombre premier ou bien égal
+à un. Notons $𝐙_{(p)}$ le sous-anneau $𝐙[1/n:(n,p)=1]$ de $𝐐$. (Par exemple,
+$𝐙_{(1)}=𝐐$). Un anneau commutatif dans lequel chaque entier premier à $p$
+est inversible est naturellement une $𝐙_{(p)}$-algèbre, et réciproquement.
+
+Il résulte immédiatement de la formule \ref{relations V et F} (i)
+que pour chaque nombre $ℓ$ inversible
+sur les algèbres considérées, l'opérateur $ε_ℓ=[ℓ]^{-1}V_ℓ F_ℓ $ est un
+endomorphisme idempotent et des formules (ii--iv) que $ε_ℓ ε_{ℓ ′}=ε_{ℓ ℓ ′}=ε_{ℓ ′}ε_ℓ $ lorsque
+$ℓ$ et $ℓ ′$ sont premiers entre eux. Soit $p$ un nombre
+premier ou bien égal à un et soit $L$ un ensemble fini de nombres premiers $ℓ$ différents
+de $p$. Le produit fini $e_L=∏_{ℓ ∈ L} (1-ε_ℓ)$ des
+idempotents $1-ε_ℓ$ est un idempotent de $\End(W_{∞|𝐙_{(p)}})$.
+Développant le produit, on trouve :
+\[
+e_L=∑_{\mathrm{supp}(r) ⊆ L} μ(r) ε_r,
+\]
+où le support $\mathrm{supp}(r)$ d'un entier $r$ est l'ensemble
+des nombres premiers le divisant et où $μ$ est la fonction de Möbius
+(cf. \refext{CF}{definition-fonction-de-Moebius}).
+Faisant tendre l'ensemble fini $L$ vers l'ensemble infini $𝒫-\{p\}$
+des nombres premiers différents de $p$, on est naturellement conduit
+à considérer l'idempotent $e_p$ de la proposition suivante.
+
+\begin{proposition2}\label{construction idempotents de EndWinfini}
+Soit $p$ un nombre premier ou bien égal à un. Considérons le foncteur
+$W_{∞|𝐙_{(p)}}$, restriction de $W_∞$ aux $𝐙_{(p)}$-algèbres.
+\begin{enumerate}
+\item La somme
+\[e_p=∑_{(r,p)=1} \frac{μ(r)}{r} V_r F_r,\] où $μ$ est la fonction
+de Möbius, est bien définie et est un projecteur de $W_{∞|𝐙_{(p)}}$, d'image $W_∞^{(p)}$
+égale à $\displaystyle ⋂_{(r,p)=1 \atop r>1} \Ker F_r$ et de noyau
+le sous-groupe $\displaystyle \widehat{∑}_{(r,p)=1 \atop r>1} \Im V_r$ des
+sommes éventuellement infinies d'éléments dans les images des $V_r$ ($(r,p)=1$,
+$r>1$).
+\item Pour $n$ parcourant l'ensemble des entiers premiers à $p$,
+les endomorphismes $e_{p,n}=\frac{1}{n}V_n e_p F_n$ constituent
+une famille totale de projecteurs orthogonaux de $W_∞$.
+\item Les opérateurs $V_p$ et $F_p$ commutent à $e_p$ et induisent
+des opérateurs sur $W_∞^{(p)}$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\subsubsection{}\label{p-typiques}Les éléments de $W_{∞|𝐙_{(p)}}$ dans $⋂_{(r,p)=1}\Ker
+F_r=W_∞^{(p)}$ sont dit « $p$-typiques »\index{$p$-typique}.
+Il résulte de la proposition précédente que l'étude de la structure du groupe $A[[X]]^×$, où $A$
+est une $𝐙_{(p)}$-algèbre, se ramène à l'étude du groupe
+$W_∞^{(p)}(A)$ des éléments $p$-typiques.
+
+La démonstration qui suit est une conséquence formelle des résultats de la
+proposition \ref{relations V et F} et de l'identité $∑_{d|n} μ(d)=0$ si $n>1$.
+
+\begin{démo}[Démonstration de \ref{construction idempotents de EndWinfini}]
+(i) Le fait que la somme $e_p$ soit bien définie résulte de
+l'inclusion \ref{relations V et F} (v).
+Soit $s>1$ un entier premier à $p$. Calculons $F_s e_p$.
+Par définition et découpage de l'ensemble de sommation, on a :
+\[F_s e_p = ∑_{(r,p)=1} \frac{μ(r)}{r} F_s V_r F_r=
+∑_{(d,p)=1} ∑_{(r,s)=d \atop (r,p)=1}  \frac{μ(r)}{r} F_{s/d} F_d V_d V_{r/d}
+F_r.\]
+En appliquant la formule $F_d V_d=[d]$, on obtient :
+\[ F_s e_p= ∑_{(d,p)=1} ∑_{(r,s)=d \atop (r,p)=1}  \frac{μ(r)}{r/d} F_{s/d} V_{r/d} F_r.\]
+Utilisant la relation de commutation $F_{s/d} V_{r/d}=V_{r/d} F_{s/d}$ (car $r/d$ et $s/d$ sont
+premiers entre eux) et l'identité $F_{s/d} F_r=F_{sr/d}$, on trouve :
+\[ F_s e_p= ∑_{(d,p)=1} ∑_{(r,s)=d \atop (r,p)=1}  \frac{μ(r)}{r/d} V_{r/d} F_{sr/d}.\]
+Enfin, une réécriture de la somme, où l'on pose $t=r/d$, donne
+\[ F_s e_p = ∑_{(t,s)=1 \atop (t,p)=1} \frac{1}{t} V_s F_{st} \big(\underbrace{∑_{u|s}
+μ(tu)}_{=0}\big)=0.\]
+L'endomorphisme $e_p$ s'écrivant $1+e_p ′$ où $e_p ′$ est une somme
+de multiples à gauche de $F_s$ ($s>1$, premier à $p$), on en déduit immédiatement l'égalité
+$e_p²=e_p$ et l'égalité $W_∞^{(p)}=⋂_{(r,p)=1}\Ker F_r$.
