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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 20:42:55 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 20:42:55 +0100
commit43103ad27581aa0cb7f75b728c8db6bc298bf7dd (patch)
treeb7dc4706a76327b8d11a258f592c0d7a595586aa /chapitres/bases-groebner.tex
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index 49be8ee..869468d 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1,38 +1,20 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
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-
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-%\usepackage{tikz}
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+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Bases de Gröbner et applications}
\externaldocument{spectre}
\externaldocument{extensions-algebriques}
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-
-\synctex=1
-
-\title{Bases de Gr\"{o}bner et applications}
-
\begin{document}
\maketitle
-\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
\else
\chapter{Bases de Gröbner et applications}
\fi
-\newcommand{\initial}{\mathop{\mathrm{in}}}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\initial}{\mathrm}{in}
\section{Bases de Gröbner}
@@ -386,7 +368,7 @@ Z_d^{\ell'_d}$ ssi $\sum \ell_i < \sum \ell'_i$ ou $\sum \ell_i = \sum
\ell'_i$ et $\ell_i > \ell'_i$ pour le \emph{plus petit} $i$ tel que
$\ell_i \neq \ell'_i$. Autrement dit, cet ordre trie en premier lieu
par degré total puis, en cas d'égalité, classe en premier les monômes
-ayant le plus grand degré dans la plus petite variable --- et non pas
+ayant le plus grand degré dans la plus petite variable — et non pas
comme le fait l'ordre lexicographique le plus petit degré dans la plus
grande variable. (Comme dans les cas précédents, cette définition est
faite relativement à l'ordre convenu sur les variables, et plus
@@ -479,7 +461,7 @@ coordonnées entières). On va poser $s \preceq s'$, avec $s =
Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}$ et $s' = Z_1^{\ell'_1} \cdots
Z_d^{\ell'_d}$, lorsque $\lambda^{(j)}(\ell' - \ell) > 0$ pour le plus
petit $j$ tel que $\lambda^{(j)}(\ell' - \ell) \neq 0$ (en considérant
-$\ell$ et $\ell'$ comme des éléments de $\NN^d \subseteq \RR^d$) ---
+$\ell$ et $\ell'$ comme des éléments de $\NN^d \subseteq \RR^d$) —
autrement dit, on utilise successivement les formes linéaires
$\lambda^{(j)}$ pour comparer les vecteurs d'exposants, en donnant le
poids le plus fort aux premières. Cette définition conduit bien à un
@@ -583,7 +565,7 @@ Tout idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ admet une base de Gröbner (finie).
\begin{proof}
La propriété noethérienne assure que parmi les $\initial(f)$ pour
$f\in I$, qui par définition engendrent $\initial(I)$, on peut
-extraire un ensemble fini engendrant $\initial(I)$ --- il s'agit d'une
+extraire un ensemble fini engendrant $\initial(I)$ — il s'agit d'une
base de Gröbner de $I$.
\end{proof}
@@ -824,7 +806,7 @@ s_j/\pgcd(s_i,s_j) = \nu \sigma^{(i,j)}_i$.) Si on définit $\tilde
g_u$ par $\tilde g_u = g_u - b_i \nu \sigma^{(i,j)}_u$, alors $\tilde
g_i = 0$ et $\tilde g_u = g_u$ si $u\neq i,j$ : donc la relation
$(\tilde g_1,\ldots,\tilde g_r)$ a strictement moins de termes non
-nuls que $(g_1,\ldots,g_r)$ --- une récurrence évidente permet de
+nuls que $(g_1,\ldots,g_r)$ — une récurrence évidente permet de
conclure.
\end{proof}
@@ -1010,7 +992,7 @@ initial de $p_2 f_1 - p_1 f_2$ est celui de $p_1 f_2$, et l'écriture
$p_2 f_1 - p_1 f_2$ est une écriture standard (avec reste nul) au sens
de \ref{algorithme-division}, comme on le voulait.
-\XXX --- Cette démonstration est-elle bien complète ? Pourquoi
+\XXX — Cette démonstration est-elle bien complète ? Pourquoi
Eisenbud, dans la solution de l'exercice 15.20 (dernière phrase)
suggère-t-il de faire une sorte de récurrence ?
\end{proof}
@@ -1153,7 +1135,7 @@ continue d'engendrer le même idéal puisque $x^2$ s'exprime comme
combinaison $\QQ[x,y]$-linéaire de ceux-ci.
\end{remarque2}
-\XXX --- Question complètement gratuite, comme ça : peut-on
+\XXX — Question complètement gratuite, comme ça : peut-on
caractériser les idéaux $I$ tels qu'aucun sous-ensemble strict de la
base de Gröbner réduite $B$ de $I$ n'engendre $I$ ?
@@ -1218,8 +1200,8 @@ outre, d'écrire les coordonnées sur cette base de la classe modulo $I$
d'un polynôme $f$ quelconque.
Cette base n'est pas forcément finie ($k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ peut être
-de dimension finie ou non : en fait, il sera de dimension finie ---
-c'est-à-dire, artinien --- exactement lorsque $I$ sera « de
+de dimension finie ou non : en fait, il sera de dimension finie —
+c'est-à-dire, artinien — exactement lorsque $I$ sera « de
dimension $0$ » au sens de l'objet géométrique qu'il décrit), mais
même si elle est infinie, la base possède une description suffisamment
simple (il s'agit de $d$-uplets d'entiers naturels vérifiant une
@@ -1302,7 +1284,7 @@ et l'hypothèse faite sur $\preceq$ impose $f_i \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$,
c'est-à-dire $i\leq u$.
