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+\begin{document}
+\begin{center}
+Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer
+\end{center}
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer}
+\fi
+
+\section{Algèbres d'Azumaya}
+
+\subsection{Définition et interprétation cohomologique}
+
+\begin{définition2}\label{definition Azumaya}\index{algèbre
+d'Azumaya}
+Soit $k$ un corps. Une \emph{algèbre
+d'Azumaya}\footnote{D'après le mathématicien japonais
+AZUMAYA Gorô \jap{東屋 五郎}.} sur $k$ est une $k$-algèbre de dimension finie $A$,
+non nécessairement commutative, telle qu'il existe
+une extension finie $K\bo k$ et un $K$-isomorphisme d'algèbres entre $A_K=A⊗_k K$
+et une algèbre de matrices carrées sur $K$. L'entier
+$\sqrt{\dim_k A}$ est le \emph{degré} de $A$
+et on dit que l'extension $K\bo k$ \emph{trivialise} $A$.
+\end{définition2}
+
+En d'autres termes, une $k$-algèbre d'Azumaya de degré $n$
+trivialitée par $K\bo k$ est, au sens de \refext{formes}{formes}, une
+$K\bo k$-forme de la $k$-algèbre $𝐌_n(k)$.
+
+Il résulte immédiatement de la définition que si
+$A$ est une $k$-algèbre d'Azumaya et $k'\bo k$
+est une extension, $A_{k'}=A⊗_k k'$ est une $k'$-algèbre
+d'Azumaya. (Ces conditions sont d'ailleurs équivalentes.)
+
+\begin{lemme2}\label{trivialisation Azu descend au niveau fini}
+Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture algébrique de $k$,
+$r ≥ 0$ un entier et $A$ une $k$-algèbre. Les conditions suivantes sont équivalentes.
+\begin{enumerate}
+\item la $k$-algèbre $A$ est d'Azumaya, de degré $r$ ;
+\item il existe un isomorphisme de $Ω$-algèbres $A_Ω ≃ 𝐌_r(Ω)$ ;
+\item il existe une extension $K\bo k$ et un $K$-isomorphisme $A_K ≃ 𝐌_r(K)$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Les faits non triviaux résultent de \refext{Formes}{formes définies sur kalg}.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}Pour tout entier $n≥1$ et toute extension
+$K\bo k$, notons $\Azu(n,k)$ (resp. $\Azu(n,K\bo k)$)
+l'ensemble des classes de $k$-\emph{isomorphisme} d'algèbres d'Azumaya de degré $n$
+(resp. de degré $n$ et trivialisées par $K\bo k$).
+En vue d'obtenir une description cohomologique des
+\emph{ensembles} $\Azu(n,K\bo k)$, commençons par étudier
+$\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K))$.
+
+\begin{theoreme2}[Skolem-Nœther]\label{Skolem-Noether sur corps}
+Soient $K$ un corps et $n≥1$ un entier.
+Le morphisme $\GL_n(K)→\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K))$,
+$g↦\mathrm{Int}(g)=(m↦gmg^{-1})$
+induit un isomorphisme
+\[
+\PGL_n(K)=\GL_n(K)/K^× ⥲\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K)).
+\]
+\end{theoreme2}
+
+\begin{démo}
+Le centre de $𝐌_n(K)$ étant constitué des matrices scalaires
+l'injectivité est évidente. Il suffit donc de démontrer
+la surjectivité. Notons $e=(e₁,…,e_n)$ la base canonique de $K^n$
+et, pour chaque paire d'indices $1≤i,j≤n$,
+$E_{i,j}$ l'endomorphisme envoyant $e_k$ sur $e_i$ si $j=k$
+ou sur $0$ sinon. On a $E_{i,j}E_{k,l}=δ_j^k E_{i,l}$,
+où $δ$ est le symbole de Kronecker,
+et $∑_i E_{i,i}=\Id_{K^n}$. Fixons un automorphisme $φ ∈ \Aut(\End_K(K^n))$
+et considérons pour chaque $i∈\{1,…,n\}$ les sous-$K$-espaces vectoriels $L_i⊆K^n$ images
+des idempotents orthogonaux $φ(E_{i,i})$. L'application
+$v↦\big(φ(E_{1,1})v,…,φ(E_{n,n})v\big)$ est un isomorphisme
+de $K^n$ sur $L₁ ⊕ \cdots ⊕ L_n$,
+d'inverse $(l₁,…,l_n)↦∑_i φ(E_{i,i})l_i$. D'autre part,
+pour toute paire $(i,j)$, l'endomorphisme
+$φ(E_{j,i})$ de $K^n$ induit une application linéaire $ν_{j,i}:L_i → L_j$.