+On vérifie comme ci-dessus que, dualement, on a $e_p V_{s}=0$
+pour chaque $s>1$. Il en résulte que $\widehat{∑}_{(r,p)=1 \atop r>1} \Im V_r$ est contenu
+dans le noyau de $e_p$. Réciproquement, le fait que $e ′_p$ soit
+une somme de multiples à droite de $V_s$ ($s>1$, premier à $p$),
+montre que tout élément du noyau est une somme (éventuellement infinie)
+d'élément dans les images des endomorphismes $V_r$.
+(ii) Les égalités $e_{p,n}²=e_{p,n}$ résultent de $\frac{1}{n²}F_n
+V_n=\frac{1}{n}$. Soient $n,m$ deux entiers premiers à $p$ et calculons
+$e_{p,n}e_{p,m}$. Notons $d$ le pgcd de $n$ et $m$ et $n ′ =n/d$ (resp.
+$m ′ =m/d$. On a alors $e_{p,n}e_{p,m}=V_n e_p V_{m ′} F_{n ′} e_p F_m$.
+Or, on a vu que si $n ′>1$, $F_{n ′} e_p$. De même $e_p V_{m ′}=0$ si $m ′ >1$.
+Ainsi, $e_{p,n}e_{p,m}=0$ à moins que $n=m$.
+Pour conclure, il nous faut vérifier que $∑_{(n,p)=1} e_{p,n}=\Id$.
+Or,
+\[ ∑_{(n,p)=1} e_{p,n}=∑_{(n,p)=1 \atop (r,p)=1} \frac{μ(r)}{rn} V_n V_r F_r F_n,\]
+que l'on peut réécrire, compte-tenu des égalités $V_n V_r=V_{nr}$ et $F_r
+F_n=F_{rn}$, sous la forme :
+\[
+∑_{(n,p)=1} e_{p,n}=∑_m \frac{1}{m} V_m F_m \big( ∑_{d|m} μ(d)\big)=\frac{1}{1}V₁ F₁=\Id.
+\]
+(iii) Résulte de \ref{relations V et F} (iv).
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}
+La série formelle $e_p\big((1-X)^{-1}\big)= ∏_{(r,p)=1} (1-X^r)^{-μ(r)/r}$
+est appelée $p$-\emph{exponentielle de Artin-Hasse}\index{exponentielle de
+Artin-Hasse}, ou simplement \emph{exponentielle de Artin-Hasse}. On la note $E_p$.
+\end{définition2}
+
+Cette fonction (ou plutôt son inverse) fut introduite
+par les mathématiciens allemands Emil Artin et Helmut Hasse, en 1928
+dans leur article « Die beiden Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz der
+$ℓ^n$-ten Potenzreste im Körper der $ℓ^n$-ten Einheitswurzeln »\footnote{…\XXX}.
+Il résulte de la formule d'inversion de Möbius,
+$∑_d μ(d)=1$ (resp. $∑_d μ(d)=0$) lorsque $n$ est une puissance de $p$
+(resp. lorsque $n$ n'est pas une puissance de $p$), où $d$ parcourt les diviseurs de
+$n$ premiers à $p$, que l'on a
+\[
+E_p(X)=\exp(∑_{n ∈ p^𝐍} \frac{X^n}{n}) ∈ 𝐙_{(p)}[[X]].
+\]
+
+En particulier, $E_1(X)=\exp(X)$, ce qui justifie la terminologie.
+(Pour $p>1$, la formule ci-dessus se réécrit :
+$E_p(X)=\exp(X+X^p/p+X^{p²}/p²+\cdots\big)$.
+
+On dispose de l'analogue suivant du lemme \ref{bijections entre Wn et An}
+pour les images des idempotents $e_{p,n}$, qui s'applique
+en particulier à $W_∞^{(p)}$.
+
+\begin{proposition2}
+Soient $p$ un nombre premier ou bien égal à un et $n$ un nombre entier premier à $p$.
+Pour toute $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$,
+l'application
+\[A^{p^𝐍} → W_∞(A)\]
+\[(α_r)_{r ∈ p^𝐍} ↦ ∏_{r ∈ p^𝐍} E_p(α_r X^{n ⋅ r})\]
+induit une injection d'image le sous-groupe $e_{p,n}(W_∞)$.
+\end{proposition2}
+
+Utilisant \ref{construction idempotents de EndWinfini} (ii),
+on retrouve le fait (\ref{bijections entre Wn et An} (ii))
+que tout élément de $W_∞(A)$ — où $A$ est une $𝐙_{(p)}$-algèbre — s'écrit de manière unique
+sous la forme $∏_{n ≥ 1} E_p(α_n X^n)$. Le fait nouveau,
+remarquable pour $p>1$, lié au choix de $E_p$ (exponentielle
+de Artin-Hasse), est que les séries formelles de la forme $∏_{r ∈ p^𝐍}
+E_p(α_r X^{n ⋅ r})$ ($n$ fixé) sont stables par produit (la somme $⊕$ dans $W_∞$).
+(Si $p=1$ c'est clair : $E_1(αX^n) E_1(β X^n)=E_1\big((α+β)X^n\big)$.)
+\begin{démo}
+L'injectivité est un cas particulier de \ref{bijections entre Wn et An} (ii).
+
+Cas $n=1$. Soient $α ∈ A$ et $m ≥ 1$. Calculons $e_p(f)$ où $f=1- α X^m$. Si $m$
+n'appartient pas à $p^𝐍$, $f ∈ \Im V_{m ′}$ pour un diviseur $m ′>1$ de $m$
+premier à $p$. En conséquence $e_p(f) ∈ \Im (e_p V_{m ′})=\{0\}$ (notations
+additives) d'après la démonstration de la proposition précédente. Dans le cas
+contraire, $m=p^r$ et $f=V_p^r(1- αX)$ de sorte que $e_p(f)=V_p^r e_p(1-αX)=V_p^r
+E_p(αX)=E_p(αX^{p^r})$. Ceci suffit pour conclure.
