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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-09-06 18:16:57 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-09-06 18:16:57 +0200
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[Gröbner] Calcul algorithmique du radical d'un idéal de dimension 0.
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-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex94
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--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1197,7 +1197,7 @@ générateurs de $J$ est le problème fondamental de la théorie de
l'élimination. Les bases de Gröbner fournissent un algorithme
permettant de le résoudre :
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{base-de-groebner-elimination}
Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $t\leq d$ : notons $J = I
\cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$. Alors on a $\initial_{\mathtt{lex}}(J) =
\initial_{\mathtt{lex}}(I) \cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (où on est convenu
@@ -1375,6 +1375,22 @@ dimension $0$ est exceptionnellement simple avec le critère qu'on
vient de présenter).
\end{remarque2}
+\begin{proposition2}\label{projection-de-dimension-0}
+Soit $I$ un idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Alors pour
+tout $t\leq d$, l'idéal d'élimination $J = I \cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$
+est lui aussi de dimension $0$. En particulier (pour $t\geq 1$), il
+n'est pas nul.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Une fois choisi un ordre convenable (par exemple l'ordre
+lexicographique) sur les monômes, comme expliqué
+en \ref{base-de-groebner-elimination}, une base de Gröbner de $J$
+s'obtient en considérant ceux des éléments d'une base de Gröbner
+de $I$ qui appartiennent à $k[Z_1,\ldots,Z_t]$. Mais la dernière
+condition de \ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} est
+alors manifestement satisfaite de $J$ si elle l'est de $I$.
+\end{proof}
+
\subsection{Algèbre de décomposition universelle d'un polynôme}\label{section-algebre-de-decomposition-universelle}
@@ -1419,9 +1435,9 @@ les relations $\sigma_i = (-1)^i a_i$, est appelée \emph{algèbre de
\subsection{Idéaux radicaux de dimension $0$}
-On rappelle (\XXX) qu'un idéal $I$ d'un anneau $A$ est dit
-\emph{radical} lorsque $x^n \in I$ implique $x \in I$ (quel que
-soit $n \in \NN$), autrement dit lorsque le quotient $A/I$ est réduit.
+On rappelle (\XXX) qu'un idéal $J$ d'un anneau $A$ est dit
+\emph{radical} lorsque $x^n \in J$ implique $x \in J$ (quel que
+soit $n \in \NN$), autrement dit lorsque le quotient $A/J$ est réduit.
Soit maintenant $A = k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Si $I$ est à la fois radical
et de dimension $0$, autrement dit si $A/I$ est réduit et artinien,
@@ -1430,11 +1446,11 @@ un produit de corps, à savoir les $A/\mathfrak{m}$ où $\mathfrak{m}$
parcourt les idéaux maximaux de $A$ contenant $I$, qui sont en nombre
fini et dont $I$ est l'intersection (\XXX).
-\begin{proposition2}[« lemme 92 » de Seidenberg]\label{critere-seidenberg-ideal-radial}
-Soit $I$ un idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que,
-pour chaque $1\leq i\leq d$, l'idéal $I$ contienne un polynôme $g \in
-k[Z_i]$ (ne faisant intervenir que de la variable $Z_i$)
-\emph{séparable}. Alors $I$ est radical.
+\begin{proposition2}[« lemme 92 » de Seidenberg]\label{critere-seidenberg-ideal-radical}
+Soit $I$ un idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ (où $k$ est
+un corps) tel que, pour chaque $1\leq j\leq d$, l'idéal $I$ contienne
+un polynôme $g \in k[Z_j]$ (ne faisant intervenir que de la
+variable $Z_j$) \emph{séparable}. Alors $I$ est radical.
\end{proposition2}
\begin{proof}
On va montrer que $I$ est intersection finie d'idéaux maximaux.
@@ -1461,8 +1477,8 @@ de dimension $0$ (car l'image par $\varphi$ d'une famille finie
génératrice comme $k$-espace vectoriel de $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est
génératrice comme $K$-espace vectoriel de
$K[Z_1,\ldots,Z_{d-1}]/\varphi(I)$), et si $g^\natural \in I \cap
-k[Z_i]$ est séparable alors $\varphi(g^\natural) \in \varphi(I) \cap
-K[Z_i]$. Il existe donc un nombre fini d'idéaux maximaux
+k[Z_j]$ est séparable alors $\varphi(g^\natural) \in \varphi(I) \cap
+K[Z_j]$. Il existe donc un nombre fini d'idéaux maximaux
$\mathfrak{m}_i$ de $K[Z_1,\ldots,Z_{d-1}]$ dont $\varphi(I)$ soit
intersection. Mais alors $\varphi^{-1}(\varphi(I))$, qui est égal
à $I + \ker\varphi = I$, est l'intersection des
@@ -1471,6 +1487,12 @@ $\varphi^{-1}(\mathfrak{m}_i)$, et comme $k[Z_1,\ldots,Z_d] /
(puisque $\varphi$ est surjectif), ces idéaux sont maximaux.
