[Gröbner] Démonstration de la proposition de "netteté générique".

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@@ -1527,7 +1527,9 @@ remarque \ref{remarque-separabilite-dans-critere-de-seidenberg} :
 Soit $k$ un corps parfait, et soit $I$ un idéal radical de
 dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$.  Alors pour tout $1\leq j\leq
 d$, l'idéal $I$ contient un polynôme $g \in k[Z_j]$ (ne faisant
-intervenir que de la variable $Z_j$) séparable.
+intervenir que de la variable $Z_j$) séparable, autrement dit $I \cap
+k[Z_j]$ est lui-même radical (i.e., engendré par un polynôme
+séparable).
 \end{proposition2}
 \begin{proof}
 Sans perte de généralité on peut supposer $j=1$.
@@ -1712,7 +1714,7 @@ $k$ est infini), « fabriquer » une variable $Y = c_1 X_1 + \cdots +
 c_d X_d$, telle que l'idéal complété par cette relation soit en
 position nette par rapport à $Y$.
 
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{nettete-projection-generique-dimension-0}
 Soit $I$ un idéal radical de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ où
 $k$ est un corps parfait.  Soient $C_1,\ldots,C_d$ et $Y$ de nouvelles
 indéterminées, notons $K = k(C_1,\ldots,C_d)$, et soit $\tilde I$
@@ -1720,6 +1722,53 @@ l'idéal de $K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ et par $Y - (C_1
 X_1 + \cdots + C_d X_d)$.  Alors $\tilde I$ est en position nette par
 rapport à $Y$.
 \end{proposition2}
+\begin{proof}
+Commençons par appeler $\dot I$ l'idéal de $K[Z_1,\ldots,Z_d]$
+engendré par $I$.  Comme toute base de Gröbner de $I$ constitue une
+base de Gröbner de $\dot I$ (pour le même ordre monomial), les
+conditions assurant que $I$ est radical de dimension $0$
+(\ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} et
+\ref{critere-seidenberg-ideal-radical}) assurent aussi que $\dot I$
+est radical de dimension $0$.  Par ailleurs, le quotient $K[Y,
+  Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$ est isomorphe à $K[Z_1,\ldots,Z_d]/\dot
+I$, l'isomorphisme consistant à envoyer $Y$ sur $C_1 X_1 + \cdots +
+C_d X_d$ (modulo $\dot I$) ; ceci assure notamment que $\tilde I$ est
+lui ausssi radical de dimension $0$.
+
+Remarquons le fait suivant : si $h \in \dot I$ alors $\frac{\partial
+  h}{\partial C_i} \in \dot I$ pour tout $1\leq i\leq d$.  En effet,
+si $g_1,\ldots,g_r$ (dans $k[Z_1,\ldots,Z_d]$) sont des générateurs
+de $I$, ils engendrent aussi $\dot I$ (dans $K[Z_1,\ldots,Z_d]$) et
+peut écrire $h = h_1 g_1 + \cdots + h_r g_r$ pour certains $h_i \in
+K[Z_1,\ldots,Z_d]$, et en dérivant cette égalité par rapport à $C_i$
+(les $g_i$ ayant une dérivée nulle), on voit que $\frac{\partial
+  h}{\partial C_i}$ s'écrit aussi comme combinaison des $g_i$.
+
+Soit maintenant $f \in K[Y]$ le polynôme unitaire engendrant l'idéal
+$\tilde I \cap K[Y]$, autrement dit, le polynôme minimal de (l'image
+modulo $\tilde I$ de) $Y$ dans $K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$.
+D'après \ref{critere-seidenberg-ideal-radical-reciproque}, ce polynôme
+est séparable : on peut donc écrire une relation $f'U + fV = 1 \in
+K[Y]$.  Soit $g \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ défini en substituant $C_1 Z_1
++ \cdots + C_d Z_d$ à la variable $Y$ dans $f$ : ce polynôme $g$
+appartient encore à $\tilde I$, et même $\dot I$, puisqu'il s'agit de
+dire que son image s'annule dans $K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I \cong
+K[Z_1,\ldots,Z_d]/\dot I$, image qui est la même que celle de $f$.
+D'après le fait remarqué plus haut, on a $\frac{\partial g}{\partial
+  C_i} = 0$ pour tout $1\leq i\leq d$.  Ceci signifie que
+$\frac{\partial f}{\partial C_i} + Z_i f'$, une fois substitué $C_1
+Z_1 + \cdots + C_d Z_d$ à $Y$, appartient à $\dot I$ (rappelons que
+$f'$ désigne la dérivée de $f$ par rapport à $Y$).  Par conséquent,
+$\frac{\partial f}{\partial C_i} + Z_i f'$ lui-même appartient
+à $\tilde I$ (toujours en utilisant l'isomorphisme $K[Y,
+  Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I \cong K[Z_1,\ldots,Z_d]/\dot I$).  En
+multipliant par $U$, on a donc $U \frac{\partial f}{\partial C_i} +
+Z_i - V f \in \tilde I$.  C'est-à-dire que $Z_i$ est congru,
+modulo $\tilde I$, à un polynôme $U \frac{\partial f}{\partial C_i} -
+V f \in K[Y]$, ce qui affirme bien que $K[Y]/(\tilde I \cap K[Y]) \to
+K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$ est surjectif, autrement dit que
+$\tilde I$ est en position nette par rapport à $Y$.
+\end{proof}