+
+Cas $n ≥ 1$. L'image de $e_{p,n}$ est contenu dans $\Im V_n$. Il suffit
+donc de calculer $e_{p,n}(1-α X^{nm})$ pour $m ≥ 1$. On a
+$\frac{1}{n}F_n(1-α X^{nm})=(1-α X^m)$ (cf. \ref{relations V et F}, démonstration
+de (iii)) de sorte que $e_{p,n}((1-α X^{nm})=V_n e_p(1-α X^m)$.
+On s'est ramené au calcul précédent.
+\end{démo}
+
+Il résulte de la proposition que le foncteur $e_{p,1}(W_{∞|𝐙_{(p)}})=W_∞^{(p)}$
+des éléments $p$-typiques est ensemblistement isomorphe au foncteur
+en ensembles $𝐀^𝐍$ lorsque $p>1$ et à $𝐀¹$ lorsque $p=1$.
+
+
+\begin{remarque2}
+Nous verrons ci-après qu'il existe une structure d'anneau sur $W_∞$ vérifiant
+les propriétés suivantes : $(1-X)^{-1}$ est l'unité
+de la multiplication (que nous noterons $\varodot$) ;
+l'application $e_p$ est un endomorphisme de \emph{anneau} $(W_∞, ⊕,\varodot)$
+(restreint aux $𝐙_{(p)}$-algèbres). L'exponentielle de Artin-Hasse
+est donc l'idempotent correspondant
+à $e_p$ : $W_∞^{(p)}=W_{∞|𝐙_{(p)}} \varodot E_p ⊆ W_{∞|𝐙_{(p)}}$.
+\end{remarque2}
+
+\subsubsection{}\label{p-coordonnées de Witt}
+Lorsque $p>1$, on appelle \emph{$p$-coordonnées de Witt}\index{$p$-coordonnées de Witt}
+d'une série formelle $p$-typique $f$ à coefficients
+dans une $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$ les coefficients $(α_{p^r})_r ∈ A^𝐍$ tels que
+\[
+f=∏_{r ≥ 0} E_p(α_{p^r} X^{p^r}).
+\]
+Lorsque $p=1$, on peut également définir la notion de $1$-coordonnée de Witt
+d'une série formelle $1$-typique $f$ : c'est l'unique coefficient
+$α ∈ A$ tel que $f=\exp(aX)$. Notons la formule : $αX=X \frac{f ′}{f}$.
+Lorsque $p>1$, le lien entre les $p$-coordonnées de Witt et la dérivée
+logarithmique est moins transparent. Il fait l'objet du paragraphe
+\ref{composantes fantômes}. Signalons cependant que l'on a constaté
+ci-dessus que chaque $p$-coordonnée est un polynôme universel à coefficients
+dans $𝐙_{(p)}$ en les coefficients de la série $f$.
+
+\subsubsection{}
+
+Fixons un entier $n ∈ 𝐍 $ et $p$ un nombre premier ou égal à un.
+Pour tout entier $i$ premier à $p$ et inférieur ou égal à $n$,
+notons $q_i$ le plus grand entier de $p^𝐍$ tel que $i q_i ≤  n$.
+Il résulte de \ref{bijections entre Wn et An} (ii)
+que pour toute $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$, tout élément
+$f_n ∈ W_n(A)$ s'écrit de manière unique sous la forme
+\[
+f_n= ∏_{i ≤ n \atop (i,p)=1} ∏_{q ∈ p^𝐍 \atop q ≤ q_i} E_p(α_{i,q} X^{i q}),
+\]
+où les $α_{i,q}$ sont obtenus en évaluant
+des polynômes à coefficients dans $𝐙_{(p)}$ en les coefficients (usuels)
+de $f_n$, et où $E_p(α_{i,q} X^{i q})$ désigne abusivement
+son image dans $W_n(A)$. Comme déjà signalé ci-dessus le fait remarquable est que
+pour chaque $i$ l'ensemble des polynômes de la forme $∏_q E_p(α_{i,q} X^{i q})$,
+où $q$ partout l'ensemble des éléments de $p^𝐍$ inférieurs ou égaux à $q_i$,
+est un \emph{sous-groupe} — momentanément noté $W_{n,p,i}$ —  de $W_n(A)$ :
+c'est l'image de $e_{p,i}(W_{∞|𝐙_{(p)}})$ dans le quotient $W_{n|𝐙_{(p)}}$
+de $W_{∞|𝐙_{(p)}}$.
+
+\begin{lemme2}
+La classe d'isomorphisme de $W_{n,p,i}$ ne dépend que de $q_i$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Commençons par observer que l'application de réduction modulo $X^{i q_i +1}$,
+$W_{n,p,i} → W_{i q_i,p,i}$ est un isomorphisme. Elle est clairement
+surjective ; elle est injective par unicité des paramètres $α_{i,q}$.
+Enfin la substitution $X ↦ X^i$ induit un isomorphisme
+$W_{q_i,p,1} ⥲ W_{i q_i,p,i}$.
+\end{démo}
+
+Soit $q$ une puissance de $p$. On note $W_{[q]}$ le groupe
+$W_{q,p,1}$ des séries $p$-typiques tronquées à l'ordre $q$.
+C'est un sous-groupe de $W_{q|𝐙_{(p)}}$. (Notons que
+$W_{[1]}=\Ga$\footnote{Aussi bien dans le cas $1=1^1$ que dans le
+cas $1=p^0$ avec $p>1$.}) Nous sommes maintenant enfin en mesure d'énoncer
+une généralisation de la proposition \ref{Wn en caractéristique nulle}.
+
+\begin{théorème2}[\cite{GACC@Serre}, chap. V, §16]\label{structure Wn sur Z(p)}
+Soient $n ≥ 1$ un entier et $p$ un nombre premier ou égal à un.
