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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-06 19:40:05 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-06 19:40:05 (GMT)
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Introduction de macros \mathtextrm, \mathtextsf et \mathtexttt
Le but est de résoudre le problème des accents qui n'apparaissaient pas, par exemple, dans \mathrm{Dér} (parce qu'Unicode ne définit pas les caractères accentués dans les alphabets mathématiques et, concrètement, parce que le package unicode-math ne leur donne pas des \mathcode appropriés, et ne fournit d'ailleurs pas de 'é' sans-sérif ou autre truc du genre). Ces macros servent donc à écrire du texte dans des formules mathématiques, de façon un peu « intermédiaire » entre \mathrm et \textrm : elles créent du vrai mode maths (donc qui change de taille en exposant et indice, contrairement à \textrm) mais en allant chercher dans une police orientée texte et _sans_ aller prendre dans les alphabets « mathématiques » d'Unicode. Attention : à cause de l'usage de \emitmathchars, le paramètre passé à ces macros ne doit pas contenir de commande quelle qu'elle soit, uniquement des caractères.
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-rw-r--r--chapitres/brauer.tex35
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index 498a6cd..4fcf2c7 100644
--- a/chapitres/brauer.tex
+++ b/chapitres/brauer.tex
@@ -73,7 +73,7 @@ $\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K))$.
\begin{theoreme2}[Skolem-Nœther]\label{Skolem-Noether sur corps}
Soient $K$ un corps et $n≥1$ un entier.
Le morphisme $\GL_n(K)→\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K))$,
-$g↦\mathrm{Int}(g)=(m↦gmg^{-1})$
+$g↦\Int(g)=(m↦gmg^{-1})$
induit un isomorphisme
\[
\PGL_n(K)=\GL_n(K)/K^× ⥲\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K)).
@@ -134,7 +134,7 @@ L'application \refext{Formes}{formes vers H1} induit une bijection
\begin{démo}
Par définition, $\Azu(n,K\bo
-k)=\mathrm{Formes}(\text{algèbre }𝐌_n,K\bo k)$.
+k)=\mathtextrm{Formes}(\text{algèbre }𝐌_n,K\bo k)$.
La donnée d'une structure de $k$-algèbre sur un $k$-espace
vectoriel
$A$ de rang $n²$ correspond à la donnée d'une application
@@ -356,7 +356,6 @@ de mettre bout à bout les définitions — mais fastidieuse.
Nous encourageons le lecteur à en omettre la lecture.
\begin{démo}
-{\renewcommand{\Int}{\mathrm{Int}}
Commençons par rappeler que pour toute $k$-algèbre $C$,
le groupe $Π$ agit naturellement sur $C_K=C⊗_k K$ par son action sur
le second facteur. Nous noterons $σ↦σ_C$, $Π→\Aut_K(C_K)$
@@ -394,7 +393,7 @@ le facteur d'homothétie est le produit des facteurs d'homothétie.
(En effet, l'isomorphisme (i) ci-dessus
envoie la matrice $λ\Id_n⊗μ\Id_m$ sur la matrice $λμ\Id_{nm}$.)
Puisque, par définition, $ΔC_C$ représente le $2$-cocycle associé à $[C]$, on a bien
-l'égalité $[C]=[A]+[B]$, en notation additive.}
+l'égalité $[C]=[A]+[B]$, en notation additive.
\end{démo}
Cette proposition est un ingrédient essentiel
@@ -975,14 +974,14 @@ des quaternions imaginaires. On en déduit un morphisme
$𝐇^×(A) → \GL₃(A)$. Comme d'autre part on a l'égalité $N(rqr^{-1})=N(q)$,
cette action préserve la forme quadratique euclidienne naturelle sur $\Im 𝐇(A)$,
$q=a\i+b\j+c\k ↦ N(q)=a²+b²+c²$, si bien que le morphisme précédent
-se factorise à travers un morphisme $𝐇^×(A) → \mathrm{O}₃(A)$.
+se factorise à travers un morphisme $𝐇^×(A) → \mathtextrm{O}₃(A)$.
Le noyau de ce morphisme est $\Gm(A)=A^×$, plongé
dans $𝐇^×(A)$ par $a↦a⋅1$, car le centre de $𝐇(A)$ est $A$.
\begin{proposition2}\label{H vers special orthogonal}
-L'image du morphisme $𝐇^×(A) → \mathrm{O}₃(A)$ est contenue
-dans $\mathrm{SO}₃(A)$.
+L'image du morphisme $𝐇^×(A) → \mathtextrm{O}₃(A)$ est contenue
+dans $\SOrth₃(A)$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -1019,7 +1018,7 @@ le morphisme $𝐇^{N=1}(K) → \SOrth₃(K)$ est également surjectif.
\end{théorème2}
Le groupe $𝐇^{N=1}$ est aussi appelé \emph{groupe spin},
-noté $\mathrm{Spin}₃$ ; c'est un revêtement double de $\SOrth₃$.
+noté $\mathtextrm{Spin}₃$ ; c'est un revêtement double de $\SOrth₃$.
Dans les deux paragraphes suivants nous allons donner deux démonstrations,
radicalement différentes, de ce théorème.
@@ -1030,7 +1029,7 @@ spinorielle}
Supposons un instant $K=𝐑$.
Le théorème \ref{parametrisation Euler-Hamilton-Cayley},
qui est paramétrisation rationnelle du groupe spécial orthogonal
-$\mathrm{SO}₃(𝐑)$, est dans ce cas dû à Euler (cf. \cite{Problema@Euler}).
+$\SOrth₃(𝐑)$, est dans ce cas dû à Euler (cf. \cite{Problema@Euler}).
