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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-10-12 18:14:30 +0200 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-10-12 18:14:30 +0200 |
commit | 1952e8ea08394bd02f5c392905aae8259ba16c14 (patch) | |
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-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 67 |
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index dd820cf..968275d 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1658,12 +1658,13 @@ Gröbner), et pourtant leur produit $Z_2^2 + Z_2 Z_1 + Z_2 - Z_1^4 - Z_1^3 + 3 Z_1^2 + 2 Z_1 - 2$ appartient à $I$ (il s'écrit comme $q_2 - Z_1 q_3$). -On verra en fait (\XXX) que, si $f$ est un polynôme unitaire -irréductible séparable de degré $d$, son algèbre de décomposition -universelle est un corps si et seulement si le groupe de Galois de $f$ -est $\mathfrak{S}_d$, et plus généralement le sous-groupe des -permutations des variables préservant un idéal premier fixé -contenant $I$ est justement le groupe de Galois de $f$. +On verra en fait (en \ref{section-calcul-galois-par-base-de-groebner} +ci-dessous) que, si $f$ est un polynôme unitaire irréductible +séparable de degré $d$, son algèbre de décomposition universelle est +un corps si et seulement si le groupe de Galois de $f$ est +$\mathfrak{S}_d$, et plus généralement le sous-groupe des permutations +des variables préservant un idéal premier fixé contenant $I$ est +justement le groupe de Galois de $f$. \end{remarque2} Comme on vient de le dire, il ne suffit pas (pour $I$ un idéal, même @@ -1811,7 +1812,7 @@ K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$ est surjectif, autrement dit que $\tilde I$ est en position nette par rapport à $Y$. \end{proof} -\begin{proposition2} +\begin{proposition2}\label{existence-combinaison-lineaire-nette-des-variables} Soit $I$ un idéal radical de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ où $k$ est un corps parfait infini. Alors il existe $c_1,\ldots,c_d \in k$ tel que l'idéal de $k[Y,Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ et $Y - @@ -1968,7 +1969,9 @@ revient exactement à calculer le groupe de Galois de $f$. \end{exemple2} -\subsection{Application au calcul d'un groupe de Galois} +\section{Quelques applications} + +\subsection{Application au calcul d'un groupe de Galois}\label{section-calcul-galois-par-base-de-groebner} \subsubsection{} Plaçons-nous dans la situation suivante : $f \in k[X]$ est un polynôme unitaire séparable de degré $d$ sur un corps @@ -2022,6 +2025,7 @@ une variable à coefficients dans $k$), on sait tester si ce groupe de Galois est $\mathfrak{S}_d$ (en testant si $I$ est premier). \end{algorithme2} +\begin{remarque2} L'algorithme qu'on vient de présenter est à peu près équivalent au calcul du groupe de Galois par le moyen des résolvantes (\refext{Calculs}{strategie-algorithmique-generale-calcul-groupes-de-galois}) @@ -2031,8 +2035,55 @@ pas inclus dans tel ou tel groupe (disons, s'il est égal à $\mathfrak{S}_d$) mais qu'on va plus loin pour le connaître exactement, au prix de calculs de bases de Gröbner éventuellement très lourds. +\end{remarque2} + +\begin{remarque2} +Au cours de l'application de l'algorithme qu'on vient de présenter, si +on a utilisé la +proposition \ref{existence-combinaison-lineaire-nette-des-variables} +pour trouver une combinaison $k$-linéaire $c_1 Z_1 + \cdots + c_d Z_d$ +des indéterminées par rapport à laquelle l'ideal $I$ (donc aussi $J$) +soit en position nette, alors l'image modulo $J$ de cette combinaison +$c_1 Z_1 + \cdots + c_d Z_d$, c'est-à-dire la combinaison +correspondante, dans $K$, des racines de $f$, fournit un \emph{élément + primitif} de $K$. +\end{remarque2} + + +\subsection{Application au calcul de racines d'un polynôme} +\subsubsection{} Plaçons-nous de nouveau dans la situation suivante : $f \in +k[X]$ est un polynôme unitaire séparable de degré $d$ sur un corps +$k$, et $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est son algèbre de décomposition +universelle telle qu'introduite +en \ref{section-algebre-de-decomposition-universelle}. Si maintenant +$E$ est un corps extension de $k$ et dans lequel $f$ est scindé, la +donnée des racines $\xi_1,\ldots,\xi_d$ de $f$ dans $E$ définit un +morphisme $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I \to E$ (envoyant $Z_i$ modulo $I$ sur +$\xi_i$ dans $E$). + +À un tel niveau de généralité, on ne peut pas donner un sens précis à +ce qu'on veut dire par « calculer les $\xi_i$ », mais on peut +néanmoins donner une technique souvent intéressante dans ce contexte : +il s'agit de trouver une expression $\eta = P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ en +les $\xi_i$, où $P \in k[Z_1,\ldots,Z_d]$ qui soit d'une certaine +manière plus simple à calculer (le sens précis dépendant du type de +calcul qu'on cherche à mener) ; on peut alors séparer le calcul de la +façon suivante : d'abord calculer l'idéal d'élimination sur la +variable $Y$ de l'idéal $\tilde I = I + (Y-P)$ de +$k[Y,Z_1,\ldots,Z_d]$, ce qui fournit un polynôme $R_P$ annulateur de +$\eta$, trouver les racines de $R_P$ dans $E$ et identifier celle qui +est $\eta$, puis travailler dans l'algèbre +$k(\eta)[Z_1,\ldots,Z_d]/\hat I$ où cette fois $\hat I = I + (P - +\eta)$. On appliquera typiquement cette idée avec $P$ un polynôme qui +soit « partiellement » symétrique en les $Z_j$ : on verra dans le +chapitre \refext{Calculs}{} que $R_P$ est une « résolvante » (\XXX) et +dans le chapitre \refext{Radicaux}{} que prendre $P = \sum \zeta^{ij} +\xi_j$, où $\zeta$ est une racine $d$-ième de l'unité, peut s'avérer +intéressant. + +\XXX --- Tout ceci est assez vaseux. |