+Le foncteur en groupes abéliens $U_{n|𝐙_{(p)}}$, envoyant
+une $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$ sur le groupe des unités de l'anneau $A[X]/X^{n+1}$,
+est isomorphe au produit de $\Gm$ par les $W_{[q_i]}$
+où $i$ parcourt l'ensemble des entiers inférieurs ou égaux à $n$ et premiers à $p$
+et où $q_i$ désigne le plus grand élément de $p^𝐍$ tel que $i q_i ≤  n$.
+\end{théorème2}
+
+Rappelons (\ref{vecteurs Witt et ASW}, introduction) que l'on souhaite comprendre
+la structure des unités des anneaux $A[X]/X^{p^r}$ lorsque $A$ est une
+$𝐅_p$-algèbre. On peut expliciter le théorème précédent
+de la façon suivante.
+
+\begin{corollaire2}\label{structure Un sur Fp}
+Soient $r ≥ 1$ un entier et $p$ un nombre premier.
+Le foncteur envoyant une $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$
+sur le groupe des unités de $A[X]/X^{p^r}$ est isomorphe
+au produit
+\[
+∏_{q|p^{r-1}} \big(W_{[q]|𝐙_{(p)}}\big)^{n_{r,q}} × \Gm,
+\]
+où :
+\begin{enumerate}
+\item le foncteur $W_{[q]|𝐙_{(p)}}$ envoie une $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$
+sur le groupe multiplicatif des éléments $f ∈ A[X]/X^{q+1}$
+de la forme
+\[E_p\big((α₁,α_p, α_{p²},… ,α_q).X):=∏_{q ′ | q} E_p(α_{q ′} X^{q ′ }) \mod
+X^{q+1}\] où les $α_{q ′}$ sont dans $A$ ;
+\item la multiplicité $n_{r,q}$ vaut $p-1$ si $q=p^{r-1}$
+et $\frac{p^r}{q}+\frac{p^{r-2}}{q}$ si $q$ divise strictement $p^{r-1}$.
+\end{enumerate}
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Cela résulte du théorème précédent et du fait
+que le cardinal de l'ensemble des entiers $i$ premiers à $p$
+tels que $\frac{p^{r-1}}{q} ≤ i ≤ \frac{{p^r}}{q}$ est égal
+à $n_{r,q}$.
+\end{démo}
+
+Insistons sur le fait que tout $𝐅_p$-algèbre peut être munie
+d'une structure de $𝐙_{(p)}$-algèbre et ce de manière unique.
+Le champ d'application du corollaire précédent est donc plus vaste
+que nous n'en avons besoin.
+
+\begin{proposition2}
+Il existe des polynômes à coefficients dans $𝐙_{(p)}$
+et tels que $+_W$ définie par $α +_W β = ...$
+satisfasse $E_p(α.X) ⊕ E_p(β.X)=E_p((α +_W β).X)$. \XXX
+\end{proposition2}
+
+[pas nécessaire]
+
+\begin{remarque2}
+En fait les polynômes sont à coefficients dans $𝐙$ (car dans
+$𝐙[1/p]$). \XXX
+\end{remarque2}
+
+
+
+
+\subsection{Exemple : $p$-vecteurs de Witt tronqués à l'ordre deux}\label{exemple W2}
+\subsubsection{}Soit $p>0$ un nombre premier. Calculons le produit de deux polynômes tronqués
+$E_p((α₁,α_p).X)$ et $E_p((β₁,β_p).X)$ dans $W_{[p]}(𝐐[α₁,α_p,β₁,β_p])$.
+Modulo $X^{p+1}$, la série
+\[
+E_p\big((α₁,α_p).X\big)×E_p\big((β₁,β_p).X\big)=\exp\Big((α₁+β₁)X+(α_p+β_p+\frac{α_1^p+β_1^p}{p})X^p
++ \cdots\Big)
+\]
+est congrue à $\exp(γ₁X+\frac{γ_p}{p}X^p+\cdots)$,
+où $γ₁=α₁+β₁$ et $γ_p=α_p+β_p+\frac{α_1^p+β_1^p-(α₁+β₁)^p}{p}$.
+Notons que le terme de droite est un polynôme à coefficients
+\emph{entiers} (donc \emph{a fortiori} dans $𝐙_{(p)}$) en les variables $α₁,α_p,β₁,β_p$.
+La formule précédente décrit la loi de groupe du foncteur $W_{[p]|𝐙_{(p)}}$.
+En réduisant modulo $p$ cette identité, on en déduit que la restriction
+de ce même foncteur aux $𝐅_p$-algèbres
+est isomorphe au foncteur en groupes $A ↦ (A²,⊕_{[p]})$
+où l'addition $⊕_{[p]}$ est définie par la formule :
+\[
+(a,a ′) ⊕_{[p]} (b, b ′)=\big(a+b,a ′ + b ′ - ∑_{i=1}^{p-1}
+\frac{(-1)^i}{i} a^i b^{p-i}\big).
+\]
+Lorsque $a$ est inversible, la seconde coordonnée se réécrit $a ′ + b ′ + a^p
+\log_{<p}(\frac{a+b}{a})$, où
+\[\log_{<p}(x)=-∑_{i=1}^{p-1}\frac{(1-x)^i}{i} \text{ (cf. \ref{explog=identité}).} \]
+On en déduit immédiatement que l'opposé de l'élément $(a,b)$ pour
+l'addition $⊕_{[p]}$ est $(-a,-b-a^p\log_{<p}(0))=(-a,-b)$.
+Le morphisme $F_p$ est $(a, a ′) ↦ (a^p,{a ′}^p)$ et la translation
+par $(1,0)$ est $τ:(a,b) ↦ (a,b) ⊕ (1,0)=(a+1,b+\log_{<p}(a+1))$.
+
+\subsubsection{}
+Comme attendu, on observe que pour chaque $𝐅_p$-algèbre
+$A$, le groupe $W_{[p]}(A)$ est extension du groupe additif $(A,+)$ par
+lui-même : la projection $(a,a ′) ↦ a$ est un morphisme surjectif
+de groupes, de noyau le sous-groupe $\{(0,a ′):a ′ ∈ A\}$ de $(A²,⊕_{[p]})$,
+naturellement isomorphe à $(A,+)$ par le morphisme $a ′ ↦ (0,a ′)$.