Elle généralise la paramétrisation rationnelle de $\SOrth₂(𝐑) ≃ S¹$
par $𝐑$, envoyant $t ∈ 𝐑$ sur
\[
@@ -1096,7 +1095,7 @@ $u_μ:m ↦ \Tr(g_μ ⋅ m) +1=-½\det(m+g_μ)$.
Remarquons que $g_1+g_\i+g_\j+g_\k=0$ de sorte que
$u_1+u_\i+u_\j+u_\k$ est la fonction constante de valeur $4 ≠ 0$.
En particulier, les quatre sous-ensembles $U_μ=\{m:u_μ(m)≠0\}$ recouvrent
-$\mathrm{SO}₃$ où, pour alléger les notations, nous ne précisons plus le corps $K$.
+$\SOrth₃$ où, pour alléger les notations, nous ne précisons plus le corps $K$.
Comme observé ci-dessus dans le cas particulier
$μ=1$, on a :
\[
@@ -1141,7 +1140,7 @@ que si $m∈U_μ(K)$, on a l'égalité
Il n'est pas difficile de vérifier que la norme spinorielle
n'est autre que le morphisme $\SOrth₃(K)=H⁰(K,\SOrth₃) → H¹(K,μ₂)=K^×/{K^×}²$
-déduit de la suite exacte $1 → μ₂ → \mathrm{Spin}₃=𝐇^{N=1} → \SOrth₃ → 1$.
+déduit de la suite exacte $1 → μ₂ → \mathtextrm{Spin}₃=𝐇^{N=1} → \SOrth₃ → 1$.
\XXX
\begin{exercice2}
@@ -1164,7 +1163,7 @@ de $𝐇^×(K) → \SOrth₃(K)$. \XXX
Euler-Hamilton-Cayley} par décomposition en réflexions}
Nous supposons maintenant que $K$ est un \emph{corps}.
Il est bien connu (\cite{}) que tout élément du groupe
-$\mathrm{SO}₃(K)=\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$, et plus généralement
+$\SOrth₃(K)=\SOrth(\Im 𝐇(K))$, et plus généralement
du groupe spécial orthogonal d'une forme quadratique non dégénérée,
est produit d'un nombre \emph{pair} de réflexions, c'est-à-dire d'éléments $s_r$ de la forme
$q↦q-\frac{2⟨r,q⟩}{⟨r,r⟩}r$ où $⟨\tiret,\tiret⟩$ est le produit scalaire $⟨x,y⟩=½(x\sur{y}+y\sur{x})$ associé
@@ -1182,26 +1181,26 @@ Si $q$ est un quaternion imaginaire on a donc
\[
s_r(q)=rq\sur{r}^{-1}.
\]
-Tout élément de $\mathrm{SO}₃(K)$, composé de tels éléments, s'écrit donc sous la forme
+Tout élément de $\SOrth₃(K)$, composé de tels éléments, s'écrit donc sous la forme
$q↦rqr′$ où $r,r′$ appartiennent à $𝐇^×(K)$ :
\[
s_{r₁} ∘ \cdots ∘ s_{r_n}=\left(q↦(r₁\cdots
r_n)q (\sur{r_n \cdots r₁})^{-1}\right).\]
Considérons maintenant le plongement naturel
-de $\mathrm{O}₃(K)=\mathrm{O}(\Im 𝐇(K))$ dans $\mathrm{O}₄(K)=\mathrm{O}(𝐇(K))$,
+de $\mathtextrm{O}₃(K)=\mathtextrm{O}(\Im 𝐇(K))$ dans $\mathtextrm{O}₄(K)=\mathtextrm{O}(𝐇(K))$,
envoyant une isométrie de $\Im 𝐇(K)$ sur l'unique isométrie de $𝐇(K)$
la prolongeant agissant trivialement sur le centre $K⋅1$ de $𝐇(K)$.
(Remarquons que $𝐇(K)=\Im 𝐇(K) ⊥ \mbox{$K⋅1$}$.) Ce plongement préserve le
déterminant. Une variante immédiate de l'argument précédent montre que
-tout élément de $\mathrm{SO}(𝐇(K))$ est également de la forme
+tout élément de $\SOrth(𝐇(K))$ est également de la forme
$q↦rqr′$ avec $r,r ′ ∈𝐇^×(K)$. Ne pouvant utiliser l'égalité $-\sur{q}=q$, on utilise l'identité
\[
(q↦-r₁\sur{q}r₁) ∘ (q↦-r₂\sur{q}r₂)=(q↦r₁qr₁) ∘ (q↦\sur{r₂}q\sur{r₂}).
\]
-Il en résulte qu'un élément de $\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$
+Il en résulte qu'un élément de $\SOrth(\Im 𝐇(K))$
est la restriction d'une isométrie $f:q↦rqr'$ de $𝐇(K)$ avec $f(1)=1$.
-On a donc $rr'=1$, c'est-à-dire $r'=r^{-1}$ : tout élément de $\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$
+On a donc $rr'=1$, c'est-à-dire $r'=r^{-1}$ : tout élément de $\SOrth(\Im 𝐇(K))$
est bien une conjugaison par un quaternion.
\section{Torsion du groupe de Brauer « absolu », cohomologie profinie}
@@ -1903,7 +1902,7 @@ homogène de degré $n$. Ceci entraîne le résultat annoncé.
\begin{remarque2}
On laisse le soin au lecteur de définir, pour tout $a∈A$, un « polynôme caractéristique
-réduit » $\mathrm{Prd}_A(a,X)=X^n-\Trd_A(a)X^{n-1}+\cdots+(-1)^n\Nrd_A(a)$.
+réduit » $\mathtextrm{Prd}_A(a,X)=X^n-\Trd_A(a)X^{n-1}+\cdots+(-1)^n\Nrd_A(a)$.
Cf. Bourbaki, VIII, §12.
\end{remarque2}