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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-11-22 18:09:03 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-11-22 18:09:03 +0100 |
commit | 7808cd47918c109923591e4f4e6aeeeafd89e704 (patch) | |
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-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 16 |
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index 365763a..e82f27f 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1536,26 +1536,26 @@ donc modulo $I$. \subsection{Idéaux radicaux de dimension $0$}\label{section-ideaux-radicaux-de-dimension-0} -On rappelle (\XXX) qu'un idéal $J$ d'un anneau $A$ est dit +On rappelle (\XXX) qu'un idéal $J$ d'un anneau $R$ est dit \emph{radical} lorsque $x^n \in J$ implique $x \in J$ (quel que -soit $n \in \NN$), autrement dit lorsque le quotient $A/J$ est réduit. +soit $n \in \NN$), autrement dit lorsque le quotient $R/J$ est réduit. -Soit maintenant $A = k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Si $I$ est à la fois radical -et de dimension $0$, autrement dit si $A/I$ est réduit et artinien, +Soit maintenant $R = k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Si $I$ est à la fois radical +et de dimension $0$, autrement dit si $R/I$ est réduit et artinien, d'après \refext{Spec}{artinien réduit=produit corps}, cet anneau est un produit de corps (extensions finies de $k$), à savoir les -$A/\mathfrak{m}$ où $\mathfrak{m}$ parcourt les idéaux maximaux de $A$ +$R/\mathfrak{m}$ où $\mathfrak{m}$ parcourt les idéaux maximaux de $R$ contenant $I$, qui sont en nombre fini et dont $I$ est l'intersection (\XXX). -Dans cette situation ($I$ un idéal de dimension $0$ de $A = +Dans cette situation ($I$ un idéal de dimension $0$ de $R = k[Z_1,\ldots,Z_d]$), on dira que $I$ est \emph{géométriquement radical} lorsque $I$ est encore radical après passage à la clôture algébrique $k'$ de $k$, c'est-à-dire que $I \cdot k'[Z_1,\ldots,Z_d]$ est radical ; cela revient à demander la même chose pour $k'$ la -clôture parfaite de $k$ (\XXX). Cela équivaut à dire que $A/I$ est un +clôture parfaite de $k$ (\XXX). Cela équivaut à dire que $R/I$ est un produit de corps qui soient des extensions (finies) \emph{séparables} -de $k$. On dit aussi que $A/I$ est \emph{géométriquement réduite}. +de $k$. On dit aussi que $R/I$ est \emph{géométriquement réduite}. \begin{proposition2}[« lemme 92 » de Seidenberg]\label{critere-seidenberg-ideal-radical} Soit $I$ un idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ (où $k$ est |