summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/brauer.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 23:45:03 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 23:45:03 (GMT)
commit565d995f145c72889db62a732509e0548ee85903 (patch)
treebc206e42458218b941db6e3e9a29eaf01112b404 /chapitres/brauer.tex
parent81ad60a9caf5f2c029e307d92290fc55d5ce3f72 (diff)
downloadgalois-565d995f145c72889db62a732509e0548ee85903.zip
galois-565d995f145c72889db62a732509e0548ee85903.tar.gz
galois-565d995f145c72889db62a732509e0548ee85903.tar.bz2
Transformation en LuaTeX : formes-tordues.tex, corps-c1.tex et brauer.tex
Diffstat (limited to 'chapitres/brauer.tex')
-rw-r--r--chapitres/brauer.tex58
1 files changed, 18 insertions, 40 deletions
diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex
index 2814569..2ad3f9b 100644
--- a/chapitres/brauer.tex
+++ b/chapitres/brauer.tex
@@ -1,27 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\synctex=1
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-%\usepackage{makeidx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-%\usepackage{pxfonts}
-
-\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
\externaldocument{entiers}
@@ -31,20 +13,16 @@
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{corps-c1}
\externaldocument{spectre}
-%\makeindex
-
-\textwidth16cm
-\hoffset-1.5cm
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer}
\fi
+\newcommand{\deuxdeux}[4]{\left(\begin{matrix}#1&#3\\#2&#4\end{matrix}\right)}
+\newcommand\troistrois[9]{\left(\begin{matrix}#1&#4&#7\\#2&#5&#8\\#3&#6&#9\end{matrix}\right)}
+
\section{Algèbres d'Azumaya}
\subsection{Définition et interprétation cohomologique}
@@ -53,7 +31,7 @@ Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer
d'Azumaya}
Soit $k$ un corps. Une \emph{algèbre
d'Azumaya}\footnote{D'après le mathématicien japonais
-AZUMAYA Gorô \jap{東屋 五郎}.} sur $k$ est une $k$-algèbre de dimension finie $A$,
+AZUMAYA Gorô {\IPAMincho 東屋 五郎}.} sur $k$ est une $k$-algèbre de dimension finie $A$,
non nécessairement commutative, telle qu'il existe
une extension finie $K\bo k$ et un $K$-isomorphisme d'algèbres entre $A_K=A⊗_k K$
et une algèbre de matrices carrées sur $K$. L'entier
@@ -1146,7 +1124,7 @@ Si l'inclusion ${K^×}²⊆ N(𝐇^×(K))$ est une égalité, il existe pour cha
$q ∈ 𝐇^×(K)$ un scalaire $λ ∈ K^×$ tel que $q/λ ∈ 𝐇^{N=1}$.
La surjectivité du morphisme $𝐇^{N=1} → \SOrth₃$ dans ce cas en découle.
-\paragraph{Norme spinorielle}
+\subsubsection{Norme spinorielle}
Soit $m ∈ \SOrth₃(K)$. D'après ce qui précède, cette matrice possède
un relèvement $q$ dans $𝐇^×(K)$, bien défini à multiplication par un scalaire près.
La norme de ce relèvement est donc bien définie à multiplication par un carré près.
@@ -1166,12 +1144,12 @@ n'est autre que le morphisme $\SOrth₃(K)=H⁰(K,\SOrth₃) → H¹(K,μ₂)=K^
déduit de la suite exacte $1 → μ₂ → \mathrm{Spin}₃=𝐇^{N=1} → \SOrth₃ → 1$.
\XXX
-\begin{exercice3}
+\begin{exercice2}
Montrer que si $m ∈ \SOrth₃(K)$, $\det\big((1+g_μm)(1+m)^{-1}\big)$ est un carré
en utilisant la transformation de Cayley.
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice3}
+\begin{exercice2}
Soit $𝒫$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de rang $1$
de $K^{\{1,\i,\j,\k\}}$. Montrer que $𝒫 ⥲ \SOrth₃(K)$.
(cf. matrice de la transformation de Cayley ou, mieux,
@@ -1180,7 +1158,7 @@ que l'application $𝐇^× → 𝒫$, $(x₁,x_\i,x_\j,x_\k) ↦ \frac{1}{∑
x_μ²}\big(x_μ x_ν \big)$ a $4$ sections sur les ouverts
[...]. En déduire une nouvelle démonstration de la surjection
de $𝐇^×(K) → \SOrth₃(K)$. \XXX
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
\subsubsection{Seconde démonstration du théorème \ref{parametrisation
Euler-Hamilton-Cayley} par décomposition en réflexions}
@@ -2154,7 +2132,7 @@ Chacun d'eux est représentable : si l'on pose
\[
R_{ij}=k[t,x_{αβ}:1≤ α,β ≤n]/(x_{ij}-1,\det(x_{αβ})t-1),
\]
-pour toute $k$-algèbre $A$, l'application $R_{ij}^\japmath{田}(A) → 𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)$
+pour toute $k$-algèbre $A$, l'application $R_{ij}^田(A) → 𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)$
envoyant $f:R_{ij}→A$ sur la droite $A⋅(f(x_{αβ}))⊆𝐌_n(A)$
est une bijection fonctorielle (cf. \ref{Skolem-Noether abstrait cas corps}).
D'après le lemme de Yoneda, l'inclusion $𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)↪𝐏⁰(𝐌_n)$
@@ -2209,16 +2187,16 @@ toutes ses lignes sauf la première nulles. Il en résulte que $p(A)=A⋅p(e₁)
\begin{proposition2}\label{famille Z-couvrante et injectivité}
Soit $A → A_i$ ($1≤i≤N$) une famille finie de $k$-algèbre
-telle que les foncteurs $A_i^\japmath{田} → A^\japmath{田}$ correspondants soient Zariski-couvrants.
+telle que les foncteurs $A_i^田 → A^田$ correspondants soient Zariski-couvrants.
Alors, l'application $A → ∏_i A_i$ est \emph{injective}.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Considérons l'identité $\Id∈\Hom_k(A,A)=A^\japmath{田}(A)$.
+Considérons l'identité $\Id∈\Hom_k(A,A)=A^田(A)$.
Par hypothèse, il existe une famille d'éléments $(a₁,…,a_r)$
engendrant l'idéal unité de $A$ tels que pour chaque $α∈\{1,…,r\}$
l'application canonique $A → A[a_α^{-1}]$ — qui n'est autre que l'image de l'identité
-par l'application $A^\japmath{田}(A) →A^\japmath{田}(A[a_α^{-1}])$ —
+par l'application $A^田(A) →A^田(A[a_α^{-1}])$ —
se factorise à travers $A → A_{i_α}$ pour un indice $i_α ∈ \{1,…,N\}$
convenable. Soit maintenant $a$ dans le noyau de $A → ∏_i A_i$.
Il résulte de ce qui précède que $a$ appartient également