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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-09-12 14:14:40 +0200 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-09-12 14:14:40 +0200 |
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[Gröbner] Blabla général sur les idéaux premiers de dimension 0.
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-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 77 |
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index 7f628fe..9885128 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1404,29 +1404,30 @@ Gröbner de $I$ pour l'ordre lexicographique (où on est convenu d'ordonner les variables de la manière $Z_1 \preceq Z_2 \preceq \cdots \preceq Z_d$) est fourni par les \[ -h_i(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) - \sum_{j=1}^k a_j h_{k-j}(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) +q_i := h_i(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) - \sum_{j=1}^k a_j h_{k-j}(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) \] -où $h_j$ est le $i$-ième polynôme homogène symétrique complet de +où $h_n$ est le $n$-ième polynôme homogène symétrique complet de $Z_1,\ldots,Z_d$, c'est-à-dire la somme de tous les monômes de degré $i$ en ces variables (on pose notamment $h_0=1$), et -$h_j(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1})$ signifie qu'il est évalué en remplaçant +$h_n(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1})$ signifie qu'il est évalué en remplaçant les $i-1$ dernières variables par $0$. (Notamment, une de ces -relations, celle pour $i=1$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.) +relations, $q_d$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.) \end{proposition2} \begin{proof} \XXX \end{proof} -\begin{exemple2} +\begin{exemple2}\label{exemple-algebre-de-decomposition-universelle-non-connexe} Si $f = X^3 + X^2 -2 X -1$, la base de Gröbner donnée ci-dessus est -formée des trois relations : $Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$, $Z_2^2 + Z_1 -Z_2 + Z_2 + Z_1^2 + Z_1 - 2$ et $Z_3 + Z_2 + Z_1 + 1$. +formée des trois relations : $q_3 = Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$, $q_2 = +Z_2^2 + Z_1 Z_2 + Z_2 + Z_1^2 + Z_1 - 2$ et $q_1 = Z_3 + Z_2 + Z_1 + +1$. \end{exemple2} \begin{definition2}\label{definition-algebre-de-decomposition-universelle} -Si $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire dont on note -$a_i$ le coefficient de degré $d-i$, l'algèbre $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$, -où $I$ est l'idéal (décrit +Si $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire de degré $d$ +dont on note $a_i$ le coefficient de degré $d-i$, l'algèbre +$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$, où $I$ est l'idéal (décrit en \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}) engendré par les relations $\sigma_i = (-1)^i a_i$, est appelée \emph{algèbre de décomposition universelle} de $f$. @@ -1493,7 +1494,7 @@ c'est-à-dire qu'il est radical après passage à la clôture algébrique, puisque l'hypothèse demeure vérifiée après ce passage. \end{remarque2} -\begin{proposition2} +\begin{proposition2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-est-reduite} Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire \emph{séparable}. Si $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de décomposition universelle définie @@ -1536,6 +1537,10 @@ pour $N$ assez grand, donc $g \in I$ puisque $I$ est radical. Comme $k$ est parfait, $g$ est séparable. \end{proof} +De façon plus concise, sur un corps parfait, un idéal de dimension $0$ +de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est radical si et seulement si tous ses idéaux +d'élimination à une seule variable le sont. + Ceci nous permet de donner une conséquence algorithmique : \begin{algorithme2} Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ de @@ -1565,7 +1570,55 @@ de $I$ (ce dernier étant le plus petit idéal radical contenant $I$). \end{proof} -\subsection{Idéaux premiers de dimension $0$}\strut +\subsection{Idéaux premiers de dimension $0$} + +Il revient au même de dire d'un idéal $I$ de dimension $0$ de +$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ qu'il est premier ou qu'il est maximal (\XXX --- +Nullstellensatz), autrement dit que le quotient $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ +est un corps. Comme on l'a rappelé dans la section précédente (\XXX), +si $J$ est un idéal radical de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, +alors $k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ est le produit des $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ +où $I$ parcourt les idéaux premiers (donc maximaux) contenant $I$, +dont $J$ est alors l'intersection. + +Les deux questions suivantes vont nous préoccuper ici : comment tester +algorithmiquement si un idéal de dimension $0$ est premier, et +comment, donné un idéal $I$ radical de dimension $0$, calculer les +idéaux premiers qui le contiennent. + +\begin{remarque2} +On a vu dans la section précédente que, sur $k$ un corps parfait, un +idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est radical si et +seulement si tous ses idéaux d'élimination à une seule variable le +sont : on peut se demander si le même critère fonctionne pour tester +la primalité. Il n'en est rien : si $f \in k[X]$ est un polynôme +unitaire irréductible (donc séparable, $k$ étant supposé parfait) de +degré $d$ et $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ son algèbre de décomposition +universelle telle que définie +en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, chacun des +idéaux d'élimination $I \cap k[Z_j]$ est engendré par $f(Z_j)$ comme +on l'a vu en \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle} (et +utilisé en \ref{algebre-de-decomposition-universelle-est-reduite} pour +conclure que $I$ est radical) ; pourtant $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ n'est +pas nécessairement un corps, comme l'exemple suivant va le montrer. + +Dans la situation +de \ref{exemple-algebre-de-decomposition-universelle-non-connexe}, +c'est-à-dire l'algèbre de décomposition universelle de $f = X^3 + X^2 +-2 X -1$, aucun des deux polynômes $Z_2 - Z_1^2 + 2$ et $Z_2 + Z_1^2 + +Z_1 - 1$ n'appartient à l'idéal $I$ des relations de l'algèbre (vu que +son terme initial n'est pas divisible par aucun de ceux de la base de +Gröbner), et pourtant leur produit $Z_2^2 + Z_2 Z_1 + Z_2 - Z_1^4 - +Z_1^3 + 3 Z_1^2 + 2 Z_1 - 2$ appartient à $I$ (il s'écrit comme $q_2 - +Z_1 q_3$). + +On verra en fait (\XXX) que, si $f$ est un polynôme unitaire +irréductible séparable de degré $d$, son algèbre de décomposition +universelle est un corps si et seulement si le groupe de Galois de $f$ +est $\mathfrak{S}_d$, et plus généralement le sous-groupe des +permutations des variables préservant un idéal premier fixé +contenant $I$ est justement le groupe de Galois de $f$. +\end{remarque2} |