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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 21:38:08 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 21:38:08 (GMT)
commit6848042f646306a593475e43ab56718eb390e470 (patch)
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index a78b2dc..27aeaa9 100644
--- a/chapitres/brauer.tex
+++ b/chapitres/brauer.tex
@@ -57,7 +57,7 @@ AZUMAYA Gorô \jap{東屋 五郎}.} sur $k$ est une $k$-algèbre de dimension fi
non nécessairement commutative, telle qu'il existe
une extension finie $K\bo k$ et un $K$-isomorphisme d'algèbres entre $A_K=A⊗_k K$
et une algèbre de matrices carrées sur $K$. L'entier
-$√{\dim_k A}$ est le \emph{degré} de $A$
+$\sqrt{\dim_k A}$ est le \emph{degré} de $A$
et on dit que l'extension $K\bo k$ \emph{trivialise} $A$.
\end{définition2}
@@ -212,7 +212,7 @@ est de la forme $m ↦ xm-mx=[x,m]$ pour une matrice $x ∈ 𝐌_n(k)$
Ceci nous permettra de donner au chapitre \refext{descente}{}
une description « cohomologique » des $K\bo k$-formes de $𝐌_n$
quand on ne suppose pas l'extension $K\bo k$ séparable
-mais de la forme $K=k(√[p]{a₁},…,√[p]{a_n})$
+mais de la forme $K=k(\sqrt[p]{a₁},…,\sqrt[p]{a_n})$
où $p>0$ est la caractéristique
de $k$ et les $a_i$ appartiennent à $k$. (Une telle
extension est dite « radicielle de hauteur $1$ », \refext{RT}{}.)
@@ -717,7 +717,7 @@ Il résulte donc du lemme précédent qu'une algèbre de quaternions est une alg
rang deux : quitte à extraire une racine carrée, elle devient triviale.
Supposons pour fixer les idées que $a$ ne soit pas un carré et
que $K$ soit de caractéristique différente de deux. Le corps
-$K_a=K(√{a})$ est une extension étale quadratique de $K$
+$K_a=K(\sqrt{a})$ est une extension étale quadratique de $K$
et l'algèbre $\quater{a,b}{K}$ définit donc un élément de
$H¹(K_a \bo K,\PGL₂(K_a))$ que nous allons maintenant expliciter.
Soit $φ: 𝐌_2(K_a) ⥲ \quater{a,b}{K}⊗_K K_a$ l'inverse de l'isomorphisme
@@ -766,7 +766,7 @@ la proposition suivante.
Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b$ deux éléments
non nuls. Si $a$ n'est pas un carré, l'algèbre $\quater{a,b}{K}$ est triviale,
c'est-à-dire $K$-isomorphe à l'algèbre $𝐌₂(K)$ des matrices $2×2$,
-si et seulement si $b∈\N_{K(√{a})\bo K}\left(K(√{a})\right)$.
+si et seulement si $b∈\N_{K(\sqrt{a})\bo K}\left(K(\sqrt{a})\right)$.
\end{proposition2}
On renvoie le lecteur à \cite[2.2]{seisuuron@Saito} pour une démonstration plus
@@ -779,7 +779,7 @@ sont triviales.
\end{corollaire2}
\begin{démo}
-En effet, si $a∈{K^×}²$ et $s=x+y√{a} ∈ K_a=K(√{a})$, $\N_a(s)=x²-ay²$
+En effet, si $a∈{K^×}²$ et $s=x+y\sqrt{a} ∈ K_a=K(\sqrt{a})$, $\N_a(s)=x²-ay²$
de sorte que $-a$ et $1-a$ appartiennent à $\N_a(K_a)$.
\end{démo}
@@ -836,7 +836,7 @@ sur $1$.
\begin{corollaire2}\label{produit tensoriel algèbres quaternions}
Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b,b ′$ trois éléments
-non nuls de $K$. Dans le groupe de Brauer $\Br(K(√{a})\bo K)$, on a
+non nuls de $K$. Dans le groupe de Brauer $\Br(K(\sqrt{a})\bo K)$, on a
l'égalité :
\[
[\quater{a,b}{K}] ⋅ [\quater{a,b ′}{K}]=[\quater{a,b b ′}{K}].