\end{proof}
-\XXX --- Eisenbud (proposition 15.29) prétend utiliser la
+\XXX — Eisenbud (proposition 15.29) prétend utiliser la
proposition \ref{inclusion-ideaux-et-egalite-ideaux-initiaux}
(lemme 15.5 chez lui). Je ne vois pas où ça sert : me suis-je trompé
dans cette démonstration ?
@@ -1328,7 +1310,7 @@ de \ref{bases-de-groebner-et-extensions-de-corps}.
%
\subsection{Ajout d'une variable et calcul d'inverse}
-\XXX --- Il est tout pourri le titre de cette section !
+\XXX — Il est tout pourri le titre de cette section !
\begin{proposition2}\label{borne-degre-base-groebner-sur-une-variable-dominante}
Soit $\preceq$ un ordre monomial sur $k[Z_1,\ldots,Z_d,Y]$ tel que $Y$
@@ -1356,7 +1338,7 @@ terme initial est strictement inférieur à $\ppcm(\initial(h_i),
c'est le cas de $S(h_i,h_j)$.
\end{proof}
-\XXX --- Ce serait mieux de donner une démontration qui n'utilise pas
+\XXX — Ce serait mieux de donner une démontration qui n'utilise pas
la construction algorithmique.
\begin{algorithme2}\label{algorithme-calcul-inverse-algebre-de-type-fini}
@@ -1437,7 +1419,7 @@ Lorsque $I$ est l'idéal nul, la fonction de Hilbert-Samuel affine
de $I$ compte le nombre total de monômes de degré total $\leq\ell$
en $d$ variables, autrement dit, le nombre de $d$-uplets d'entiers
naturels de somme $\leq\ell$ : un raisonnement combinatoire classique
-(\XXX --- l'expliciter ?) montre que ce nombre vaut
+(\XXX — l'expliciter ?) montre que ce nombre vaut
$\frac{(\ell+d)!}{\ell!\,d!} =
\frac{1}{d!}\ell(\ell-1)\cdots(\ell-d+1)$, qui est un polynôme de
degré $d$ en $\ell$ et de terme dominant $\frac{1}{d!} \ell^d$.
@@ -1463,7 +1445,7 @@ et seulement si $I=0$, qui coïncide pour $\ell$ assez grand avec la
fonction de Hilbert-Samuel affine de $I$.
\end{proposition2}
-\XXX --- Le prouver ?
+\XXX — Le prouver ?
\begin{definition2}\label{definition-polynome-hilbert-samuel-affine}
Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Le polynôme (manifestement
@@ -1841,7 +1823,7 @@ Convenons de noter $e_i^{[d]}$ pour $e_i(Z_1,\ldots,Z_d)$ et
$e_i^{[d-1]}$ pour $e_i(Z_1,\ldots,Z_{d-1})$. On a $e_i^{[d]} =
e_i^{[d-1]} + Z_d e_{i-1}^{[d-1]}$ et $a_i = b_i - Z_d b_{i-1}$ : donc
$(e_i^{[d]} - (-1)^i a_i) = (e_i^{[d-1]} - (-1)^i b_i) + Z_d
-(e_{i-1}^{[d-1]} - (-1)^{i-1} b_{i-1})$ --- ceci montre que les
+(e_{i-1}^{[d-1]} - (-1)^{i-1} b_{i-1})$ — ceci montre que les
$e_i^{[d-1]} - (-1)^i b_i$ engendrent les $e_i^{[d]} - (-1)^i a_i$ (la
relation $f(Z_d)$ sert lorsque $i=d$ pour annuler le terme $b_d$), et
réciproquement par récurrence que les $e_i^{[d]} - (-1)^i a_i$
@@ -1852,7 +1834,7 @@ est elle-même, si on ne la trouve pas évidente, une réécriture de
l'égalité $\mathfrak{F}_1(Z_1,\ldots,Z_d|Z_d) = 0$ contenue dans le
lemme \ref{lemme-modules-de-cauchy}).
-\XXX --- Cette démonstration est complètement pourrie.
+\XXX — Cette démonstration est complètement pourrie.
\end{proof}
\begin{proposition2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-separe-les-racines}
@@ -2429,7 +2411,7 @@ savoir s'il est premier en supposant qu'il est géométriquement
radical). Ce n'est pas un oubli : un tel algorithme n'existe pas, car
le problème est \emph{indécidable} au sens de Church-Turing.
-En effet, il existe (\XXX --- référencer Fröhlich \& Shepherdson
+En effet, il existe (\XXX — référencer Fröhlich \& Shepherdson
lemme 7.21 et th. 7.27) un corps $k$ de caractéristique $p>0$ tel
qu'on sache algorithmiquement factoriser les polynômes dans $k[X]$
mais que si $k' = k[Y]/(h)$ est une certaine extension algébrique
@@ -2481,7 +2463,7 @@ racines de $f$ dans $K$. Bref, $K$ est un corps extension de $k$ et
engendré au-dessus de $k$ par les $d$ racines du polynôme $f$ :
c'est-à-dire que c'est « le » corps de décomposition de $f$ sur $k$.
-Le groupe de Galois de $f$ étant donc (\XXX --- référence précise) le
+Le groupe de Galois de $f$ étant donc (\XXX — référence précise) le
groupe des automorphismes de $K$ au-dessus de $k$, il peut se voir
comme le groupe des permutations de $Z_1,\ldots,Z_d$ qui laissent
l'idéal $J$ invariant ; connaissant une base de Gröbner de $J$, il est
@@ -2566,7 +2548,7 @@ dans le chapitre \refext{Radicaux}{} que prendre $P = \sum \zeta^{ij}
\xi_j$, où $\zeta$ est une racine $d$-ième de l'unité, peut s'avérer
intéressant.
-\XXX --- Tout ceci est assez vaseux.
+\XXX — Tout ceci est assez vaseux.