+Ces applications vérifient les relations
+$ν_{k,j}ν_{j,i}=ν_{k,i}$ et $ν_{i,i}=\Id_{L_i}$.
+Il en résulte que les $ν_{j,i}$
+sont des isomorphismes et que — écrivant $L_φ$ pour $L_1$ —
+l'application $K^n→L_φ^n$, $v ↦ \big(φ(E_{1,1})v,…,φ(E_{1,n})v\big)$,
+est un isomorphisme de $K$-espaces vectoriels,
+d'inverse $ι_φ:(x₁,…,x_n)∈L_φ^n↦∑_i φ(E_{i,1})x_i∈K^n$.
+Pour tout $K$-espace vectoriel $V$,
+et tout endomorphisme $f∈\End_K(K^n)$, notons
+$f_{V,n}$ l'endomorphisme de $V^n$
+\[
+(v₁,…,v_n)↦(a_{11}v₁+a_{12}v₂+\cdots+a_{1n}v_n,…,a_{n1}v₁+a_{n2}v₂+\cdots+a_{nn}v_n)
+\]
+où $(a_{ij})$ est la matrice de $f$ dans la base canonique.
+(C'est l'endomorphisme déduit de l'endomorphisme $\Id_V ⊗_K f$ de
+$V⊗_K K^n$ par l'isomorphisme canonique $V⊗_K K^n ⥲ V^n$,
+$v⊗(λ₁,…,λ_n)↦(λ₁v,…,λ_n v)$.)
+Avec cette notation on a, par construction,
+\[
+φ(f)=ι_φ ∘ f_{L_φ,n}∘ ι_φ^{-1}
+\]
+si $f=E_{i,j}$.
+Il en résulte, par linéarité, que
+cette égalité est valable pour tout $f∈\End_K(K^n)$.
+La conclusion résulte du fait que $L_φ$ est (non canoniquement) isomorphe à $K$
+si bien que $f_{L_φ,n}$ est conjugé à $f$.
+[Écrire un diagramme commutatif à deux carrés ?\XXX]
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{Brn=H1PGLn}
+Soient $K\bo k$ une extension \emph{finie galoisienne} et $n≥1$ un
+entier.
+L'application \refext{Formes}{formes vers H1} induit une bijection
+\[\Azu(n,K\bo k)⥲H¹(K\bo k,\PGL_n(K)).\]
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Par définition, $\Azu(n,K\bo
+k)=\mathrm{Formes}(\text{algèbre }𝐌_n,K\bo k)$.
+La donnée d'une structure de $k$-algèbre sur un $k$-espace
+vectoriel
+$A$ de rang $n²$ correspond à la donnée d'une application
+$k$-bilinéaire $A×A→A$, dite
+« multiplication » (supposée associative).
+Une telle application correspondant une application
+$k$-linéaire $A⊗_k A→A$,
+c'est-à-dire à un tenseur de type $(1,2)$.
+On peut donc appliquer le théorème général \refext{formes}{formes des
+tenseurs=CG} et le corollaire précédent pour conclure.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}\label{rang projecteur}
+Si $φ$ est un automorphisme de $𝐌_n(K)$, il résulte du théorème précédent
+que chaque $p_i=φ(E_{i,i})$ est un projecteur de rang un. Cela peut se voir
+directement de la façon suivante. Pour tout projecteur $p$ dans $𝐌_n(K)$,
+posons \[P_p(X)=\det\big(1_{𝐌_n(K)}+(X-1)p\big) ∈ K[X].\] Il est immédiat
+que $P_p(X)=X^r$ où $r$ est le rang de $p$. D'autre part, si $p$ et $p'$ sont
+deux projecteurs orthogonaux (c'est-à-dire $p²={p'}²=1_{𝐌_n(K)}$ et $p
+p'=p'p=0_{𝐌_n(K)}$), on a $P_p P_{p'}=P_{p+p'}$ : cela résulte de la multiplicativité du déterminant.
