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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-09-12 14:14:40 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-09-12 14:14:40 +0200
commit998ab3338caa64cd54912f9bb406072b61ab643b (patch)
tree0dd59ec85bf63e1e2206768ec661c6e1326557af /chapitres/bases-groebner.tex
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[Gröbner] Blabla général sur les idéaux premiers de dimension 0.
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-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex77
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index 7f628fe..9885128 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1404,29 +1404,30 @@ Gröbner de $I$ pour l'ordre lexicographique (où on est convenu
d'ordonner les variables de la manière $Z_1 \preceq Z_2 \preceq \cdots
\preceq Z_d$) est fourni par les
\[
-h_i(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) - \sum_{j=1}^k a_j h_{k-j}(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1})
+q_i := h_i(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) - \sum_{j=1}^k a_j h_{k-j}(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1})
\]
-où $h_j$ est le $i$-ième polynôme homogène symétrique complet de
+où $h_n$ est le $n$-ième polynôme homogène symétrique complet de
$Z_1,\ldots,Z_d$, c'est-à-dire la somme de tous les monômes de degré
$i$ en ces variables (on pose notamment $h_0=1$), et
-$h_j(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1})$ signifie qu'il est évalué en remplaçant
+$h_n(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1})$ signifie qu'il est évalué en remplaçant
les $i-1$ dernières variables par $0$. (Notamment, une de ces
-relations, celle pour $i=1$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.)
+relations, $q_d$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.)
\end{proposition2}
\begin{proof}
\XXX
\end{proof}
-\begin{exemple2}
+\begin{exemple2}\label{exemple-algebre-de-decomposition-universelle-non-connexe}
Si $f = X^3 + X^2 -2 X -1$, la base de Gröbner donnée ci-dessus est
-formée des trois relations : $Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$, $Z_2^2 + Z_1
-Z_2 + Z_2 + Z_1^2 + Z_1 - 2$ et $Z_3 + Z_2 + Z_1 + 1$.
+formée des trois relations : $q_3 = Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$, $q_2 =
+Z_2^2 + Z_1 Z_2 + Z_2 + Z_1^2 + Z_1 - 2$ et $q_1 = Z_3 + Z_2 + Z_1 +
+1$.
\end{exemple2}
\begin{definition2}\label{definition-algebre-de-decomposition-universelle}
-Si $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire dont on note
-$a_i$ le coefficient de degré $d-i$, l'algèbre $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$,
-où $I$ est l'idéal (décrit
+Si $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire de degré $d$
+dont on note $a_i$ le coefficient de degré $d-i$, l'algèbre
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$, où $I$ est l'idéal (décrit
en \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}) engendré par
les relations $\sigma_i = (-1)^i a_i$, est appelée \emph{algèbre de
décomposition universelle} de $f$.
@@ -1493,7 +1494,7 @@ c'est-à-dire qu'il est radical après passage à la clôture algébrique,
puisque l'hypothèse demeure vérifiée après ce passage.
\end{remarque2}
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-est-reduite}
Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire
\emph{séparable}. Si $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de
décomposition universelle définie
@@ -1536,6 +1537,10 @@ pour $N$ assez grand, donc $g \in I$ puisque $I$ est radical. Comme
$k$ est parfait, $g$ est séparable.
\end{proof}
+De façon plus concise, sur un corps parfait, un idéal de dimension $0$
+de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est radical si et seulement si tous ses idéaux
+d'élimination à une seule variable le sont.
+
Ceci nous permet de donner une conséquence algorithmique :
\begin{algorithme2}
Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ de
@@ -1565,7 +1570,55 @@ de $I$ (ce dernier étant le plus petit idéal radical contenant $I$).
\end{proof}
-\subsection{Idéaux premiers de dimension $0$}\strut
+\subsection{Idéaux premiers de dimension $0$}
+
+Il revient au même de dire d'un idéal $I$ de dimension $0$ de
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ qu'il est premier ou qu'il est maximal (\XXX ---
+Nullstellensatz), autrement dit que le quotient $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$
+est un corps. Comme on l'a rappelé dans la section précédente (\XXX),
+si $J$ est un idéal radical de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$,
+alors $k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ est le produit des $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$
+où $I$ parcourt les idéaux premiers (donc maximaux) contenant $I$,
+dont $J$ est alors l'intersection.
+
+Les deux questions suivantes vont nous préoccuper ici : comment tester
+algorithmiquement si un idéal de dimension $0$ est premier, et
+comment, donné un idéal $I$ radical de dimension $0$, calculer les
+idéaux premiers qui le contiennent.
+
+\begin{remarque2}
+On a vu dans la section précédente que, sur $k$ un corps parfait, un
+idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est radical si et
+seulement si tous ses idéaux d'élimination à une seule variable le
+sont : on peut se demander si le même critère fonctionne pour tester
+la primalité. Il n'en est rien : si $f \in k[X]$ est un polynôme
+unitaire irréductible (donc séparable, $k$ étant supposé parfait) de
+degré $d$ et $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ son algèbre de décomposition
+universelle telle que définie
+en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, chacun des
+idéaux d'élimination $I \cap k[Z_j]$ est engendré par $f(Z_j)$ comme
+on l'a vu en \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle} (et
+utilisé en \ref{algebre-de-decomposition-universelle-est-reduite} pour
+conclure que $I$ est radical) ; pourtant $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ n'est
+pas nécessairement un corps, comme l'exemple suivant va le montrer.
+
+Dans la situation
+de \ref{exemple-algebre-de-decomposition-universelle-non-connexe},
+c'est-à-dire l'algèbre de décomposition universelle de $f = X^3 + X^2
+-2 X -1$, aucun des deux polynômes $Z_2 - Z_1^2 + 2$ et $Z_2 + Z_1^2 +
+Z_1 - 1$ n'appartient à l'idéal $I$ des relations de l'algèbre (vu que
+son terme initial n'est pas divisible par aucun de ceux de la base de
+Gröbner), et pourtant leur produit $Z_2^2 + Z_2 Z_1 + Z_2 - Z_1^4 -
+Z_1^3 + 3 Z_1^2 + 2 Z_1 - 2$ appartient à $I$ (il s'écrit comme $q_2 -
+Z_1 q_3$).
+
+On verra en fait (\XXX) que, si $f$ est un polynôme unitaire
+irréductible séparable de degré $d$, son algèbre de décomposition
+universelle est un corps si et seulement si le groupe de Galois de $f$
+est $\mathfrak{S}_d$, et plus généralement le sous-groupe des
+permutations des variables préservant un idéal premier fixé
+contenant $I$ est justement le groupe de Galois de $f$.
+\end{remarque2}