[Gröbner] « Lemme 92 » de Seidenberg (critère pour qu'un idéal de dimension 0 soit radical).

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@@ -1429,6 +1429,47 @@ un produit de corps, à savoir les $A/\mathfrak{m}$ où $\mathfrak{m}$
 parcourt les idéaux maximaux de $A$ contenant $I$, qui sont en nombre
 fini et dont $I$ est l'intersection (\XXX).
 
+\begin{proposition2}[« lemme 92 » de Seidenberg]
+Soit $I$ un idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que,
+pour chaque $1\leq i\leq d$, l'idéal $I$ contienne un polynôme $g \in
+k[Z_i]$ (ne faisant intervenir que de la variable $Z_i$)
+\emph{séparable}.  Alors $I$ est radical.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+On va montrer que $I$ est intersection finie d'idéaux maximaux.
+
+On procède par récurrence sur $d$.  Si $d=1$, comme tout diviseur d'un
+polynôme séparable est lui-même séparable, le générateur unitaire
+de $I$ est séparable, donc s'écrit comme produit de polynômes
+séparables irréductibles deux-à-deux étrangers entre eux
+$g_1,\ldots,g_r$, de sorte que (par le lemme chinois) $I$ est
+l'intersection des idéaux maximaux engendrés par les différents $g_i$.
+
+Pour $d>1$, l'hypothèse assure l'existence d'un $g \in I \cap k[Z_d]$
+séparable.  Écrivons $g = g_1 \cdots g_r$ où les $g_i$ sont séparables
+irréductibles et deux-à-deux étrangers entre eux.  Alors $I$ est
+l'intersection des idéaux $I+(g_i)$ (\XXX).  Puisqu'on cherche à
+prouver que $I$ est intersection finie d'idéaux maximaux, il suffit de
+le prouver pour un $I+(g_i)$, ce qui permet de supposer que $g$ est
+irréductible (et toujours séparable).
+
+Soit $K = k[Z_d]/(g)$ le corps de rupture de $g$.  On a un morphisme
+$\varphi \colon k[Z_1,\ldots,Z_d] \to K[Z_1,\ldots,Z_{d-1}]$.  L'idéal
+$\varphi(I)$ vérifie les hypothèses faites sur $I$ lui-même : il est
+de dimension $0$ (car l'image par $\varphi$ d'une famille finie
+génératrice comme $k$-espace vectoriel de $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est
+génératrice comme $K$-espace vectoriel de
+$K[Z_1,\ldots,Z_{d-1}]/\varphi(I)$), et si $g^\natural \in I \cap
+k[Z_i]$ est séparable alors $\varphi(g^\natural) \in \varphi(I) \cap
+K[Z_i]$.  Il existe donc un nombre fini d'idéaux maximaux
+$\mathfrak{m}_i$ de $K[Z_1,\ldots,Z_{d-1}]$ dont $\varphi(I)$ soit
+intersection.  Mais alors $\varphi^{-1}(\varphi(I))$, qui est égal
+à $I + \ker\varphi = I$, est l'intersection des
+$\varphi^{-1}(\mathfrak{m}_i)$, et comme $k[Z_1,\ldots,Z_d] /
+\varphi^{-1}(\mathfrak{m}_i) = K[Z_1,\ldots,Z_{d-1}] / \mathfrak{m}_i$
+(puisque $\varphi$ est surjectif), ces idéaux sont maximaux.
+\end{proof}
+
 
 \subsection{Idéaux premiers de dimension $0$}\strut