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author | David A. Madore <david@procyon> | 2012-09-20 16:19:20 +0200 |
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committer | David A. Madore <david@procyon> | 2012-09-20 16:19:20 +0200 |
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[Gröbner] Démonstration de la proposition de "netteté générique".
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-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 53 |
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index f4c2294..dc68db2 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1527,7 +1527,9 @@ remarque \ref{remarque-separabilite-dans-critere-de-seidenberg} : Soit $k$ un corps parfait, et soit $I$ un idéal radical de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Alors pour tout $1\leq j\leq d$, l'idéal $I$ contient un polynôme $g \in k[Z_j]$ (ne faisant -intervenir que de la variable $Z_j$) séparable. +intervenir que de la variable $Z_j$) séparable, autrement dit $I \cap +k[Z_j]$ est lui-même radical (i.e., engendré par un polynôme +séparable). \end{proposition2} \begin{proof} Sans perte de généralité on peut supposer $j=1$. @@ -1712,7 +1714,7 @@ $k$ est infini), « fabriquer » une variable $Y = c_1 X_1 + \cdots + c_d X_d$, telle que l'idéal complété par cette relation soit en position nette par rapport à $Y$. -\begin{proposition2} +\begin{proposition2}\label{nettete-projection-generique-dimension-0} Soit $I$ un idéal radical de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ où $k$ est un corps parfait. Soient $C_1,\ldots,C_d$ et $Y$ de nouvelles indéterminées, notons $K = k(C_1,\ldots,C_d)$, et soit $\tilde I$ @@ -1720,6 +1722,53 @@ l'idéal de $K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ et par $Y - (C_1 X_1 + \cdots + C_d X_d)$. Alors $\tilde I$ est en position nette par rapport à $Y$. \end{proposition2} +\begin{proof} +Commençons par appeler $\dot I$ l'idéal de $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ +engendré par $I$. Comme toute base de Gröbner de $I$ constitue une +base de Gröbner de $\dot I$ (pour le même ordre monomial), les +conditions assurant que $I$ est radical de dimension $0$ +(\ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} et +\ref{critere-seidenberg-ideal-radical}) assurent aussi que $\dot I$ +est radical de dimension $0$. Par ailleurs, le quotient $K[Y, + Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$ est isomorphe à $K[Z_1,\ldots,Z_d]/\dot +I$, l'isomorphisme consistant à envoyer $Y$ sur $C_1 X_1 + \cdots + +C_d X_d$ (modulo $\dot I$) ; ceci assure notamment que $\tilde I$ est +lui ausssi radical de dimension $0$. + +Remarquons le fait suivant : si $h \in \dot I$ alors $\frac{\partial + h}{\partial C_i} \in \dot I$ pour tout $1\leq i\leq d$. En effet, +si $g_1,\ldots,g_r$ (dans $k[Z_1,\ldots,Z_d]$) sont des générateurs +de $I$, ils engendrent aussi $\dot I$ (dans $K[Z_1,\ldots,Z_d]$) et +peut écrire $h = h_1 g_1 + \cdots + h_r g_r$ pour certains $h_i \in +K[Z_1,\ldots,Z_d]$, et en dérivant cette égalité par rapport à $C_i$ +(les $g_i$ ayant une dérivée nulle), on voit que $\frac{\partial + h}{\partial C_i}$ s'écrit aussi comme combinaison des $g_i$. + +Soit maintenant $f \in K[Y]$ le polynôme unitaire engendrant l'idéal +$\tilde I \cap K[Y]$, autrement dit, le polynôme minimal de (l'image +modulo $\tilde I$ de) $Y$ dans $K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$. +D'après \ref{critere-seidenberg-ideal-radical-reciproque}, ce polynôme +est séparable : on peut donc écrire une relation $f'U + fV = 1 \in +K[Y]$. Soit $g \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ défini en substituant $C_1 Z_1 ++ \cdots + C_d Z_d$ à la variable $Y$ dans $f$ : ce polynôme $g$ +appartient encore à $\tilde I$, et même $\dot I$, puisqu'il s'agit de +dire que son image s'annule dans $K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I \cong +K[Z_1,\ldots,Z_d]/\dot I$, image qui est la même que celle de $f$. +D'après le fait remarqué plus haut, on a $\frac{\partial g}{\partial + C_i} = 0$ pour tout $1\leq i\leq d$. Ceci signifie que +$\frac{\partial f}{\partial C_i} + Z_i f'$, une fois substitué $C_1 +Z_1 + \cdots + C_d Z_d$ à $Y$, appartient à $\dot I$ (rappelons que +$f'$ désigne la dérivée de $f$ par rapport à $Y$). Par conséquent, +$\frac{\partial f}{\partial C_i} + Z_i f'$ lui-même appartient +à $\tilde I$ (toujours en utilisant l'isomorphisme $K[Y, + Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I \cong K[Z_1,\ldots,Z_d]/\dot I$). En +multipliant par $U$, on a donc $U \frac{\partial f}{\partial C_i} + +Z_i - V f \in \tilde I$. C'est-à-dire que $Z_i$ est congru, +modulo $\tilde I$, à un polynôme $U \frac{\partial f}{\partial C_i} - +V f \in K[Y]$, ce qui affirme bien que $K[Y]/(\tilde I \cap K[Y]) \to +K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$ est surjectif, autrement dit que +$\tilde I$ est en position nette par rapport à $Y$. +\end{proof} |