diff options
author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-10-12 15:51:07 +0200 |
---|---|---|
committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-10-12 15:51:07 +0200 |
commit | 26c6b84675b5123611deb6b94c2f930327362f9b (patch) | |
tree | c5ac8d8c9f6a85e76c641b89656b9b34329a93e6 /chapitres/bases-groebner.tex | |
parent | 0c174b07b63a77c3b56cf11dba08047bb1d3ec82 (diff) | |
download | galois-26c6b84675b5123611deb6b94c2f930327362f9b.tar.gz galois-26c6b84675b5123611deb6b94c2f930327362f9b.tar.bz2 galois-26c6b84675b5123611deb6b94c2f930327362f9b.zip |
[Gröbner] Début d'une discussion (mais il faut que je revienne sur l'algèbre de décomposition universelle).
Diffstat (limited to 'chapitres/bases-groebner.tex')
-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 60 |
1 files changed, 51 insertions, 9 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index 14762c7..5f4497c 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1418,6 +1418,19 @@ relations, $q_d$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.) \XXX \end{proof} +\begin{corollaire2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie} +Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire. Si +$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de décomposition universelle +définie en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, +alors celle-ci est de dimension finie comme $k$-espace vectoriel +(l'idéal $I$ est de dimension $0$). +\end{corollaire2} +\begin{proof} +Ceci découle immédiatement de +\ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} appliqué à la base de +Gröbner donnée par la proposition précédente. +\end{proof} + \begin{exemple2}\label{exemple-algebre-de-decomposition-universelle-non-connexe} Si $f = X^3 + X^2 -2 X -1$, la base de Gröbner donnée ci-dessus est formée des trois relations : $q_3 = Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$ @@ -1435,7 +1448,7 @@ les relations $\sigma_i = (-1)^i a_i$, est appelée \emph{algèbre de \end{definition2} -\subsection{Idéaux radicaux de dimension $0$} +\subsection{Idéaux radicaux de dimension $0$}\label{section-ideaux-radicaux-de-dimension-0} On rappelle (\XXX) qu'un idéal $J$ d'un anneau $A$ est dit \emph{radical} lorsque $x^n \in J$ implique $x \in J$ (quel que @@ -1503,11 +1516,12 @@ en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, alors celle-ci est réduite (l'idéal $I$ est radical). \end{proposition2} \begin{proof} -La proposition \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle} -assure que $I$ est de dimension $0$ et contient le polynôme $f(Z_1)$, -et aussi, pour des raisons de symétrie entre les variables, chacun des -$f(Z_j)$. Ceci fournit précisément les hypothèses de la proposition -précédente, qui permet de conclure. +La proposition \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle} et +sa conséquence \ref{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie} +assurent que $I$ est de dimension $0$ et contient le polynôme +$f(Z_1)$, et aussi, pour des raisons de symétrie entre les variables, +chacun des $f(Z_j)$. Ceci fournit précisément les hypothèses de la +proposition précédente, qui permet de conclure. \end{proof} \begin{remarque2} @@ -1573,7 +1587,7 @@ de $I$ (ce dernier étant le plus petit idéal radical contenant $I$). \end{proof} -\subsection{Idéaux premiers de dimension $0$} +\subsection{Idéaux premiers de dimension $0$}\label{section-ideaux-premiers-de-dimension-0} Il revient au même de dire d'un idéal $I$ de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ qu'il est premier ou qu'il est maximal (puisqu'une @@ -1795,7 +1809,7 @@ Z_d)) \pmod{I}$ en divisant par $q(c_1,\ldots,c_d)$. C'est bien ce qu'on voulait montrer. \end{proof} -\begin{algorithme2} +\begin{algorithme2}\label{algorithme-test-ideal-premier-dimension-0} Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ parfait et infini, si on sait tester l'irréductibilité des polynômes à une variable à coefficients @@ -1879,7 +1893,7 @@ l'idéal $I + (g_i)$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, on a $k[Y]/(h_i) \cong k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i$, les $J_i$ sont donc premiers et $k[Y]/(h) \cong \prod_i (k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i)$. Ceci prouve : -\begin{algorithme2} +\begin{algorithme2}\label{algorithme-decomposition-ideal-radical-dimension-0} Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ parfait et infini, si on sait factoriser les polynômes à une variable à coefficients dans $k$, on peut trouver @@ -1927,6 +1941,34 @@ revient exactement à calculer le groupe de Galois de $f$. \end{exemple2} +\subsection{Application au calcul d'un groupe de Galois} + +\subsubsection{} Plaçons-nous dans la situation suivante : $f \in +k[X]$ est un polynôme unitaire séparable de degré $d$ sur un corps +$k$, et $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est son algèbre de décomposition +universelle telle qu'introduite +en \ref{section-algebre-de-decomposition-universelle}. On a vu en +\ref{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie} et +\ref{algebre-de-decomposition-universelle-est-reduite} que cette +algèbre est réduite de dimension $0$. Il s'agit donc (cf. les +remarques initiales de \ref{section-ideaux-premiers-de-dimension-0}) +du produit des corps $k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i$ où les $J_i$ sont les +idéaux maximaux contenant $I$, et on a vu +en \ref{algorithme-decomposition-ideal-radical-dimension-0} comment +calculer les $J_i$ (au moins dans le cas où $k$ est parfait et infini +et où on sait factoriser les polynômes en une variable sur $k$). + +Si $J$ est un quelconque de ces idéaux maximaux contenant $I$, alors +$K := k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ est un corps engendré par $k$ et par les +images de $Z_1,\ldots,Z_d$. Mais comme $I$, donc $J$, contient le +polynôme $f(Z_1)$ +(d'après \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}), et +aussi, pour des raisons de symétrie entre les variables, chacun des +$f(Z_j)$, les images des $Z_j$ dans $K$ sont des racines du +polynôme $f$. Mais de plus, ces images sont deux à deux distinctes +dans $K$ car \XXX + + \ifx\danslelivre\undefined |