+
+\subsubsection{}
+Soient $(a,b)$ deux éléments de $k$ de caractéristique $p>0$
+et soit $Ω$ une clôture séparable de $k$.
+L'équation $℘(x,y)=(a,b)$ en les inconnues $(x,y)$,
+où $℘=F_p \ominus \Id$, est équivalente aux deux équations :
+\[
+℘(x)=a
+\]
+et
+\[
+℘(y)=(-1)^{p+1} x^p \log_{<p}(-\frac{a}{x}) + b.
+\]
+Ces équations ont des solutions dans $Ω$ car elles
+sont séparables. Notons $q_W$ — $W$ pour \emph{Witt} — le terme
+de droite de la seconde équation. C'est un polynôme
+en $x$ de terme constant $b$ de degré visiblement
+inférieur ou égal à $p$. Si le couple $(x_W,y_W) ∈ Ω²$ est une solution de
+ces équations, le couple $τ(x_W,y_W)=(x_W+1,y_W+\log_{<p}(x_W+1))$
+est également solution : cela résulte du fait
+que $℘$ est additif, de noyau contenant $(1,0)$.
+Ceci se traduit par l'égalité dans $Ω$
+\[
+℘\big(\log_{<p}(x_W+1))=q_W(x_W+1)-q_W(x_W),
+\]
+ou encore, dans $k[x]$,
+\[
+∑_{i=1}^{p-1} \frac{(-1)^{i+1}}{i} ⋅ \big((x+a)^i-x^i\big)
+= Δ \Big( (-1)^{p} ∑_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i} x^{p-i}(x+a)^i  \Big)
+\]
+% p=13
+% R.<x,a>=GF(p)['x','a']
+% q = (-1)^(p)*sum([x^(p-k) * (x+a)^k / k for k in range(1,p)])
+% Dq=q.subs({x:x+1})-q
+% plog = sum([((x+a)^k-x^k) * (-1)^(k+1) / k for k in range(1,p)])
+qu'il serait laborieux de vérifier par un calcul direct.
+(On note $Δ:k[x] → k[x]$ l'opérateur $P(x) ↦ P(x+1)-P(x)$.)
+Le terme dominant du polynôme de gauche est visiblement
+$(-1)^p a x^{p-2}=-a x^{p-2}$. Il en résulte que
+$q_W$ est un polynôme de degré $p-1$ de coefficient
+dominant $a$. En recopiant la démonstration du
+théorème \ref{AS Z sur p carré}, on vérifierait
+les faits suivants :
+
+— le polynôme $∏_{ζ ∈ 𝐅_p} \big(Y^p-Y-q_W(x+ζ)\big)$ est irréductible
+sur $k$ ;
+
+— l'extension $k(℘^{-1}(a,b)\bo k)$ est galoisienne
+de groupe cyclique d'ordre $p²$,
+engendré par l'automorphisme $y_W ↦ y_W + \log_{<p}(x_W+1)=
+y_W+x^{p-1}+t(x)$ où $x_W$ et $y_W$ sont comme ci-dessus, $y_W$
+étant nécessairement un élément primitif de l'extension,
+et $t$ est un polynôme de degré strictement inférieur
+à $p-1$ ;
+
+— si $u ∈ k[x]$ satisfait $Δu=t$, $y_{AS}:=y_W+u(x)$
+est racine d'une équation $℘(y_{AS})=q_{AS}(x)$, où
+$q_{AS}$ est comme en \ref{AS Z sur p carré}. Et réciproquement.
+
+On constate donc que l'équation d'Artin-Schreier $℘(x,y)=(a,b)$
+permet de décrire toutes les équations de degré $p²$
+d'un corps de caractéristique $p>0$.
+Nous allons voir dans la section suivante que ceci
+est un fait général dont il est possible
+de donner une démonstration conceptuelle.
+
+\begin{exercice2}
+Montrer que pour chaque nombre premier $p$,
+le groupe $W_{[p]}(𝐅_p)$ est isomorphe à $𝐙/p²$.
+\end{exercice2}
+
+\subsection{Vecteurs de Witt tronqués à coefficients dans une $𝐅_p$-algèbre}
+
+Dans ce paragraphe et le suivant, on fixe un nombre premier $p>0$,
+$r ≥ 0$ un entier et $q=p^r$ une puissance de $p$.
+On note $W$ la restriction du foncteur $W_{[q]}$ aux $𝐅_p$-algèbres.
+
+\subsubsection{}Les endomorphismes $F_p$ et $V_p$ de $W_∞^{(p)}$
+induisent des endomorphismes de $W$ \XXX. Si
+$f ∈ W(A)$ a pour coordonnées de Witt $α=(α₁,α_p, …,α_q)$
+— c'est-à-dire si $f$ est représenté par la série $E_p(α.X)$ —
+les coordonnées de $F_p(f)$ (resp. $V_p(f)$) sont $\Frob_p(α)=(α_1^p,α_p^p, …,α_q^p)$
+(resp. $v_p(α)=(0,α₁,α_p, …,α_{q/p})$).
+
+
+\begin{proposition2}\label{calcul W(Fp)}
+Le groupe $W(𝐅_p)$ est isomorphe au groupe cyclique $𝐙/p^{r+1}$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Le groupe $W(𝐅_p)$ est de cardinal $pq=p^{r+1}$. Pour
+montrer qu'il est cyclique, il suffit
+de démontrer que la classe de $E_p(X)$ dans
+$W(𝐅_p)$ n'est pas de $q$-torsion.
+Or, la série $E_p(X)^q=E_p(X^q)$ est non triviale
+modulo $X^{q+1}$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}Soit $K$ une $𝐅_p$-algèbre.
