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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-09-06 17:20:18 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-09-06 17:20:18 +0200
commitba1c5a2ae3e7230a16093255564f40e254e7f2bd (patch)
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[Gröbner] Radicalité de l'algèbre de décomposition universelle d'un polynôme séparable.
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-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex30
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index d2870b8..84e63f7 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1394,7 +1394,8 @@ où $h_j$ est le $i$-ième polynôme homogène symétrique complet de
$Z_1,\ldots,Z_d$, c'est-à-dire la somme de tous les monômes de degré
$i$ en ces variables (on pose notamment $h_0=1$), et
$h_j(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1})$ signifie qu'il est évalué en remplaçant
-les $i-1$ dernières variables par $0$.
+les $i-1$ dernières variables par $0$. (Notamment, une de ces
+relations, celle pour $i=1$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.)
\end{proposition2}
\begin{proof}
\XXX
@@ -1429,7 +1430,7 @@ un produit de corps, à savoir les $A/\mathfrak{m}$ où $\mathfrak{m}$
parcourt les idéaux maximaux de $A$ contenant $I$, qui sont en nombre
fini et dont $I$ est l'intersection (\XXX).
-\begin{proposition2}[« lemme 92 » de Seidenberg]
+\begin{proposition2}[« lemme 92 » de Seidenberg]\label{critere-seidenberg-ideal-radial}
Soit $I$ un idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que,
pour chaque $1\leq i\leq d$, l'idéal $I$ contienne un polynôme $g \in
k[Z_i]$ (ne faisant intervenir que de la variable $Z_i$)
@@ -1470,6 +1471,31 @@ $\varphi^{-1}(\mathfrak{m}_i)$, et comme $k[Z_1,\ldots,Z_d] /
(puisque $\varphi$ est surjectif), ces idéaux sont maximaux.
\end{proof}
+\begin{proposition2}
+Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire
+\emph{séparable}. Si $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de
+décomposition universelle définie
+en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, alors
+celle-ci est réduite (l'idéal $I$ est radical).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+La proposition \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}
+assure que $I$ est de dimension $0$ et contient le polynôme $f(Z_1)$,
+et aussi, pour des raisons de symétrie entre les variables, chacun des
+$f(Z_i)$. Ceci fournit précisément les hypothèses de la proposition
+précédente, qui permet de conclure.
+\end{proof}
+
+\begin{remarque2}
+En principe, la preuve de la
+proposition \ref{critere-seidenberg-ideal-radial} est constructive en
+ce sens qu'elle fournit des idéaux maximaux dont $I$ soit
+l'intersection, à condition d'être capable d'effectuer des
+factorisations dans tous les corps de rupture qui interviennent. Ceci
+fournira, en fait, une méthode théorique pour calculer des groupes de
+Galois, à rapprocher de \XXX.
+\end{remarque2}
+
\subsection{Idéaux premiers de dimension $0$}\strut