[Gröbner] Idéal en « position nette » par rapport à une variable.

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@@ -1549,7 +1549,7 @@ $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ parfait, on peut tester si $I$ est
 radical, ou, s'il ne l'est pas, calculer son radical.
 \end{algorithme2}
 \begin{proof}[Description de l'algorithme]
-Pour chaque $j$, utiliser \ref{projection-de-dimension-0} pour
+Pour chaque $j$, utiliser \ref{base-de-groebner-elimination} pour
 calculer le générateur unitaire de $I \cap k[Z_j]$ (c'est-à-dire une
 base de Gröbner réduite de cet idéal), et tester si ce générateur est
 séparable.  S'ils le sont tous, alors $I$ est radical, sinon, il ne
@@ -1589,7 +1589,7 @@ algorithmiquement si un idéal de dimension $0$ est premier, et
 comment, donné un idéal $I$ radical de dimension $0$, calculer les
 idéaux premiers qui le contiennent.
 
-\begin{remarque2}
+\begin{remarque2}\label{remarque-projection-et-ideaux-premiers}
 On a vu dans la section précédente que, sur $k$ un corps parfait, un
 idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est radical si et
 seulement si tous ses idéaux d'élimination à une seule variable le
@@ -1623,6 +1623,95 @@ permutations des variables préservant un idéal premier fixé
 contenant $I$ est justement le groupe de Galois de $f$.
 \end{remarque2}
 
+Comme on vient de le dire, il ne suffit pas (pour $I$ un idéal, même
+radical, de dimension $0$) que les idéaux d'élimination de $I$ à une
+seule variable soient premiers pour pouvoir conclure que $I$ l'est.
+Il y a cependant une situation où c'est possible, comme on va le
+voir :
+
+\begin{definition2}\label{definition-ideal-en-position-nette}
+Un idéal $I$ de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est dit \emph{en
+  position nette} par rapport à la variable $Z_j$ lorsque le morphisme
+$k[Z_j]/(I \cap k[Z_j]) \to k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ induit par
+l'inclusion de $k[Z_j]$ dans $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est un isomorphisme
+(c'est-à-dire, est surjectif).
+\end{definition2}
+
+\begin{remarque2}
+Cette définition peut se faire pour un idéal quelconque (c'est-à-dire,
+non supposé de dimension $0$), mais si $I$ est de dimension $0$, ce
+qui implique la même chose pour $I \cap k[Z_j]$
+d'après \ref{projection-de-dimension-0}, on peut donner la condition
+équivalente suivante : les $k$-espaces vectoriels
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ et $k[Z_j]/(I \cap k[Z_j])$ ont même dimension.
+
+Cette dernière condition est testable algorithmiquement : on sait
+calculer la dimension de $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ à partir d'une base de
+Gröbner en comptant les monômes qui ne sont divisibles par le monôme
+de tête d'aucun élément de la base de Gröbner ; et l'algorithme
+d'élimination \ref{base-de-groebner-elimination} permet de calculer le
+générateur unitaire de $I \cap k[Z_j]$ dont le degré est la dimension
+du $k$-espace vectoriel $k[Z_j]/(I \cap k[Z_j])$.
+\end{remarque2}
+
+On peut donner un critère algorithmique encore plus précis :
+\begin{proposition2}
+Soit $I$ un idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$.  Alors $I$
+est en position nette par rapport à $Z_1$ si et seulement si, pour
+l'ordre lexicographique (où on est convenu d'ordonner les variables de
+la manière $Z_1 \preceq Z_2 \preceq \cdots \preceq Z_d$), ou plus
+généralement pour un ordre admissible $\preceq$ quelconque tel que si
+$\initial_{\preceq}(f) \in k[Z_1]$ alors $f \in k[Z_1]$, la base de
+Gröbner réduite de $I$ est de la forme $h(Z_1), Z_2-g_2(Z_1), \ldots,
+Z_d-g_d(Z_1)$ où $h,g_2,\ldots,g_d$ sont des polynômes uniquement en
+la variable $Z_1$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si la base de Gröbner réduite de $I$ est de la forme indiquée, alors
+$I \cap k[Z_1]$ est l'idéal engendré par $h \in k[Z_1]$, disons de
+degré $N$, et les monômes $1,Z_1,\ldots,Z_1^{N-1}$ forment à la fois
+une base de $k[Z_1]/(I \cap k[Z_1])$ et de $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ (ou
+si l'on veut, la flèche évidente de l'un vers l'autre a une rétraction
+consistant à envoyer $Z_j$ sur $g_j(Z_1)$ pour $j>1$, donc elle est
+bien surjective).
+
+Supposons maintenant que $I$ soit en position nette par rapport
+à $Z_1$.  On sait d'après \ref{base-de-groebner-elimination} que la
+base de Gröbner réduite $B$ de $I$ doit contenir un polynôme $h$ en la
+seule variable $Z_1$, et il ne peut en contenir qu'un seul puisque $B$
+est réduite, et ce polynôme engendre $I \cap k[Z_1]$.  Pour tout
+$j>1$, l'hypothèse de position nette assure qu'il existe $\tilde g_j
+\in k[Z_1]$ tel que $Z_j - \tilde g_j(Z_1) \in I$, et le terme initial
+de ce monôme est $Z_j$ par les hypothèses faite sur l'ordre.  Quitte à
+remplacer $\tilde g_j$ par le de sa division par $h$ dans $k[Z_1]$, on
+peut supposer que $\tilde g_j$ a un degré strictement inférieur à
+celui de $h$.  Pour chaque $j$, la base $B$ doit contenir un terme
+dont le monôme initial divise $Z_j$, et donc soit exactement $Z_j$.
+Par minimalité, chacun de ces termes est de la forme $Z_j - g_j(Z_1)$,
+et il est alors clair que les $\tilde g_j$ coïncident exactement avec
+les $g_j$ (même si on n'en a pas besoin dans cette démonstration).
+\end{proof}
+
+Intuitivement (et au moins pour $I$ radical de dimension $0$), il faut
+comprendre que « $I$ en position nette par rapport à la
+  variable $Z_j$ » signifie que la projection sur la coordonnée $Z_j$
+de l'ensemble des points défini par $I$ (disons, sur la clôture
+algébrique de $k$) est un isomorphisme au sens où elle n'identifie pas
+de points.
+
+Trivialement, si $I$ (idéal de dimension $0$) est en position nette
+par rapport à $Z_j$, l'idéal $I$ est premier si et seulement si $I
+\cap k[Z_j]$ l'est.  Lorsque c'est le cas que $I$ soit en position
+nette (et on sait le détecter d'après ce qu'on a dit), il est donc
+facile de tester si $I$ est premier.  Malheureusement, il n'existe pas
+forcément une variable par rapport à laquelle que $I$ soit en position
+nette, comme on l'a vu
+en \ref{remarque-projection-et-ideaux-premiers}.  On va maintenant
+chercher à expliquer pourquoi on peut néanmoins toujours (au moins si
+$k$ est infini), « fabriquer » une variable $Y = c_1 X_1 + \cdots + +
+c_d X_d$, telle que l'idéal complété par cette relation soit en
+position nette par rapport à $Y$.
+
 
 
 \ifx\danslelivre\undefined