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path: root/chapitres/algo-corps-finis.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-07 17:47:51 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-07 17:47:51 (GMT)
commit52bdab0c0d5c13276f650f3c9a8bafc6fdae1ca8 (patch)
tree9078655752751ff3099a228fb71fa37acdc0a80a /chapitres/algo-corps-finis.tex
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index dc4d92f..88bcfaf 100644
--- a/chapitres/algo-corps-finis.tex
+++ b/chapitres/algo-corps-finis.tex
@@ -792,7 +792,7 @@ et $\FF_q[X]/(h_2)$ sont isomorphes (à $\FF_{q^r}$)
d'après \ref{existence-et-unicite-corps finis} : on souhaite cependant
parfois relier explicitement ces deux représentations de $\FF_{q^r}$,
c'est-à-dire, trouver explicitement un isomorphisme
-$\FF_q[X]/(h_1) \buildrel\sim\over\to \FF_q[X]/(h_2)$.
+$\FF_q[X]/(h_1) \simto \FF_q[X]/(h_2)$.
L'algorithme que nous avons vu permet de répondre à cette demande. En
effet, considérons le problème de factoriser $h_1$ dans $\FF_{q^r}$ vu
@@ -804,7 +804,7 @@ s'obtenant, de toute façon, par applications successives de $\Frob_q$
à $\theta$) : l'algorithme de Cantor-Zassenhaus, éventuellement adapté
pour chercher à casser toujours le facteur de plus petit degré, permet
de trouver un tel $\theta$. Un isomorphisme
-$\FF_q[X]/(h_1) \buildrel\sim\over\to \FF_q[X]/(h_2)$ est alors fourni
+$\FF_q[X]/(h_1) \simto \FF_q[X]/(h_2)$ est alors fourni
par $a \mapsto a(\theta)$ (où $a(\theta)$ désigne l'évaluation en
$\theta$ de n'importe quel représentant dans $\FF_q[X]$ de
$a \in \FF_q[X]/(h_1)$).
@@ -913,8 +913,8 @@ Soit $g \in \FF_q[X]$ unitaire sans facteur carré. Alors :
est égale au nombre de facteurs unitaires irréductibles de $g$, et si
$h_1,\ldots,h_s$ sont ces facteurs irréductibles alors l'isomorphisme
chinois
-$\psi \colon \FF_q[X]/(g) \buildrel\sim\over\to \FF_q[X]/(h_1) \times \cdots \times \FF_q[X]/(h_s)$
-se restreint en un isomorphisme $B_g \buildrel\sim\over\to (\FF_q)^s$,
+$\psi \colon \FF_q[X]/(g) \simto \FF_q[X]/(h_1) \times \cdots \times \FF_q[X]/(h_s)$
+se restreint en un isomorphisme $B_g \simto (\FF_q)^s$,
\item de plus, pour tout $y \in B_g$, on a $g
= \prod_{c\in\FF_q} \pgcd(g, y-c)$.
\end{itemize}
@@ -923,7 +923,7 @@ se restreint en un isomorphisme $B_g \buildrel\sim\over\to (\FF_q)^s$,
Soit $g = h_1\cdots h_s$ la décomposition en facteurs irréductibles
de $g$. Alors le théorème chinois assure l'existence d'un
isomorphisme
-$\psi \colon \FF_q[X]/(g) \buildrel\sim\over\to \FF_q[X]/(h_1) \times \cdots \times \FF_q[X]/(h_s)$,
+$\psi \colon \FF_q[X]/(g) \simto \FF_q[X]/(h_1) \times \cdots \times \FF_q[X]/(h_s)$,
chacun des facteurs du membre de droite étant un corps $\FF_{q^{\deg
h_i}}$ puisque $h_i$ est irréductible.
D'après \refext{Fin}{petit-theoreme-fermat} et \refext{Fin}{unicite-corps-q-elements-pour-inclusion},
@@ -948,7 +948,7 @@ B_g$ (avec $c_i \in \FF_q$) et on calcule les $\pgcd(g, y-c)$ pour les
différents $c \in \FF_q$ : ceci fournira une factorisation non
triviale de $y$ dès que les composantes de $\psi(y)$ ne sont pas
toutes égales (où $\psi$ est l'isomorphisme $\psi \colon
-B_g \buildrel\sim\over\to (\FF_q)^s$ déduit de l'isomorphisme
+B_g \simto (\FF_q)^s$ déduit de l'isomorphisme
chinois), ce qui se produit pour $q^s - q$ des $q^s$ éléments $y$
de $B_g$.