\end{proof}
+\begin{remarque2}\label{remarque-separabilite-dans-critere-de-seidenberg}
+En fait, on a prouvé que $I$ était \emph{géométriquement} radical,
+c'est-à-dire qu'il est radical après passage à la clôture algébrique,
+puisque l'hypothèse demeure vérifiée après ce passage.
+\end{remarque2}
+
\begin{proposition2}
Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire
\emph{séparable}. Si $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de
@@ -1482,13 +1504,13 @@ celle-ci est réduite (l'idéal $I$ est radical).
La proposition \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}
assure que $I$ est de dimension $0$ et contient le polynôme $f(Z_1)$,
et aussi, pour des raisons de symétrie entre les variables, chacun des
-$f(Z_i)$. Ceci fournit précisément les hypothèses de la proposition
+$f(Z_j)$. Ceci fournit précisément les hypothèses de la proposition
précédente, qui permet de conclure.
\end{proof}
\begin{remarque2}
En principe, la preuve de la
-proposition \ref{critere-seidenberg-ideal-radial} est constructive en
+proposition \ref{critere-seidenberg-ideal-radical} est constructive en
ce sens qu'elle fournit des idéaux maximaux dont $I$ soit
l'intersection, à condition d'être capable d'effectuer des
factorisations dans tous les corps de rupture qui interviennent. Ceci
@@ -1496,6 +1518,52 @@ fournira, en fait, une méthode théorique pour calculer des groupes de
Galois, à rapprocher de \XXX.
\end{remarque2}
+La réciproque de \ref{critere-seidenberg-ideal-radical} est également
+vraie, modulo la
+remarque \ref{remarque-separabilite-dans-critere-de-seidenberg} :
+\begin{proposition2}\label{critere-seidenberg-ideal-radical-reciproque}
+Soit $k$ un corps parfait, et soit $I$ un idéal radical de
+dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Alors pour tout $1\leq j\leq
+d$, l'idéal $I$ contient un polynôme $g \in k[Z_j]$ (ne faisant
+intervenir que de la variable $Z_j$) séparable.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Sans perte de généralité on peut supposer $j=1$.
+D'après \ref{projection-de-dimension-0}, il existe un polynôme non nul
+dans $I \cap k[Z_1]$. Si $g$ est sa partie sans facteur carré (i.e.,
+le produit de ses facteurs irréductibles distincts), alors $g^N \in I$
+pour $N$ assez grand, donc $g \in I$ puisque $I$ est radical. Comme
+$k$ est parfait, $g$ est séparable.
+\end{proof}
+
+Ceci nous permet de donner une conséquence algorithmique :
+\begin{algorithme2}
+Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ de
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ parfait, on peut tester si $I$ est
+radical, ou, s'il ne l'est pas, calculer son radical.
+\end{algorithme2}
+\begin{proof}[Description de l'algorithme]
+Pour chaque $j$, utiliser \ref{projection-de-dimension-0} pour
+calculer le générateur unitaire de $I \cap k[Z_j]$ (c'est-à-dire une
+base de Gröbner réduite de cet idéal), et tester si ce générateur est
+séparable. S'ils le sont tous, alors $I$ est radical, sinon, il ne
+l'est pas.
+
+Dans le cas où $I$ n'est pas radical, si $g_j$ désigne la partie sans
+facteur carré du générateur unitaire de $I \cap k[Z_j]$ (qu'on peut
+calculer en évaluant de façon répétée des pgcd avec la dérivée \XXX),
+le radical de $I$ est l'idéal engendré par $I$ et tous les $g_j$.
+\end{proof}
+\begin{proof}
+Seule l'affirmation contenue dans le dernier paragraphe nécessite
+encore une démonstration. Chacun des $g_j$ est contenu dans le
+radical de $I$ (puisque $g_j^N$ pour $N$ assez grand). Si $J$ désigne
+l'idéal engendré par $I$ et tous les $g_j$, alors $J$ est radical
+d'après \ref{critere-seidenberg-ideal-radical}, contient $I$, et est
+contenu dans le radical de $I$. Il résulte que $J$ est le radical
+de $I$ (ce dernier étant le plus petit idéal radical contenant $I$).
+\end{proof}
+
\subsection{Idéaux premiers de dimension $0$}\strut