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author | David A. Madore <david@procyon> | 2012-09-06 17:10:14 +0200 |
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committer | David A. Madore <david@procyon> | 2012-09-06 17:10:14 +0200 |
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[Gröbner] « Lemme 92 » de Seidenberg (critère pour qu'un idéal de dimension 0 soit radical).
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index b8a6168..d2870b8 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1429,6 +1429,47 @@ un produit de corps, à savoir les $A/\mathfrak{m}$ où $\mathfrak{m}$ parcourt les idéaux maximaux de $A$ contenant $I$, qui sont en nombre fini et dont $I$ est l'intersection (\XXX). +\begin{proposition2}[« lemme 92 » de Seidenberg] +Soit $I$ un idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que, +pour chaque $1\leq i\leq d$, l'idéal $I$ contienne un polynôme $g \in +k[Z_i]$ (ne faisant intervenir que de la variable $Z_i$) +\emph{séparable}. Alors $I$ est radical. +\end{proposition2} +\begin{proof} +On va montrer que $I$ est intersection finie d'idéaux maximaux. + +On procède par récurrence sur $d$. Si $d=1$, comme tout diviseur d'un +polynôme séparable est lui-même séparable, le générateur unitaire +de $I$ est séparable, donc s'écrit comme produit de polynômes +séparables irréductibles deux-à-deux étrangers entre eux +$g_1,\ldots,g_r$, de sorte que (par le lemme chinois) $I$ est +l'intersection des idéaux maximaux engendrés par les différents $g_i$. + +Pour $d>1$, l'hypothèse assure l'existence d'un $g \in I \cap k[Z_d]$ +séparable. Écrivons $g = g_1 \cdots g_r$ où les $g_i$ sont séparables +irréductibles et deux-à-deux étrangers entre eux. Alors $I$ est +l'intersection des idéaux $I+(g_i)$ (\XXX). Puisqu'on cherche à +prouver que $I$ est intersection finie d'idéaux maximaux, il suffit de +le prouver pour un $I+(g_i)$, ce qui permet de supposer que $g$ est +irréductible (et toujours séparable). + +Soit $K = k[Z_d]/(g)$ le corps de rupture de $g$. On a un morphisme +$\varphi \colon k[Z_1,\ldots,Z_d] \to K[Z_1,\ldots,Z_{d-1}]$. L'idéal +$\varphi(I)$ vérifie les hypothèses faites sur $I$ lui-même : il est +de dimension $0$ (car l'image par $\varphi$ d'une famille finie +génératrice comme $k$-espace vectoriel de $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est +génératrice comme $K$-espace vectoriel de +$K[Z_1,\ldots,Z_{d-1}]/\varphi(I)$), et si $g^\natural \in I \cap +k[Z_i]$ est séparable alors $\varphi(g^\natural) \in \varphi(I) \cap +K[Z_i]$. Il existe donc un nombre fini d'idéaux maximaux +$\mathfrak{m}_i$ de $K[Z_1,\ldots,Z_{d-1}]$ dont $\varphi(I)$ soit +intersection. Mais alors $\varphi^{-1}(\varphi(I))$, qui est égal +à $I + \ker\varphi = I$, est l'intersection des +$\varphi^{-1}(\mathfrak{m}_i)$, et comme $k[Z_1,\ldots,Z_d] / +\varphi^{-1}(\mathfrak{m}_i) = K[Z_1,\ldots,Z_{d-1}] / \mathfrak{m}_i$ +(puisque $\varphi$ est surjectif), ces idéaux sont maximaux. +\end{proof} + \subsection{Idéaux premiers de dimension $0$}\strut |