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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-11-22 17:56:24 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-11-22 17:56:24 +0100 |
commit | 16a91cde5f6fbfb6f65969c1c011735a52d4e104 (patch) | |
tree | b8a7c2e326a853fd136e41a36b58200ea5cfdb92 /chapitres/bases-groebner.tex | |
parent | fb6a8632bdff8253e59269afbb8127fddcb178f8 (diff) | |
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-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 19 |
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index ba38aba..365763a 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1435,13 +1435,18 @@ relèvement quelconque de $x$ à $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, étant évident que $\tilde I$ ne dépend pas de ce choix). On calcule la base de Gröbner réduite $\tilde B$ de $\tilde I$ pour un ordre monomial $\preceq$ quelconque qui ordonne $Y$ après n'importe quel monôme en -$Z_1,\ldots,Z_d$ : cette base est de la forme $B \cup C$ où $B$ est la -base de Gröbner réduite de $I$ (pour le même ordre monomial, -c'est-à-dire, pour sa restriction aux monômes en $Z_1,\ldots,Z_d$) et -$C$ est formé de polynômes de degré partiel en $Y$ valant exactement -$1$. L'élément $x$ est inversible si et seulement si $C$ est réduit à -un unique polynôme $Y - g$ avec $g \in k[Z_1,\ldots,Z_d]$, et lorsque -c'est le cas, la classe de $g$ modulo $I$ est l'inverse recherché. +$Z_1,\ldots,Z_d$ : cette base est de la forme $B' \cup C$ où $B'$ est +la base de Gröbner réduite de $I' = \tilde I \cap k[Z_1,\ldots,Z_d]$ +(pour le même ordre monomial, c'est-à-dire, pour sa restriction aux +monômes en $Z_1,\ldots,Z_d$) et $C$ est formé de polynômes dont le +degré partiel en $Y$ vaut exactement $1$. L'élément $x$ est +inversible si et seulement si $I' = I$ (ce qui se teste en vérifiant +que les bases de Gröbner réduites coïncident) et que $C$ est (soit +vide, soit) réduit à un unique polynôme et que celui-ci est de la +forme $Y - g$ avec $g \in k[Z_1,\ldots,Z_d]$ ; et lorsque c'est le +cas, la classe de $g$ modulo $I$ est l'inverse recherché (quant au cas +où $I'=I$ et $C$ est vide, il ne se produit que lorsque +$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est l'algèbre nulle, ce cas étant trivial). \end{proof} \begin{proof} \XXX |