+D'autre part, les matrices $E_{i,i}$ étant conjuguées dans $𝐌_n(K)$,
+il en est de même des $p_i$. Il en résulte que les $P_{p_i}$ sont tous égaux
+à un même polynôme $P$. Les $p_i$ étant orthogonaux deux-à-deux
+et de somme $1_{𝐌_n(K)}$, on a $P^n=P_{p₁+p₂+\cdots+p_{n}}=P_{1_{𝐌_n(K)}}=X^n$.
+Comme d'autre part $P(1)=1$, on a nécessairement $P(X)=X$. Les projecteurs $φ(E_{i,i})$
+sont de rang un. Insistons sur le fait que l'égalité $\Tr(p)=1_K$ ne suffit pas
+à garantir que le rang de $p$ soit un ; considérer par exemple l'identité
+de $𝐌_3(𝐅₂)$.
+\end{remarque2}
+
+Comme nous le verrons dans l'addendum (§\ref{Addendum Skolem-Noether}),
+une extension du théorème de Skolem-Nœther au cas d'une $k$-algèbre
+$K$ n'étant pas nécessairement un corps, jointe au théorème général
+\refext{Formes}{critère forme étale} permettent de démontrer le théorème
+suivant, dont on trouvera une autre démonstration, plus élémentaire,
+en \ref{seconde démonstration Azumaya étale}.
+
+\begin{théorème2}\label{trivialisation Azumaya étale}
+Toute algèbre d'Azumaya sur un corps $k$ est trivialisée par une extension
+étale.
+\end{théorème2}
+
+
+\begin{remarque2}
+
+Nous verrons en \refext{descente}{dérivations Mn sont intérieures} que
+l'énoncé \ref{Skolem-Noether sur corps} admet un analogue
+différentiel : toute $k$-dérivation de $𝐌_n(k)$
+est intérieure. En d'autres termes, toute application $k$-linéaire
+$δ:𝐌_n(k)→𝐌_n(k)$ satisfaisant les relations $δ(xy)=x δ(y)+y δ(x)$
+est de la forme $m ↦ xm-mx=[x,m]$ pour une matrice $x ∈ 𝐌_n(k)$
+(bien définie à translation par une homothétie près).
+Ceci nous permettra de donner au chapitre \refext{descente}{}
+une description « cohomologique » des $K\bo k$-formes de $𝐌_n$
+quand on ne suppose pas l'extension $K\bo k$ séparable
+mais de la forme $K=k(\sqrt[p]{a₁},…,\sqrt[p]{a_n})$
+où $p>0$ est la caractéristique
+de $k$ et les $a_i$ appartiennent à $k$. (Une telle
+extension est dite « radicielle de hauteur $1$ », \refext{RT}{}.)
+Observons d'ores et déjà que s'il est tentant
+« déduire » du corollaire précédent et de
+l'égalité $k\sep ∩ K=k$ (dans une clôture algébrique commune)
+qu'une $k$-algèbre devenant isomorphe à $𝐌_n$
+après extension (radicielle) des scalaires de $k$ à $K$ est $k$-isomorphe à $𝐌_n$, il n'en est rien.
