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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 01:31:15 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 01:31:15 (GMT)
commit6be2006f9c4d5e046d79e6de5842ba02c221111f (patch)
treea1d0fca1c2241a3c342000f6af785adabeef13a5 /chapitres/RT.tex
parente99d66ac2440eadfdeca236778414ed30661e685 (diff)
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galois-6be2006f9c4d5e046d79e6de5842ba02c221111f.tar.gz
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-rw-r--r--chapitres/RT.tex48
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diff --git a/chapitres/RT.tex b/chapitres/RT.tex
index 02484b5..0959b50 100644
--- a/chapitres/RT.tex
+++ b/chapitres/RT.tex
@@ -1,33 +1,13 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-%\usepackage{makeidx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-%\usepackage{pxfonts}
-
-\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Extensions radicielles et transcendantes}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{KAS}
-%\makeindex
-
-\title{Extensions radicielles et transcendantes}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -169,7 +149,7 @@ et la proposition \ref{union-entiers=entier} ci-dessous.
(ii) Cela résulte de \ref{chapitre produit tensoriel}.
\end{démo}
- \begin{proposition}\label{union-entiers=entier}
+ \begin{proposition2}\label{union-entiers=entier}
Soient $A$ un anneau, $(A_i)_{i∈I}$ une famille de sous-anneaux telle que
$A=⋃_{i∈I} A_i$ et $B$ une $A$-algèbre telle que $B=⋃_{i∈I}B_i$
où chaque $B_i$ est une sous-$A_i$-algèbre \emph{entière} de $B$.
@@ -178,7 +158,7 @@ $(B_i,π'_{ij})_{i∈I}$ sont des systèmes inductifs d'anneaux, et $(f_i)_{i∈
morphisme entre ces deux systèmes tel que chaque $f_i$ soit \emph{entier}, le
morphisme $f=\colim_{i∈I} f_i:\colim_{i∈I} A_i→ \colim_{i∈I} B_i$ qui s'en déduit est également
entier.
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
Observons que ce résultat généralise \refext{AC}{pdt-tens-entiers}.
@@ -220,7 +200,7 @@ composé $B→B'→B$ est l'identité. Le morphisme $B'→B$ est donc surjectif.
\begin{lemme2}\label{sorites-compose-generique}
\begin{enumerate}
-\item Une famille d'extensions est linéairement disjointe \ssi toute
+\item Une famille d'extensions est linéairement disjointe si et seulement si toute
sous-famille finie est linéairement disjointe.
\item L'extension composée générique d'une famille d'extensions linéairement disjointes
est la réunion filtrante des extensions composées génériques de ses sous-familles finies.
@@ -243,7 +223,7 @@ est également injectif. Si $A'$ est intègre, $A$ l'est aussi.
\begin{lemme2}\label{produit-tens-infini=corps}
Soient $k$ un corps et $(k_i\bo k)_{i∈I}$ une famille d'extensions \emph{algébriques}.
-Elle est linéairement disjointe \ssi le produit tensoriel
+Elle est linéairement disjointe si et seulement si le produit tensoriel
$⨂_{i∈I,\,\bo k}\, k_i$ est un \emph{corps}.
\end{lemme2}
@@ -369,7 +349,7 @@ nous donne un isomorphisme $G_{L\bo K}→∏G_{L_i\bo K_i}$, dont on vérifie
sans peine que c'est celui de l'énoncé du théorème.
\end{démo}
-\begin{lemme3}\label{frac-preserve-integrite}
+\begin{lemme2}\label{frac-preserve-integrite}
Soient $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$ et $B$ une $A$-algèbre
intègre.
\begin{enumerate}
@@ -377,7 +357,7 @@ intègre.
\item Si $A→B$ est entier et plat, l'application canonique $B→B_K$ est l'inclusion de
$B$ dans son corps des fractions.
\end{enumerate}
-\end{lemme3}
+\end{lemme2}
\begin{démo}
(i) Cf. \ref{corollaire localisation}.
@@ -412,12 +392,12 @@ galoisienne de groupe $G$.
Soient $G=\prlim_{i∈I} G_i$ et $k$ comme dans l'énoncé.
Puisque $G$ est naturellement un fermé du produit $∏_i G_i$, il résulte
immédiatement de la théorie de Galois infinie que l'on peut supposer $G=∏_i G_i$.
-D'autre part, chaque $G_i$ est un sous-groupe d'un groupe symétrique $\got{S}_{n_i}$ (prendre
+D'autre part, chaque $G_i$ est un sous-groupe d'un groupe symétrique $\mathfrak{S}_{n_i}$ (prendre
$n_i=\# G_i$) donc il suffit de démontrer le théorème pour un groupe
-$G=∏_{i∈I} \got{S}_{n_i}$. Considérons $K_i=k(X_i,1≤i≤n_i)$ le corps
+$G=∏_{i∈I} \mathfrak{S}_{n_i}$. Considérons $K_i=k(X_i,1≤i≤n_i)$ le corps
des fractions rationnelles en $n_i$ indéterminées et
-$k_i=\Fix_{\got{S}_{n_i}}(K_i)$ (action par permutation des variables).
-L'extension $K_i\bo k_i$ est galoisienne de groupe $\got{S}_{n_i}$
+$k_i=\Fix_{\mathfrak{S}_{n_i}}(K_i)$ (action par permutation des variables).
+L'extension $K_i\bo k_i$ est galoisienne de groupe $\mathfrak{S}_{n_i}$
(\ref{exemple-galois-equation-generique}). D'autre part,
d'après \ref{transcendantes-pures=lin-disjointes}, les extensions $K_i$ sont
linéairement disjointes sur $k$ de sorte que l'on peut appliquer