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path: root/chapitres/bases-groebner.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-12-06 16:23:39 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-12-06 16:23:39 +0100
commit90a16bf7bf74308b2bec4b10ce946e2dc409127c (patch)
treeb63aa44e40edcde79557b21039e4a3e468a91d47 /chapitres/bases-groebner.tex
parent06d6885f8f65c9e606e705cf9f8b54dce14602b5 (diff)
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[Gröbner] Algorithme de calcul de l'inverse (remaniement + fin de la démonstration).
Diffstat (limited to 'chapitres/bases-groebner.tex')
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex58
1 files changed, 40 insertions, 18 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index 1c15972..a27e2d1 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1467,30 +1467,52 @@ relèvement quelconque de $x$ à $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, étant évident que
$\tilde I$ ne dépend pas de ce choix). On calcule la base de Gröbner
réduite $\tilde B$ de $\tilde I$ pour un ordre monomial $\preceq$
quelconque qui ordonne $Y$ après n'importe quel monôme en
-$Z_1,\ldots,Z_d$ : cette base est de la forme $B' \cup C$ où $B'$ est
-la base de Gröbner réduite de $I' = \tilde I \cap k[Z_1,\ldots,Z_d]$
-(pour le même ordre monomial, c'est-à-dire, pour sa restriction aux
-monômes en $Z_1,\ldots,Z_d$) et $C$ est formé de polynômes dont le
-degré partiel en $Y$ vaut exactement $1$. L'élément $x$ est
-inversible si et seulement si $I' = I$ (ce qui se teste en vérifiant
-que les bases de Gröbner réduites coïncident) et que $C$ est (soit
-vide, soit) réduit à un unique polynôme et que celui-ci est de la
-forme $Y - g$ avec $g \in k[Z_1,\ldots,Z_d]$ ; et lorsque c'est le
-cas, la classe de $g$ modulo $I$ est l'inverse recherché (quant au cas
-où $I'=I$ et $C$ est vide, il ne se produit que lorsque
-$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est l'algèbre nulle, ce cas étant trivial).
+$Z_1,\ldots,Z_d$. Cette base est de la forme $B' \cup C$ où $B' =
+\tilde B \cap k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est la base de Gröbner réduite de $I'
+= \tilde I \cap k[Z_1,\ldots,Z_d]$ (pour le même ordre monomial,
+c'est-à-dire, pour sa restriction aux monômes en $Z_1,\ldots,Z_d$) et
+$C$ est formé de polynômes dont le degré partiel en $Y$ vaut
+exactement $1$. L'élément $x$ est inversible si et seulement si $I' =
+I$ (ce qui se teste en vérifiant que les bases de Gröbner réduites
+coïncident) et que $C$ est (soit vide, soit) réduit à un unique
+polynôme de la forme $Y - g$ avec $g \in k[Z_1,\ldots,Z_d]$ ; et
+lorsque c'est le cas, la classe de $g$ modulo $I$ est l'inverse
+recherché (quant au cas où $I'=I$ et $C$ est vide, il ne se produit
+que lorsque $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est l'algèbre nulle, ce cas étant
+trivial).
\end{proof}
\begin{proof}
On sait d'après \ref{base-de-groebner-elimination} que l'ensemble $B'
= \tilde B \cap k[Z_1,\ldots,Z_d]$ des éléments de $\tilde B$ ne
faisant intervenir que les variables $Z_1,\ldots,Z_d$ est la base de
Gröbner réduite de $I' = \tilde I \cap k[Z_1,\ldots,Z_d]$ (soulignons
-que cet idéal contient $I$). Si on note $A = k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$,
-alors $k[Z_1,\ldots,Z_d,Y]/\tilde I = A[Y]/(xY-1)$. L'élément $x$ de
-$A$ est inversible si et seulement si la flèche évidente $A \to
-A[Y]/(xY-1)$ est un isomorphisme.
-
-\XXX
+que cet idéal contient $I$). On sait aussi
+d'après \ref{borne-degre-base-groebner-sur-une-variable-dominante} que
+les degrés en $Y$ des éléments de $\tilde B$ sont majorés par $1$. On
+pose $C = \tilde B \setminus B'$ l'ensemble des éléments de $\tilde B$
+faisant effectivement intervenir $Y$.
+
+Notons $A = k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ : on a alors
+$k[Z_1,\ldots,Z_d,Y]/\tilde I = A[Y]/(xY-1)$. Soit $\varphi \colon A
+\to A[Y]/(xY-1)$ le morphisme évident. L'idéal $I'$ est l'image
+réciproque dans $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ du noyau de $\varphi$.
+
+Supposons d'abord $x$ inversible dans $A$, d'inverse $x^{-1}$ : alors
+$A[Y]/(xY-1) = A[Y]/(Y-x^{-1})$ et $\varphi$ est un isomorphisme. En
+particulier, $I' = I$ (puisque $\varphi$ est injectif). D'autre part,
+si $g \in k[Z_1,\ldots,Z_d]$ représente $x^{-1}$ modulo $I$, alors $Y
+- g$ est dans $\tilde I$. Cet élément a pour monôme initial $Y$ donc
+il y a dans $\tilde B$ a un élément de monôme initial $Y$ (sauf si $A$
+est l'algèbre nulle, cas que nous écarterons), donc dans $C$ ; et
+comme la base de Gröbner $\tilde B$ était supposée réduite, cet
+élément est l'unique élément de $C$, et il est manifestement de la
+forme $Y - g$ avec $g$ représentant $x^{-1}$ modulo $I$.
+
+Réciproquement, supposons que $I' = I$, c'est-à-dire que $\varphi$ est
+injective, et que $C$ contient un élément de la forme $Y - g$ : alors
+$\varphi$ envoie la classe de $g$ sur celle de $Y$, donc $\varphi$ est
+surjectif, et c'est un isomorphisme. En particulier, $x$ est
+inversible d'inverse $\varphi^{-1}(Y)$.
\end{proof}