+On vérifie en effet sans peine que si $k$ est un corps de caractéristique $2$,
+l'algèbre (de quaternions, cf. \ref{})
+$k⊕ ki ⊕ kj ⊕ kij$ où $i²-i=a ∈ k$, $j²=b ∈ k$ et
+$jij^{-1}=i+1$ est isomorphe à $M₂$ dès que $b$ est un carré
+dans $k$. Pourtant si par exemple $k=𝐅₂(t)$, $a=t^{-1}$ et $b=t$
+elle n'est pas $k$-isomorphe à $𝐌₂(k)$. \XXX
+\end{remarque2}
+
+\subsection{$2$-cocycle associé à une algèbre d'Azumaya}\label{Brauer et H2}
+Afin de décrire par des méthodes cohomologiques
+et « collectivement », c'est-à-dire indépendamment du degré,
+les algèbres d'Azumaya sur $k$ trivialisées par une
+extension
+finie galoisienne $K\bo k$ nous allons associer à toute
+classe de $1$-cocycle dans $H¹(K\bo k,\PGL_n(K))$
+une classe de « $2$-cocycle » à valeurs dans le groupe
+\emph{abélien} $K^×$.
+
+\subsubsection{}Considérons la suite exacte de groupes
+\[
+1→K^×→\GL_n(K)→\PGL_n(K)→1,
+\]
+que nous réécrivons $1→A→E\dessusdessous{p}{→}G→1$ pour
+alléger les notations, et un $1$-cocycle $c$ de $Π=\Gal(K\bo
+k)$ à valeurs dans $G$.
+Soit un $C$ un relèvement de $c$ c'est-à-dire une
+application $Π→E$
+satisfaisant $p∘C=c$. Pour toute paire $(σ,τ)∈Π²$, posons
+\begin{equation}\label{construction 2-cobord}
+ΔC(σ,τ)=C(σ)⋅{^ σ C(τ)}⋅C(στ)^{-1}∈E.
+\end{equation}
+Il résulte de l'égalité $c(στ)=c(σ)⋅{^ σ c(τ)}$
+(cf. \refext{formes}{généralités 1-cocycles})
+et du fait que la suite exacte ci-dessus est
+$Π$-équivariante (de sorte que
+$p({^σ e})={^σ p(e)}$ pour tout $e∈E$) que la fonction
+$ΔC:Π²→E$ est à valeur
+dans $A=\Ker(p)$. On vérifie par de simples calculs,
+effectués en détail en \refext{Coho}{}\XXX, les faits
+suivants :
+\begin{enumerate}
+\item La fonction $f=ΔC$ satisfait les relations
+(en notation additive)
+\begin{equation}\label{condition 2-cocycle}
+{^σ f(τ,υ)}-f(στ,υ)+f(σ,τυ)-f(σ,τ)=0
+\end{equation}
+pour tout triplet $(σ,τ,υ)$ d'éléments de $Π$ : cela résulte
+du fait que $E$ est une extension \emph{centrale} de $G$ par
+$A$
+(càd $A$ contenu dans le centre du groupe $E$).
+\item Si $c'$ est un $1$-cocycle cohomologue à $c$,
+c'est-à-dire de la forme $c'(σ)=g^{-1}⋅c(σ)⋅{^σ g}$ pour un
+$g$ dans $G$,
+et $e$ est un relèvement de $g$ dans $E$, on a l'égalité
+$ΔC=ΔC'$ où $C'(σ)=e^{-1}⋅C(σ)⋅{^σ e}$.
+\item Soient $C$ et $C'$ deux relèvements de $c$ à $E$.
+\begin{itemize}
+\item Il existe pour chaque $σ∈Π$ un unique
+$a_σ∈A$ tel que $C'(σ)=a_σ C(σ)$.
+\item Il résulte du fait que l'extension est centrale que
+l'on a,
+pour toute paire $(σ,τ)$ d'éléments de $Π$ (en notation
+multiplicative)
+\begin{equation}\label{2-cocycles cohomologues}
+f'(σ,τ)=a_σ⋅{^σ a_τ}⋅a_{στ}^{-1}⋅f(σ,τ),
+\end{equation}
+où $f'=ΔC'$ et $f= ΔC$.\end{itemize}
+\end{enumerate}
+
+\begin{définition2}\label{définition 2-cocycle}
+Soit $A$ un $Π$-module, c'est-à-dire un groupe abélien muni
+d'une action de $Π$ respectant l'addition.
+Une fonction $f:Π²→A$ satisfaisant les relations
+\ref{condition 2-cocycle}
+est appelée un \emph{$2$-cocycle} à valeurs dans $A$. (Les
+relations ci-dessus
+sont appelées « relations de $2$-cocycle ».) On note
+$Z²(Π,A)$ leur ensemble,
+naturellement muni d'une structure de groupe abélien.
