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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-08-30 18:41:16 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-08-30 18:41:16 +0200
commit8155e4544f89d0bd15570f4e981b69891b320933 (patch)
treee0513ac0b67998b1ebce42fb6d596369b89880be /chapitres/bases-groebner.tex
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[Gröbner] Idéaux de dimension 0, preuve de certaines équivalences.
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-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex43
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index e0f20c5..0cb44ab 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1311,28 +1311,61 @@ dimension $\delta$) de $I$.
\end{definition2}
-\subsection{Idéaux de dimension $0$}
+\subsection{Idéaux de dimension $0$ et algèbres finies}
\begin{proposition2}
Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Les affirmations suivantes
sont équivalentes :
\begin{itemize}
-\item l'anneau quotient $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est artinien (i.e.,
- toute suite décroissante d'idéaux de cet anneau stationne),
\item l'espace vectoriel quotient $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est de
dimension finie sur $k$,
-\item la dimension affine $\delta$ de $I$ (au sens
+\item la dimension affine de $I$ (au sens
de \ref{definition-polynome-hilbert-samuel-affine}) vaut $0$,
\item (pour $f_1,\ldots,f_r$ une base de Gröbner quelconque de $I$
pour un ordre monomial quelconque :) pour tout $1\leq j\leq d$ il
existe un $1\leq i\leq r$ tel que le monôme initial de $f_i$ soit
une puissance de $Z_j$.
\end{itemize}
+De plus, dans ces conditions, le degré de $I$ (au sens
+de \ref{definition-polynome-hilbert-samuel-affine}) est égal à la
+dimension du $k$-espace vectoriel $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
-\XXX
+Pour ce qui est de l'équivalence entre les deux premiers énoncés, il
+est clair que la dimension de $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ vaut (comme
+élément de $\NN \cup \{+\infty\}$) la limite de la fonction de
+Hilbert-Samuel affine de $I$, qui est bien sûr aussi la limite du
+polynôme de Hilbert-Samuel affine de $I$ : ceci se produit si et
+seulement si son degré $\delta$ vaut $0$, auquel cas sa limite est
+égale à son coefficient constant (et unique) $A$.
+
+Montrons maintenant l'équivalence avec le troisième énoncé. Si
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est de dimension finie, si $1\leq j\leq d$, la
+famille (des classes) de $Z_j^u$ pour $u$ parcourant les entiers
+naturels, ne peut pas être libre, donc il existe un polynôme en $Z_j$
+qui appartienne à $I$, et si on appelle $Z_j^u$ son monôme initial,
+celui-ci doit être divisible par le monôme initial d'un certain $f_i$
+de la base de Gröbner donnée, qui est donc lui-même une puissance
+de $Z_j$. Réciproquement, si pour tout $j$ il existe $i$ tel que
+$f_i$ ait pour monôme initial une puissance de $Z_j$, disons
+$Z_j^{u_j}$, alors les monômes de la forme $Z_1^{v_1} \cdots
+Z_d^{v_d}$, où $v_j<u_j$ pour chaque $j$, qui sont en nombre fini,
+engendrent $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ (cf. par
+exemple \ref{algorithmes-fondamentaux-anneau-quotient}), donc
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est bien de dimension finie.
\end{proof}
+\begin{remarque2}
+On verra ailleurs (\XXX) que dans le contexte de la proposition
+ci-dessus sont encore équivalents les énoncés suivants :
+\begin{itemize}
+\item l'anneau quotient $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est artinien (i.e.,
+ toute suite décroissante d'idéaux de cet anneau stationne),
+\item tout idéal premier de $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est maximal (i.e.,
+ sa dimension de Krull vaut $0$).
+\end{itemize}
+\end{remarque2}
+
\ifx\danslelivre\undefined