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author | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-03-24 10:56:42 +0100 |
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committer | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-03-24 10:56:42 +0100 |
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[ucs,KASW,Azu,Alg,versel] unicodification de la racine ;)
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diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex index de37610..6cb8fd6 100644 --- a/chapitres/brauer.tex +++ b/chapitres/brauer.tex @@ -56,7 +56,7 @@ AZUMAYA Gorô \jap{東屋 五郎}.} sur $k$ est une $k$-algèbre de dimension fi non nécessairement commutative, telle qu'il existe une extension finie $K\bo k$ et un $K$-isomorphisme d'algèbres entre $A_K=A⊗_k K$ et une algèbre de matrices carrées sur $K$. L'entier -$\sqrt{\dim_k A}$ est le \emph{degré} de $A$ +$√{\dim_k A}$ est le \emph{degré} de $A$ et on dit que l'extension $K\bo k$ \emph{trivialise} $A$. \end{définition2} @@ -211,7 +211,7 @@ est de la forme $m ↦ xm-mx=[x,m]$ pour une matrice $x ∈ 𝐌_n(k)$ Ceci nous permettra de donner au chapitre \refext{descente}{} une description « cohomologique » des $K\bo k$-formes de $𝐌_n$ quand on ne suppose pas l'extension $K\bo k$ séparable -mais de la forme $K=k(\sqrt[p]{a₁},…,\sqrt[p]{a_n})$ +mais de la forme $K=k(√[p]{a₁},…,√[p]{a_n})$ où $p>0$ est la caractéristique de $k$ et les $a_i$ appartiennent à $k$. (Une telle extension est dite « radicielle de hauteur $1$ », \refext{RT}{}.) @@ -716,7 +716,7 @@ Il résulte donc du lemme précédent qu'une algèbre de quaternions est une alg rang deux : quitte à extraire une racine carrée, elle devient triviale. Supposons pour fixer les idées que $a$ ne soit pas un carré et que $K$ soit de caractéristique différente de deux. Le corps -$K_a=K(\sqrt{a})$ est une extension étale quadratique de $K$ +$K_a=K(√{a})$ est une extension étale quadratique de $K$ et l'algèbre $\quater{a,b}{K}$ définit donc un élément de $H¹(K_a \bo K,\PGL₂(K_a))$ que nous allons maintenant expliciter. Soit $φ: 𝐌_2(K_a) ⥲ \quater{a,b}{K}⊗_K K_a$ l'inverse de l'isomorphisme @@ -765,7 +765,7 @@ la proposition suivante. Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b$ deux éléments non nuls. Si $a$ n'est pas un carré, l'algèbre $\quater{a,b}{K}$ est triviale, c'est-à-dire $K$-isomorphe à l'algèbre $𝐌₂(K)$ des matrices $2×2$, -si et seulement si $b∈\N_{K(\sqrt{a})\bo K}\left(K(\sqrt{a})\right)$. +si et seulement si $b∈\N_{K(√{a})\bo K}\left(K(√{a})\right)$. \end{proposition2} On renvoie le lecteur à \cite[2.2]{seisuuron@Saito} pour une démonstration plus @@ -778,7 +778,7 @@ sont triviales. \end{corollaire2} \begin{démo} -En effet, si $a∈{K^×}²$ et $s=x+y\sqrt{a} ∈ K_a=K(\sqrt{a})$, $\N_a(s)=x²-ay²$ +En effet, si $a∈{K^×}²$ et $s=x+y√{a} ∈ K_a=K(√{a})$, $\N_a(s)=x²-ay²$ de sorte que $-a$ et $1-a$ appartiennent à $\N_a(K_a)$. \end{démo} @@ -835,7 +835,7 @@ sur $1$. \begin{corollaire2}\label{produit tensoriel algèbres quaternions} Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b,b ′$ trois éléments -non nuls de $K$. Dans le groupe de Brauer $\Br(K(\sqrt{a})\bo K)$, on a +non nuls de $K$. Dans le groupe de Brauer $\Br(K(√{a})\bo K)$, on a l'égalité : \[ [\quater{a,b}{K}] ⋅ [\quater{a,b ′}{K}]=[\quater{a,b b ′}{K}]. @@ -873,13 +873,13 @@ Nous allons donner ici une démonstration \emph{ad hoc} de ce fait dans le cas particulier qui nous occupe ; un énoncé général sera donné en \ref{H2mun=Brn}. Supposons que $b²$ n'appartient pas à $K_a$ sans quoi il n'y a rien à démontrer (cf. \ref{caractérisation algèbres quaternions triviales}). -L'extension $K_{a,b}=K(\sqrt{a},\sqrt{b})$ de $K$ est alors galoisienne +L'extension $K_{a,b}=K(√{a},√{b})$ de $K$ est alors galoisienne de groupe $Π_{a,b}$ isomorphe au groupe de Klein\footnote{Cf. \ref{groupe de Klein et quaternions} \emph{infra} pour d'autres liens entre les quaternions et ce groupe.} $V₄=𝐙/2× 𝐙/2$. Nous notons $τ_a$ et $τ_b$ les générateurs définis -par les conditions $τ_a(\sqrt{a})=-\sqrt{a}$ -(resp. $τ_b(\sqrt{b})=-\sqrt{b}$) et $τ_a(\sqrt{b})=\sqrt{b}$ (resp. -$τ_b(\sqrt{a})=\sqrt{a}$) et posons $τ_c=τ_a τ_b$. +par les conditions $τ_a(√{a})=-√{a}$ +(resp. $τ_b(√{b})=-√{b}$) et $τ_a(√{b})=√{b}$ (resp. +$τ_b(√{a})=√{a}$) et posons $τ_c=τ_a τ_b$. Notons également $c ′_{a,b}$ le $2$-cocycle de $Π_{a,b}$ à valeurs dans $K_{a,b}^×$ déduit de $c_{a,b}$ par composition avec la surjection canonique $Π_{a,b} ↠ Π_a$. @@ -910,8 +910,8 @@ ne dépend pas du choix des représentants $γ₁$ et $γ₂$. Reprenons les notations de \ref{notations quaternions=H2mu2} et posons de plus $μ₂=\{±1\}$. Notons $(a) ∈ H¹(Π_{a,b}, μ₂)=\Hom(Π_{a,b}, μ₂)$ -(resp. $(b)$) le morphisme défini par $(a)(σ)=\frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}}$ -(resp. $(b)(σ)=\frac{σ(\sqrt{b})}{\sqrt{b}}$). +(resp. $(b)$) le morphisme défini par $(a)(σ)=\frac{σ(√{a})}{√{a}}$ +(resp. $(b)(σ)=\frac{σ(√{b})}{√{b}}$). Le $2$-cocycle $c^∪_{a,b}$ n'est autre que le produit $(a) ∪ (b)$. \begin{lemme2}\label{quaternions=H2mu2} @@ -928,7 +928,7 @@ une fonction $λ: Π_{a,b} → K_{a,b}^×$ telle $c ′_{a,b}(σ,τ)=λ_σ ⋅ { Écrivons pour simplifier $λ_a$ pour $λ_{τ_a}$, $\N_a$ pour $\tiret ⋅ {^{τ_a} (\tiret)}$, etc. On vérifie immédiatement en les écrivant que ces seize équations se réécrivent : $λ_1=1$, $\N_a(λ_a)=b$, $\N_b(λ_b)=1$, $λ_c=-λ_a ⋅ {^{τ_a} λ_b}=λ_b ⋅ {^{τ_b} λ_a}$. -Il suffit de poser $λ_a=\sqrt{b}$ et $λ_b=1$. +Il suffit de poser $λ_a=√{b}$ et $λ_b=1$. \end{démo} \begin{exercice2} |