+Le noyau de l'endomorphisme $℘_W=F_p \ominus \Id$ de $W(K)$
+est l'ensemble des éléments de coordonnées de Witt
+$α ∈ K^{r+1}$ satisfaisant l'équation $\Frob_p(α)=α$ (cf. \emph{supra}).
+Il contient donc le sous-groupe $W(𝐅_p)≃𝐙/p^{r+1}$
+car $\Frob_p$ agit trivialement sur $𝐅_p$.
+Réciproquement, si $K$ est intègre,
+$\Ker\,℘_W(K)=W(𝐅_p)$ car les seules racines dans $K$ de l'équation $X^p=X$
+sont les éléments du sous-corps $𝐅_p$ de $K$.
+Nous avons démontré la première moitié de la proposition suivante.
+
+\begin{proposition2}\label{noyau p-Weierstrass-Witt}
+Soit $K$ une $𝐅_p$-algèbre.
+\begin{enumerate}
+\item Si $K$ est intègre, le noyau $\Ker\,℘_W(K)$ de $℘_W:W(K) → W(K)$ est le sous-groupe
+cyclique $W(𝐅_p)$ de $W(K)$.
+\item Le foncteur
+$A ↦ \Ker\,℘_W(A)$ est représentable
+par une $K$-algèbre diagonale de rang $p^{r+1}$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+(ii) Le foncteur $ \Ker\,℘_W$ est isomorphe
+au foncteur $A ↦ \Hom_{K\traitdunion\Alg}(K[X]/(X^p-X),A)^{r+1}$
+Ce dernier est représentable par la $K$-algèbre
+diagonale $K[X]/(X^p-X)^{r+1} ≃ (K^p)^{r+1}$.
+(Il résulte de cet argument, que la conclusion
+de (i) est également valable sous la seule
+hypothèse que $A$ est \emph{connexe},
+cf. \refext{Spec}{produit=somme}.)
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}Nous allons maintenant considérer l'image de $℘_W$.
+Auparavant, introduisons quelques notations.
+Comme on l'a vu, le foncteur $W$ est (ensemblistement)
+représentable par la $𝐅_p$-algèbre $M=𝐅_p[X_{q ′|q}]$,
+la bijection étant donnée par les coordonnées de Witt :
+à $f ∈ W(K)$ de coordonnées de Witt $(α₁, …,α_q)$
+on associe le morphisme $φ_f:M → K$ envoyant $X_{q ′}$
+sur $α_{q ′}$. D'autre part, il résulte du lemme de Yoneda
+(\refext{Cat}{lemme-de-yoneda}) que l'endomorphisme $℘_W$ du foncteur $W → W$
+correspond à un endomorphisme $℘^M$ de l'algèbre $M$.
+Soient $f ∈ W(K)$ et $A$ une $K$-algèbre. La fibre $℘_W^{-1}(f)(A)$ du morphisme
+$℘_W:W(A) → W(A)$ au-dessus de l'image de $f$ dans $W(A)$ est naturellement
+en bijection avec l'ensemble des $A$-points
+de la $K$-algèbre $M(f):=M ⊗_{℘^M,M,φ_f} K$ (\refext{Tens}{}). En d'autres termes,
+le foncteur $A ↦ ℘_W^{-1}(f)(A)$ est représentable
+par la $K$-algèbre $M(f)$.
+
+\begin{proposition2}\label{séparabilité p-Weierstrass-Witt}
+Soit $K$ un \emph{corps} de caractéristique $p>0$.
+Pour tout $f ∈ W(K)$ la $K$-algèbre $M(f)$ est \emph{étale}
+de rang $p^{r+1}$. En particulier, si $K$ est séparablement
+clos, le morphisme $℘_W:W(K) → W(K)$ est \emph{surjectif}.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Commençons par montrer la surjectivité de $℘_W:W(K) → W(K)$ lorsque $K$
+est séparablement clos. Il suffit de démontrer la surjectivité du morphisme
+$F_p \ominus \Id : W_∞(K) → W_∞(K)$ sous cette hypothèse ; l'énoncé désiré
+s'en déduisant par passage au quotient \XXX.
+Par récurrence et d'après \ref{bijections entre Wn et An},
+il suffit de démontrer que pour chaque $α ∈ K$ et chaque entier $i ≥ 1$,
+il existe $β ∈ K$ tel que le quotient $(1-α X^i)/℘(1-β X^i)$
+appartienne à $\mathrm{Fil}^{i+1}W_∞(K)$. Cela résulte
+de l'égalité
+\[
+\frac{(1-α X^i)(1-β X^i)}{1-β^p X^i}=1+(β^p-β-α)X^i+ \cdots.
+\]
+On observera que les coefficients $β$ sont obtenus par résolutions
+successives d'équations d'Artin-Schreier.
+
+Soit maintenant $f ∈ W(K)$, où $K$ n'est plus supposé
+séparablement clos. Soit $Ω$ une clôture séparable de $K$
+et soit $f_Ω$ l'image de $f$ dans le sur-groupe $W(Ω)$ de $W(K)$.
+Les $Ω$-algèbres $M(f_Ω)$ et $M(f) ⊗_K Ω$ sont canoniquement
+isomorphes. Le caractère étale d'une algèbre sur un corps
+se testant après extension algébrique séparable, et
+le rang étant invariant par une telle extension,
+on peut supposer $K$ séparablement clos.
+D'après ce qui précède, il existe alors un
+élément $g ∈ W(K)$ tel que $℘(g)=f$. La translation $t_g:W → W$, $x ↦ x + g$,
+induit un isomorphisme de foncteurs entre $℘^{-1}(0)$ et $℘^{-1}(f)$
+d'où un $K$-isomorphisme entre $M(0)$ et $M(f)$. La conclusion
+résulte de la proposition \ref{noyau p-Weierstrass-Witt}.
+\end{démo}
+
+Plus généralement, on peut démontrer la proposition suivante.
