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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-12-20 19:43:01 +0100 |
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[Gröbner] Suite du nettoyage des écuries d'Augias.
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index cd17dd8..38554a0 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1523,26 +1523,26 @@ alors manifestement satisfaite de $J$ si elle l'est de $I$. \subsection{Algèbre de décomposition universelle d'un polynôme}\label{section-algebre-de-decomposition-universelle} \begin{lemme2}\label{lemme-modules-de-cauchy} -Soit $\mathfrak{F}(Z_1,\ldots,Z_d|T) = \prod_{i=1}^d(T-Z_i) \in -\ZZ[Z_1,\ldots,Z_d,T]$, et définissons par récurrence sur $i$ +Soit $\mathfrak{F}(W_1,\ldots,W_d|T) = \prod_{i=1}^d(T-W_i) \in +\ZZ[W_1,\ldots,W_d,T]$, et définissons par récurrence sur $i$ \[ \begin{array}{c} -\mathfrak{F}_1(\underline{Z}|T_1) = -\mathfrak{F}(\underline{Z}|T_1)\\[.75ex] +\mathfrak{F}_1(\underline{W}|T_1) = +\mathfrak{F}(\underline{W}|T_1)\\[.75ex] \displaystyle -\mathfrak{F}_{i+1}(\underline{Z}|T_1,\ldots,T_{i+1}) -= \frac{\mathfrak{F}_i(\underline{Z}|T_1,\ldots,T_{i-1},T_i) - - \mathfrak{F}_i(\underline{Z}|T_1,\ldots,T_{i-1},T_{i+1})}{T_i - T_{i+1}} +\mathfrak{F}_{i+1}(\underline{W}|T_1,\ldots,T_{i+1}) += \frac{\mathfrak{F}_i(\underline{W}|T_1,\ldots,T_{i-1},T_i) - + \mathfrak{F}_i(\underline{W}|T_1,\ldots,T_{i-1},T_{i+1})}{T_i - T_{i+1}} \end{array} \] -(où $\underline{Z}$ est une abréviation pour $Z_1,\ldots,Z_d$). Alors -$\mathfrak{F}_i(Z_1,\ldots,Z_d | T_1,\ldots,T_i)$ (défini pour $1\leq +(où $\underline{W}$ est une abréviation pour $W_1,\ldots,W_d$). Alors +$\mathfrak{F}_i(W_1,\ldots,W_d | T_1,\ldots,T_i)$ (défini pour $1\leq i \leq d$) est un polynôme à coefficients entiers en les variables -$Z_1,\ldots,Z_d$ et $T_1,\ldots,T_i$, et il est complètement +$W_1,\ldots,W_d$ et $T_1,\ldots,T_i$, et il est complètement symétrique en chacun de ces jeux de variables. On a exactement \[ -\mathfrak{F}_i(Z_1,\ldots,Z_d | T_1,\ldots,T_i) -= \sum_{j=0}^{d-i+1} (-1)^j e_j(Z_1,\ldots,Z_d)\, h_{d-i+1-j}(T_1,\ldots,T_i) +\mathfrak{F}_i(W_1,\ldots,W_d | T_1,\ldots,T_i) += \sum_{j=0}^{d-i+1} (-1)^j e_j(W_1,\ldots,W_d)\, h_{d-i+1-j}(T_1,\ldots,T_i) \] où $e_j$ désigne le $j$-ième polynôme symétrique élémentaire (et $e_0 = 1$) et $h_j$ le $j$-ième polynôme symétrique complet (c'est-à-dire @@ -1550,19 +1550,29 @@ la somme de tous les monômes de degré $j$ en ses variables ; on pose notamment $h_0 = 1$). De plus, si $u_1,\ldots,u_i$ sont deux à deux distincts, alors -$\mathfrak{F}_i(Z_1,\ldots,Z_d | Z_{u_1},\ldots,Z_{u_i}) = 0$. +$\mathfrak{F}_i(W_1,\ldots,W_d | W_{u_1},\ldots,W_{u_i}) = 0$. Enfin, l'unique polynôme $\mathfrak{C}_i(E_1,\ldots,E_d | T_1,\ldots,T_i)$ à coefficients entiers en les variables $E_1,\ldots,E_d$ et $T_1,\ldots,T_i$ qui vérifie -$\mathfrak{C}_i(e_1(\underline{Z}),\ldots,e_d(\underline{Z}) | -T_1,\ldots,T_i) = \mathfrak{F}_i(Z_1,\ldots,Z_d | T_1,\ldots,T_i)$ est +$\mathfrak{C}_i(e_1(\underline{W}),\ldots,e_d(\underline{W}) | +T_1,\ldots,T_i) = \mathfrak{F}_i(W_1,\ldots,W_d | T_1,\ldots,T_i)$ est donné par \[ \mathfrak{C}_i(E_1,\ldots,E_d | T_1,\ldots,T_i) = h_{d-i+1}(T_1,\ldots,T_i) + \sum_{j=1}^{d-i+1} (-1)^j E_j \, h_{d-i+1-j}(T_1,\ldots,T_i) \] +et on a +\begin{align*} +X^d + \sum_{i=1}^d (-1)^i E_i X^{d-i} &= +\mathfrak{C}_1(\underline{E} | T_1) + (X-T_1)\, +\mathfrak{C}_2(\underline{E} | T_1,T_2) \\ +& + \cdots + (X-T_1)\cdots(X-T_{d-1})\, \mathfrak{C}_d(\underline{E} | +T_1,\ldots,T_{d-1})\\ +&+ (X-T_1)\cdots(X-T_d) +\end{align*} +(où $\underline{E}$ est une abréviation pour $E_1,\ldots,E_d$). \end{lemme2} \XXX @@ -1586,64 +1596,40 @@ les $i-1$ dernières variables par $0$. (Notamment, une de ces relations, $q_d$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.) \end{proposition2} \begin{proof} -Remarquons tout d'abord que $q_d(Z_1) = f(Z_1)$ et que -$q_i(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) = (q_{i+1}(Z_1,\ldots,Z_{d-i-1},Z_{d-i}) - -q_{i+1}(Z_1,\ldots,Z_{d-i-1},Z_{d-i+1})) / (Z_{d-i}-Z_{d-i+1})$ (cette -division étant exacte dans $k[Z_1,\ldots,Z_d]$) : en effet, la -première affirmation est évidente et la seconde résulte du fait -correspondant sur les $h_i$, à savoir que $h_i(Z_1,\ldots,Z_n) = -(h_{i+1}(Z_1,\ldots,Z_{n-1},Z_n) - -h_{i+1}(Z_1,\ldots,Z_{n-1},Z_{n+1})) / (Z_n - Z_{n+1})$, qui résulte -lui-même de ce que $(Z_n^{j+1}-Z_{n+1}^{j+1})/(Z_n-Z_{n+1})$ est la -somme $h_j(Z_n,Z_{n+1})$ de tous les monômes de degré $j$ en -$Z_n,Z_{n+1}$. +Avec les notations du lemme précédent, remarquons que $q_i = +\mathfrak{C}_{d-i+1}(-a_1,\ldots,(-a)^d\,a_d | Z_1,\ldots,Z_{d-i+1})$. On en déduit l'observation suivante : si $C$ est une $k$-algèbre et si -on a $f(X) = \prod_{i=1}^d (X - z_i) \in C[X]$ pour certains -$z_1,\ldots,z_d \in C$, alors $q_i(z_1,\ldots,z_{d-i+1}) = 0 \in C$. -\XXX +on a $f(X)$ s'écrit comme $\prod_{i=1}^d (X - z_i) \in C[X]$ pour +certains $z_1,\ldots,z_d \in C$, alors $q_i(z_1,\ldots,z_{d-i+1}) = 0 +\in C$. En effet, on a $e_i(z_1,\ldots,z_d) = (-1)^i a_i$ donc +$q_i(z_1,\ldots,z_{d-i+1}) = +\mathfrak{C}_{d-i+1}(-a_1,\ldots,(-a)^d\,a_d | z_1,\ldots,z_{d-i+1}) = +\mathfrak{F}_{d-i+1}(z_1,\ldots,z_d | z_1,\ldots,z_{d-i+1}) = 0$. Appelons maintenant $J$ l'idéal engendré par $q_1,\ldots,q_d$, et posons $A = k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ et $B = k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$. Il est clair que $f(X) = \prod_{i=1}^d (X-Z_i) \in A[X]$ en développant le -membre de droite : en particulier, $q_d$ s'annule dans $A$ -(appartient à $I$), ce qui permet d'écrire $q_d(X) = (X-Z_1)$ - -\XXX \XXX \XXX - -Commençons par montrer l'identité suivante sur les polynômes (à -coefficients entiers) : -\[ -h_i(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) + \sum_{j=1}^i (-1)^j e_j(Z_1,\ldots,Z_d)\, h_{i-j}(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) = 0 -\] -qui prouve que $q_i$ appartient bien à $I$. Pour la prouver, on -commence par montrer la même identité -\[ -h_i(Z_1,\ldots,Z_n) + \sum_{j=1}^i (-1)^j e_j(Z_1,\ldots,Z_n)\, h_{i-j}(Z_1,\ldots,Z_n) = 0 -\] -sur un même jeu $Z_1,\ldots,Z_n$ de variables : la précédente s'en -déduit en prenant $n=d-i+1$ et écrivant $e_j(Z_1,\ldots,Z_d) = -\sum_{u=0}^j e_{j-u}(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) \, -e_u(Z_{d-i+2},\ldots,Z_d)$ et en regroupant les termes avec le même -facteur $e_u(Z_{d-i+2},\ldots,Z_d)$. Enfin, pour montrer cette -dernière égalité, on peut par exemple considérer les séries formelles -dans $\mathbb{Z}[Z_1,\ldots,Z_n][[T]]$ définies par -\[ -H := \prod_{i=1}^n \frac{1}{1-T Z_i} = \sum_{j=0}^{+\infty} h_j(Z_1,\ldots,Z_n)\, T^j -\] -et -\[ -E := \prod_{i=1}^n (1+T Z_i) = \sum_{j=0}^{n} e_j(Z_1,\ldots,Z_n)\, T^j -\] -(ces identités étant faciles à vérifier) : il est alors clair que -l'inverse de $H$ est $E(-T)$, ce qui donne l'identité voulue. - -Soit $J$ l'idéal engendré par $q_1,\ldots,q_d$ (on vient de montrer $J -\subseteq I$) et $J^@$ l'idéal engendré par -$\initial(q_1),\ldots,\initial(q_d)$ c'est-à-dire -$Z_d,Z_{d-1}^2,\ldots,Z_1^d$. On a $J^@ \subseteq \initial(J) -\subseteq \initial(I)$ et on voudrait prouver qu'il y a égalité \XXX ---- Je n'y comprends rien. +membre de droite : d'après ce qu'on vient de montrer, $q_i$ s'annule +dans $A$ (c'est-à-dire, appartient à $I$), donc $J \subseteq I$. + +Mais d'autre part, si dans l'égalité $X^d + \sum_{i=1}^d (-1)^i E_i +X^{d-i} = \mathfrak{C}_1(\underline{E} | T_1) + (X-T_1)\, +\mathfrak{C}_2(\underline{E} | T_1,T_2) + \cdots + +(X-T_1)\cdots(X-T_{d-1})\, \mathfrak{C}_d(\underline{E} | +T_1,\ldots,T_{d-1}) + (X-T_1)\cdots(X-T_d)$ (qui a lieu dans +$\ZZ[E_1,\ldots,E_d,T_1,\ldots,T_d,X]$) on remplace chaque $E_i$ par +$(-1)^i a_i$ et chaque $T_i$ par $Z_i$, on trouve $f(X) = q_d + +(X-Z_1)\, q_{d-1} + \cdots + (X-Z_1)\cdots(X-Z_{d-1})\, q_1 + +(X-Z_1)\cdots(X-Z_d)$. En particulier, dans $B$, on a $f(X) = (X-Z_1) +\cdot (X-Z_d)$, c'est-à-dire que $e_i(Z_1,\ldots,Z_d) = (-1)^i a_i$, +ou encore que cette relation est dans $J$. On vient donc de montrer +$I \subseteq J$. + +À ce stade, nous savons que $I$ coïncide avec l'idéal $J$ engendré par +$q_1,\ldots,q_d$. Il reste encore à montrer que ceux-ci en sont une +base de Gröbner. \XXX : ceci va résulter du fait que leurs termes de +tête, $Z_{d-i+1}^i$ sont premiers entre eux. \end{proof} \begin{exemple2}\label{exemple-algebre-de-decomposition-universelle-non-connexe} |