@@ -874,13 +874,13 @@ Nous allons donner ici une démonstration \emph{ad hoc} de ce fait
dans le cas particulier qui nous occupe ; un énoncé général sera donné
en \ref{H2mun=Brn}. Supposons que $b²$ n'appartient pas à $K_a$ sans quoi il n'y a rien
à démontrer (cf. \ref{caractérisation algèbres quaternions triviales}).
-L'extension $K_{a,b}=K(√{a},√{b})$ de $K$ est alors galoisienne
+L'extension $K_{a,b}=K(\sqrt{a},\sqrt{b})$ de $K$ est alors galoisienne
de groupe $Π_{a,b}$ isomorphe au groupe de Klein\footnote{Cf. \ref{groupe de Klein et quaternions} \emph{infra}
pour d'autres liens entre les quaternions et ce groupe.}
$V₄=𝐙/2× 𝐙/2$. Nous notons $τ_a$ et $τ_b$ les générateurs définis
-par les conditions $τ_a(√{a})=-√{a}$
-(resp. $τ_b(√{b})=-√{b}$) et $τ_a(√{b})=√{b}$ (resp.
-$τ_b(√{a})=√{a}$) et posons $τ_c=τ_a τ_b$.
+par les conditions $τ_a(\sqrt{a})=-\sqrt{a}$
+(resp. $τ_b(\sqrt{b})=-\sqrt{b}$) et $τ_a(\sqrt{b})=\sqrt{b}$ (resp.
+$τ_b(\sqrt{a})=\sqrt{a}$) et posons $τ_c=τ_a τ_b$.
Notons également $c ′_{a,b}$ le $2$-cocycle de $Π_{a,b}$ à valeurs dans $K_{a,b}^×$
déduit de $c_{a,b}$ par composition avec la surjection canonique $Π_{a,b} ↠ Π_a$.
@@ -911,8 +911,8 @@ ne dépend pas du choix des représentants $γ₁$ et $γ₂$.
Reprenons les notations de \ref{notations quaternions=H2mu2} et posons
de plus $μ₂=\{±1\}$. Notons $(a) ∈ H¹(Π_{a,b}, μ₂)=\Hom(Π_{a,b}, μ₂)$
-(resp. $(b)$) le morphisme défini par $(a)(σ)=\frac{σ(√{a})}{√{a}}$
-(resp. $(b)(σ)=\frac{σ(√{b})}{√{b}}$).
+(resp. $(b)$) le morphisme défini par $(a)(σ)=\frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}}$
+(resp. $(b)(σ)=\frac{σ(\sqrt{b})}{\sqrt{b}}$).
Le $2$-cocycle $c^∪_{a,b}$ n'est autre que le produit $(a) ∪ (b)$.
\begin{lemme2}\label{quaternions=H2mu2}
@@ -929,7 +929,7 @@ une fonction $λ: Π_{a,b} → K_{a,b}^×$ telle $c ′_{a,b}(σ,τ)=λ_σ ⋅ {
Écrivons pour simplifier $λ_a$ pour $λ_{τ_a}$, $\N_a$ pour $\tiret ⋅ {^{τ_a} (\tiret)}$, etc.
On vérifie immédiatement en les écrivant que ces seize équations se
réécrivent : $λ_1=1$, $\N_a(λ_a)=b$, $\N_b(λ_b)=1$, $λ_c=-λ_a ⋅ {^{τ_a} λ_b}=λ_b ⋅ {^{τ_b} λ_a}$.
-Il suffit de poser $λ_a=√{b}$ et $λ_b=1$.
+Il suffit de poser $λ_a=\sqrt{b}$ et $λ_b=1$.
\end{démo}
\begin{exercice2}