+Deux $2$-cocycles $f$ et $f'$ sont dit \emph{cohomologues}
+s'il existe
+une fonction $a:Π→A$ telle que les relations \ref{2-cocycles
+cohomologues}
+soient satisfaites. C'est une relation d'équivalence
+compatible
+à l'addition des $2$-cocycles, et l'on note $H²(Π,A)$
+le groupe quotient de $Z²(Π,A)$ correspondant.
+\end{définition2}
+
+\subsubsection{}\label{notation H(K/k)}Conformément à l'usage et afin d'alléger les notations,
+nous écrirons souvent $\Gm$ pour désigner le groupe
+multiplicatif $\GL₁$
+ainsi que $H¹(K\bo k,\PGL_n)$ (resp. $H¹(K\bo
+k,\GL_n)$, $H²(K\bo k,\Gm)$) pour désigner l'ensemble
+$H¹(K\bo k,\PGL_n(K))$ (resp.
+$H¹(K\bo k,\GL_n(K))$, le groupe $H²(K\bo k,K^×)$).
+
+\subsubsection{}\label{cobord Brauer}D'après ce qui précède, si $x∈H¹(K\bo k,\PGL_n)$ est la
+classe d'un $1$-cocycle
+$c$, et $C$ est un relèvement de $c$ à $\GL_n(K)$, la classe
+du $2$-cocycle $ΔC$
+dans $H²(K\bo k,\Gm)$ ne dépend ni du choix de $c$, ni du
+choix de $C$.
+En d'autres termes, on a construit une application
+dite « cobord »
+\[
+H¹(K\bo k,\PGL_n)→H²(K\bo k,\Gm),
+\]
+dont on déduit, par \ref{Brn=H1PGLn}, une application
+$δ_{n,K\bo k}:\Azu(n,K\bo k)→H²(K\bo k,\Gm)$.
+C'est une application d'ensembles pointés : $δ$ envoie la
+classe d'isomorphisme de $𝐌_n(k)$ sur la classe d'équivalence du
+$2$-cocycle trivial.
+
+En faisant varier $n$, on obtient une application
+\[
+δ^{\Azu}_{K\bo k}:\Azu(K\bo k)=∐_n \Azu(n,K\bo k)→H²(K\bo
+k,\Gm).
+\]
+Le terme de droite est un groupe (la somme et la différence
+de deux $2$-cocycles à
+valeurs dans un groupe abélien sont des $2$-cocycles). Quant
+au terme
+de gauche, il peut-être muni d'une structure de monoïde
+commutatif en
+posant $[A_n]⋅[B_m]=[A_n⊗_k B_m]∈\Azu(nm,K\bo k)$ où $A_n$
+et $B_m$ sont des
+algèbres d'Azumaya de rang respectivement $n$ et $m$, de
+classes
+d'isomorphisme notées entre crochets.
+Le fait que $A_n⊗B_m$ soit une algèbre d'Azumaya
+résulte des isomorphismes d'algèbres :
+\begin{enumerate}
+\item $𝐌_n(K)⊗_K 𝐌_m(K)⥲𝐌_{nm}(K)$ donné par le
+produit de Kronecker (cf. \refext{Alg}{pdt tens indépendant
+des bases}, démonstration)
+qui est une variante matricielle de l'isomorphisme
+$\End_K(V)⊗_K \End_K(W)⥲\End_K(V⊗W)$,
+caractérisé par $f⊗g↦\big(v⊗w↦f(v)⊗g(w)\big)$ où $V$ et $W$
+sont deux $K$-espaces vectoriels de dimensions finies ;
+\item $(A⊗_k B)⊗_k K⥲A_K ⊗_K B_K$, caractérisé par
+$(a⊗b)⊗λ↦(a⊗λ)⊗(b⊗1)=(a⊗1)⊗(b⊗λ)$ (cf. \refext{Tens}{}).
