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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-09-12 18:15:25 +0200 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-09-12 18:15:25 +0200 |
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[Gröbner] Idéal en « position nette » par rapport à une variable.
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-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 93 |
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index b155ba6..2f70628 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1549,7 +1549,7 @@ $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ parfait, on peut tester si $I$ est radical, ou, s'il ne l'est pas, calculer son radical. \end{algorithme2} \begin{proof}[Description de l'algorithme] -Pour chaque $j$, utiliser \ref{projection-de-dimension-0} pour +Pour chaque $j$, utiliser \ref{base-de-groebner-elimination} pour calculer le générateur unitaire de $I \cap k[Z_j]$ (c'est-à-dire une base de Gröbner réduite de cet idéal), et tester si ce générateur est séparable. S'ils le sont tous, alors $I$ est radical, sinon, il ne @@ -1589,7 +1589,7 @@ algorithmiquement si un idéal de dimension $0$ est premier, et comment, donné un idéal $I$ radical de dimension $0$, calculer les idéaux premiers qui le contiennent. -\begin{remarque2} +\begin{remarque2}\label{remarque-projection-et-ideaux-premiers} On a vu dans la section précédente que, sur $k$ un corps parfait, un idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est radical si et seulement si tous ses idéaux d'élimination à une seule variable le @@ -1623,6 +1623,95 @@ permutations des variables préservant un idéal premier fixé contenant $I$ est justement le groupe de Galois de $f$. \end{remarque2} +Comme on vient de le dire, il ne suffit pas (pour $I$ un idéal, même +radical, de dimension $0$) que les idéaux d'élimination de $I$ à une +seule variable soient premiers pour pouvoir conclure que $I$ l'est. +Il y a cependant une situation où c'est possible, comme on va le +voir : + +\begin{definition2}\label{definition-ideal-en-position-nette} +Un idéal $I$ de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est dit \emph{en + position nette} par rapport à la variable $Z_j$ lorsque le morphisme +$k[Z_j]/(I \cap k[Z_j]) \to k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ induit par +l'inclusion de $k[Z_j]$ dans $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est un isomorphisme +(c'est-à-dire, est surjectif). +\end{definition2} + +\begin{remarque2} +Cette définition peut se faire pour un idéal quelconque (c'est-à-dire, +non supposé de dimension $0$), mais si $I$ est de dimension $0$, ce +qui implique la même chose pour $I \cap k[Z_j]$ +d'après \ref{projection-de-dimension-0}, on peut donner la condition +équivalente suivante : les $k$-espaces vectoriels +$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ et $k[Z_j]/(I \cap k[Z_j])$ ont même dimension. + +Cette dernière condition est testable algorithmiquement : on sait +calculer la dimension de $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ à partir d'une base de +Gröbner en comptant les monômes qui ne sont divisibles par le monôme +de tête d'aucun élément de la base de Gröbner ; et l'algorithme +d'élimination \ref{base-de-groebner-elimination} permet de calculer le +générateur unitaire de $I \cap k[Z_j]$ dont le degré est la dimension +du $k$-espace vectoriel $k[Z_j]/(I \cap k[Z_j])$. +\end{remarque2} + +On peut donner un critère algorithmique encore plus précis : +\begin{proposition2} +Soit $I$ un idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Alors $I$ +est en position nette par rapport à $Z_1$ si et seulement si, pour +l'ordre lexicographique (où on est convenu d'ordonner les variables de +la manière $Z_1 \preceq Z_2 \preceq \cdots \preceq Z_d$), ou plus +généralement pour un ordre admissible $\preceq$ quelconque tel que si +$\initial_{\preceq}(f) \in k[Z_1]$ alors $f \in k[Z_1]$, la base de +Gröbner réduite de $I$ est de la forme $h(Z_1), Z_2-g_2(Z_1), \ldots, +Z_d-g_d(Z_1)$ où $h,g_2,\ldots,g_d$ sont des polynômes uniquement en +la variable $Z_1$. +\end{proposition2} +\begin{proof} +Si la base de Gröbner réduite de $I$ est de la forme indiquée, alors +$I \cap k[Z_1]$ est l'idéal engendré par $h \in k[Z_1]$, disons de +degré $N$, et les monômes $1,Z_1,\ldots,Z_1^{N-1}$ forment à la fois +une base de $k[Z_1]/(I \cap k[Z_1])$ et de $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ (ou +si l'on veut, la flèche évidente de l'un vers l'autre a une rétraction +consistant à envoyer $Z_j$ sur $g_j(Z_1)$ pour $j>1$, donc elle est +bien surjective). + +Supposons maintenant que $I$ soit en position nette par rapport +à $Z_1$. On sait d'après \ref{base-de-groebner-elimination} que la +base de Gröbner réduite $B$ de $I$ doit contenir un polynôme $h$ en la +seule variable $Z_1$, et il ne peut en contenir qu'un seul puisque $B$ +est réduite, et ce polynôme engendre $I \cap k[Z_1]$. Pour tout +$j>1$, l'hypothèse de position nette assure qu'il existe $\tilde g_j +\in k[Z_1]$ tel que $Z_j - \tilde g_j(Z_1) \in I$, et le terme initial +de ce monôme est $Z_j$ par les hypothèses faite sur l'ordre. Quitte à +remplacer $\tilde g_j$ par le de sa division par $h$ dans $k[Z_1]$, on +peut supposer que $\tilde g_j$ a un degré strictement inférieur à +celui de $h$. Pour chaque $j$, la base $B$ doit contenir un terme +dont le monôme initial divise $Z_j$, et donc soit exactement $Z_j$. +Par minimalité, chacun de ces termes est de la forme $Z_j - g_j(Z_1)$, +et il est alors clair que les $\tilde g_j$ coïncident exactement avec +les $g_j$ (même si on n'en a pas besoin dans cette démonstration). +\end{proof} + +Intuitivement (et au moins pour $I$ radical de dimension $0$), il faut +comprendre que « $I$ en position nette par rapport à la + variable $Z_j$ » signifie que la projection sur la coordonnée $Z_j$ +de l'ensemble des points défini par $I$ (disons, sur la clôture +algébrique de $k$) est un isomorphisme au sens où elle n'identifie pas +de points. + +Trivialement, si $I$ (idéal de dimension $0$) est en position nette +par rapport à $Z_j$, l'idéal $I$ est premier si et seulement si $I +\cap k[Z_j]$ l'est. Lorsque c'est le cas que $I$ soit en position +nette (et on sait le détecter d'après ce qu'on a dit), il est donc +facile de tester si $I$ est premier. Malheureusement, il n'existe pas +forcément une variable par rapport à laquelle que $I$ soit en position +nette, comme on l'a vu +en \ref{remarque-projection-et-ideaux-premiers}. On va maintenant +chercher à expliquer pourquoi on peut néanmoins toujours (au moins si +$k$ est infini), « fabriquer » une variable $Y = c_1 X_1 + \cdots + + +c_d X_d$, telle que l'idéal complété par cette relation soit en +position nette par rapport à $Y$. + \ifx\danslelivre\undefined |