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path: root/chapitres/algo-corps-finis.tex
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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-17 16:04:20 (GMT)
committerFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-17 16:04:20 (GMT)
commit3a6bd6d06f37bd0b692c17e2cd120d656d24a2a6 (patch)
tree5d25afefab250ec8b0d60468267e3284269597c3 /chapitres/algo-corps-finis.tex
parente41265afa98c97180bd87d5d68110cb4cabf3579 (diff)
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[ACF] mini-variante démonstration formule complémentaire
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-rw-r--r--chapitres/algo-corps-finis.tex7
1 files changed, 7 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/algo-corps-finis.tex b/chapitres/algo-corps-finis.tex
index ada5e20..2ce817e 100644
--- a/chapitres/algo-corps-finis.tex
+++ b/chapitres/algo-corps-finis.tex
@@ -797,6 +797,13 @@ En écrivant $G^{p-1} = (G^2)^{(p-1)/2}$, on a donc prouvé
$(-1)^{(p^2-1)/8} = 8^{(p-1)/2} = \Legendre{8}{p} = \Legendre{2}{p}$ ;
cette égalité entre éléments de $\{\pm 1\}$ a lieu dans $\FF_{p^r}$
donc dans $\ZZ$ : c'est ce qu'on voulait prouver.
+
+Signalons la variante suivante. L'élément $ζ+ζ_{-1}$ est,
+dans $𝐅_{p^r}$ une racine carré de $2$ car
+$(ζ+ζ_{-1})²=2+ζ²+{ζ²}^{-1}=2$. Il en résulte que $2$ est un carré
+dans $𝐅_p$ si et seulement si $ζ^p+ζ^{-p}=ζ+ζ^{-1}$. Cette condition
+ne dépend que de $±p$ modulo $8$ et on vérifie immédiatement quelles
+sont les valeurs pour lesquelles elle est satisfaite.
\end{proof}
\begin{remarque2}