+
+\begin{proposition2}\label{revêtement ASW}
+L'extension $M_{[q]} → M_{[q]}$ définie par $℘^{M_{[q]}}$ est
+\emph{galoisienne de groupe $W_{[q]}(𝐅_p)$}.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\begin{exercice2}
+Pour tout $r+1$-uplet $α$ de $𝐅_p^{r+1}$, notons $\gtilde{α}$
+l'unique relèvement de $α$ dans $[0,p-1]^{r+1} ⊆ 𝐙^{r+1}$.
+Montrer que l'application $W(𝐅_p) → 𝐙/p^{r+1}$,
+$E_p(α.X) ↦ ∑_{i=0}^{r} \gtilde{α_{p^i}}p^i \mod p^{r+1}$, est un isomorphisme de groupes.
+\XXX % pas clair
+\end{exercice2}
+
+\subsection{Extensions galoisiennes de groupe $𝐙/p^{r+1}$}
+
+\begin{théorème2}\label{ASW}
+Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$,
+$r ≥ 0$ un entier et $q=p^r$ la puissance de $p$
+correspondante. Soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+\begin{enumerate}
+\item Pour toute extension galoisienne $K\bo k$ de groupe
+cyclique d'ordre $p^{r+1}$, il existe un
+élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ tel que
+$K$ soit $k$-isomorphe au plus petit sous-corps
+$k(\sqrt[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les
+solutions de l'équation $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ appartiennent
+à $W_{[q]}(k(\sqrt[℘]{f}))$.
+\item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(\sqrt[℘]{f}) \bo k$
+est galoisienne cyclique d'ordre divisant $p^{r+1}$
+avec égalité si et seulement si le premier coefficient
+de Witt de $f$ n'appartient pas à $℘(k)$. D'autre
+part, $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré
+par les coefficients de Witt d'un élément
+quelconque $g$ de $W_{[q]}(Ω)$ satisfaisant l'équation $℘(g)=f$.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+\subsubsection{Démonstration de \ref{ASW} (ii)}
+
+Soit $f$ comme dans l'énoncé. Notons $k\sep$ la clôture
+séparable de $k$ dans $Ω$. D'après \ref{séparabilité p-Weierstrass-Witt},
+il existe $g₀ ∈ ℘^{-1}(f)(k\sep)$. Pour chaque $ζ ∈ W_{[q]}(𝐅_p)$,
+posons $g_ζ:=g₀ ⊕ ζ ∈ W_{[q]}(k\sep)$. D'après \ref{noyau p-Weierstrass-Witt},
+les solutions de $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ sont les $(g_ζ)_ζ$.
+(Ici, comme dans l'énoncé, on note abusivement $f$ l'image
+de l'élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ par l'injection canonique
+$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps
+de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt de $g₀$ (par exemple)
+et d'autre part que le corps $k(\sqrt[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ :
+l'extension $k(\sqrt[℘]{f})\bo k$ est donc
+algébrique \emph{séparable}. Montrons qu'elle est \emph{normale}.
+Soit $σ : Ω → Ω$ un $k$-automorphisme. En appliquant
+$σ$ à l'égalité $℘(g₀)=f$ on obtient, par commutation
+évidente de $σ$ avec $℘$, l'égalité $℘\big(σ (g₀)\big)=f$
+d'où $σ (g₀)=g_{ζ_σ}$ pour un unique $ζ_σ ∈ W(𝐅_p)$.
+Il en résulte que $σ (g_ζ)=g_ζ ⊕ ζ_σ$ pour tout $ζ$ car $σ$ commute
+à l'addition dans les vecteurs de Witt tronqués et
+agit trivialement sur $W_{[q]}(𝐅_p)$.
+Ainsi, $σ$ préserve $K=k(\sqrt[℘]{f})$, de sorte
+que l'extension $K \bo k$ est galoisienne,
+et $σ ∈ G=\Gal(K\bo k) ↦ ζ_σ ∈ W_{[q]}(𝐅_p)$
+est une injection. D'après \ref{calcul W(Fp)},
+$G$ est donc cyclique de cardinal divisant $p^{r+1}$.
+
+Soit $f ′$ (resp. $g₀ ′$) l'image de $f$ (resp. $g₀$) dans $W_{[1]}(k) = k$
+($W_{[1]}(K) = K$) par la surjection canonique $W_{[q]} ↠W_{[1]}$.
+Le morphisme $℘$ commute à cette projection de sorte que
+$℘_{W_{[1]}}(g₀ ′)=f ′ $. Le corps $K$ contient donc le sous-corps
+$K ′ =k(\sqrt[℘]{f ′})$, galoisien sur $k$. D'autre part,
+l'action d'un élément $σ ∈ G$ sur $K ′$ se factorise
+à travers le quotient $W_{[q]}(𝐅_p) ↠ W_{[1]}(𝐅_p)=𝐅_p$ :
+la réduction de l'égalité $σ(g₀)= g₀ ⊕_{W_{[q]}(K)} ζ_σ$
+dans $W_{[1]}(K)$ se réécrit : $σ(g ′₀)=g ′₀ + ζ_σ ′$
+où $ζ_σ ′$ est l'image de $ζ_σ$ dans $𝐅_p$.
+Ainsi, l'image de $G$ dans l'unique quotient
+d'ordre $p$ de $W_{[q]}(𝐅_p) ≃ 𝐙/p^{r+1}$
+coïncide avec l'image du groupe de Galois de l'extension
+d'Artin-Schreier $K ′ \bo k$. Ce groupe est trivial
+si et seulement si $f ′ ∈ ℘(k)$, cf. \ref{extension AS est de groupe Z
+sur p}. On achève la démonstration
+en observant qu'un sous-groupe de $𝐙/p^{r+1}$ est strict
+si et seulement si son image dans $𝐙/p$ est triviale.
+
+\subsubsection{Première démonstration de \ref{ASW} (i) : méthode verselle}
+
+Nous allons utiliser la même méthode qu'en \refext{Versel}{AS via
+groupes algébriques}, qui repose de façon cruciale sur
+\emph{op. cit.}, \ref{base normale géométrique}
+et la proposition \ref{noyau p-Weierstrass-Witt} ci-dessus.
+Notons respectivement $E_{[q]}$ et $B_{[q]}$ les $𝐅_p$-algèbres
+$E(𝐙/p^{r+1})$ et $B(𝐙/p^{r+1})$ de \refext{Versel}{notations base
+normale géométrique}. Soit $K\bo k$ une extension galoisienne
+de groupe cyclique d'ordre $p^{r+1}$. D'après
+\refext{Versel}{base normale géométrique}, il existe un $k$-morphisme
+$B_{[q]} → k$ tel que $K$ soit $k$-isomorphe au produit tensoriel
+$E_{[q]} ⊗_{B_{[q]}} k$. Comme on l'a vu, cela est équivalent
+à l'existence (\emph{a priori} plus faible) d'un carré
+commutatif
+
+\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto]
+ \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]
+{ K \pgfmatrixnextcell E_{[q]} \\ k \pgfmatrixnextcell B_{[q]}\\};
+ \draw[<-] (diag-1-1) --  (diag-2-1);
+ \draw[<-] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+ \draw[<-] (diag-1-1) --  (diag-1-2);
+ \draw[<-] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
+
+Il résulte de \refext{Versel}{unités algèbre
+de groupe et EG} et du fait que l'on est en caractéristique $p>0$
+que l'algèbre $E_{[q]}$ représente le foncteur $A ↦
+(A[X]/X^{p^{r+1}})^×$, l'action naturelle de $𝐙/p^{r+1}$
+sur $E_{[q]}$ correspondant à la multiplication par $1+X$.
+D'après \ref{structure Un sur Fp}, $E_{[q]}^{\japmath{田}}$
+se surjecte sur le foncteur $W_{[q]}$ par \XXX.
+
+Admettons un instant qu'il existe un morphisme
+$B_{[q]}^{\japmath{田}} → W_{[q]}$ faisant commuter
+le diagramme ci-dessous.
+
+\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto]
+ \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]
+{ E_{[q]}^{\japmath{田}} \pgfmatrixnextcell W_{[q]} \\ B_{[q]}^{\japmath{田}} \pgfmatrixnextcell W_{[q]}\\};
+ \draw[->] (diag-1-1) --  (diag-2-1);
+ \draw[->] (diag-1-2) -- node{$℘_{W_{[q]}}$} (diag-2-2);
+ \draw[->>] (diag-1-1) --  (diag-1-2);
+ \draw[->,dotted] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
+
+En retournant les flèches — c'est-à-dire en passant aux $𝐅_p$-algèbres
+représentant ces foncteurs — et en recollant ce diagramme avec le
+précédent, on en déduit l'existence d'un carré commutatif :
+
+\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto]
+ \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]
+{ K \pgfmatrixnextcell M_{[q]} \\ k \pgfmatrixnextcell M_{[q]}\\};
+ \draw[<-] (diag-1-1) --  (diag-2-1);
+ \draw[<-] (diag-1-2) -- node{$℘^{M_{[q]}}$} (diag-2-2);
+ \draw[<-] (diag-1-1) --  (diag-1-2);
+ \draw[<-] (diag-2-1) -- node{$f$} (diag-2-2);
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
+
+On en déduit un morphisme de $k$-algèbres $M(f) →
+K$ ; d'après \ref{revêtement ASW} et \refext{Versel}{Gal-G est un
+groupoide} le morphisme $M(f) → K$ est un isomorphisme.
+
+\begin{proposition2}
+On a $F_p(E_p(-X)f)=E_p(-X)F_p(f)$ et la multiplication
+par $E_p(-X)$ correspond à l'action d'un générateur
+de $𝐙/p^r$ sur $E(𝐙/p^r)$. En conséquence, on a
+un carré commutatif avec $B(𝐙/p^r) → E(𝐙/p^r)$ (morphisme
+canonique) et $℘=F_p \ominus \Id : W_{[q]} → W_{[q]}$.
+\end{proposition2}
+
+\subsubsection{Seconde démonstration de \ref{ASW} (i) : méthode cohomologique}
+
+
+\subsection{Composantes fantômes, structure d'anneau}\label{composantes fantômes}
+
+\subsubsection{}Bien que l'exponentielle d'une série formelle $f ∈ W_∞(A)$ ne
+soit pas définie en général — à cause des divisions par $n!$ —, on peut malgré
+tout considérer sa dérivée logarithmique  On appelle \emph{morphisme fantôme} le morphisme
+\[\japmath{鬼}: W_∞ → \Ga^∞\]
+\[f ↦ X \frac{f ′}{f}.\]
+
+\begin{proposition2}
+morphisme ; injectif si sans $𝐙$-torsion, bijectif si $𝐐$-algèbre. Si
+$𝐙_{(p)}$-algèbre $e_p$ « correspond » à $(a₁,a₂, …) ↦ (a_1,0, …,a_p,0,
+…,a_{p²}, …)$.
+\[\japmath{鬼}\big(∏(1-α_i t^i)\big)=\big(∑_{d|n} d α_{n/d}\big).\]
+\end{proposition2}
+
+\subsection{Algèbres simples-centrales de degré $p^r$}
+
+\XXX
+
+\begin{center}
+Note bibliographique % cf. Serre, « Groupes algébriques et corps de classe »
+\end{center}
+
+Références : Serre, Groupes algébriques et corps de classe (chap. V,
+§14--16) ; Demazure, Lectures on $p$-divisible groups (chap. III) ;
+Hazewinkel, Witt vectors (Handbook of algebra, vol. 6) ;
+Witt, Vektorkalkül und Endomorphismen der Einspotenzreihengruppe (Œuvres, № 24),
+Bourbaki, Algèbre commutative (exercices), et surtout :
+S. Bloch, Algebraic K-theory and crystalline cohomology (PMIHÉS 47).
+Pour des vecteurs de Witt non-commutatifs, cf. Goerss, Lannes et Morel,
+« Vecteurs de Witt non commutatifs et représentabilité de l'homologie modulo $p$ »
+
+Voir aussi les articles de Witt, très bien écrits.
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi
+
+