+\end{enumerate}
+
+\begin{proposition2}\label{multiplicativité cobord Azu}
+L'application $δ_{K\bo k}$ est un morphisme de monoïdes :
+si $A$ et $B$ sont deux algèbres d'Azumaya de rangs
+$n$ et $m$ respectivement, on a l'égalité
+dans $H²(K\bo k,\Gm)$
+\[δ_{nm,K\bo k}([A⊗B])=δ_{n,K\bo k}([A])+δ_{m,K\bo k}([B]).\]
+\end{proposition2}
+
+La démonstration est formelle — il suffit simplement
+de mettre bout à bout les définitions — mais fastidieuse.
+Nous encourageons le lecteur à en omettre la lecture.
+
+\begin{démo}
+{\renewcommand{\Int}{\mathrm{Int}}
+Commençons par rappeler que pour toute $k$-algèbre $C$,
+le groupe $Π$ agit naturellement sur $C_K=C⊗_k K$ par son action sur
+le second facteur. Nous noterons $σ↦σ_C$, $Π→\Aut_K(C_K)$
+cette action. Fixons des isomorphismes $φ:𝐌_n(K)⥲A_K$ et $ψ:𝐌_m(K)⥲B_K$.
+Pour tout $σ∈Π$, notons $a_A(σ)$ (resp. $a_B(σ)$) l'automorphisme
+$φ^{-1}∘σ_A∘φ∘σ_{𝐌_n}^{-1}$ (resp. $ψ^{-1}∘σ_B∘ψ∘σ_{𝐌_m}^{-1}$)
+de $𝐌_n(K)$ (resp. $𝐌_m(K)$). D'après \ref{Skolem-Noether},
+il existe des matrices inversibles $C_A(σ)∈\GL_n(K)$ et $C_B(σ)∈\GL_m(K)$
+telles que $a_A(σ)=\Int(C_A(σ))$ et $a_B(σ)=\Int(C_B(σ))$, où
+$\Int(g)$ désigne la conjugaison $m↦gmg^{-1}$.
+Par définition (\refext{formes}{definition cocycle forme}),
+$C_A$ (resp. $C_B$) est un relèvement à $\GL_n(K)$ (resp. $\GL_m(K)$)
+d'un $1$-cocycle à valeurs dans $\PGL_n(K)$ (resp. $\PGL_m(K)$)
+de classe $[A]$ (resp. $[B]$) dans $H¹(Π,\GL_n)$ (resp. $H¹(Π,\GL_m)$).
+Posons $C=A⊗_k B$ et notons $ξ:𝐌_{nm}(K)→C_K$ l'inverse de l'isomorphisme
+composé
+\[C_K=(A⊗_k B)_K⥲A_K⊗_K B_K⥲𝐌_n(K)⊗_K 𝐌_m(K) ⥲ 𝐌_{nm}(K),\]
+déduit de (i) et (ii) ci-dessus.
+Le premier isomorphisme est $Π$-équivariant si l'on fait
+agir chaque $σ∈Π$ diagonalement sur $A_K⊗_K B_K$,
+c'est-à-dire via $σ_A⊗σ_B$. En d'autres termes, $σ_C$ « correspond » à $σ_A⊗σ_B$.
+Il en résulte que pour chaque $σ∈Π$, l'automorphisme
+$a_C(σ)=ξ^{-1}∘σ_C∘ξ∘σ_{𝐌_{nm}}^{-1}$ est $\Int(C_C(σ))$,
+où $C_C(σ)$ est le produit de Kronecker $C_A(σ)⊗C_B(σ)$ des matrices
+inversibles $C_A(σ)$ et $C_B(σ)$.
+Il résulte de la compatibilité $(g⊗g')(h⊗h')=(gh)⊗(g'h')$ entre produit
+de Kronecker et produit matriciel que l'on a
+\[
+ΔC_C(σ,τ)=ΔC_A(σ,τ)⊗ΔC_B(σ,τ),
+\]
+où $ΔC$ est défini comme en \ref{construction 2-cobord}.
+Les matrices $ΔC_A(σ,τ)$ et $ΔC_B(σ,τ)$ sont ici des matrices scalaires ;
+la matrice $ΔC_C(σ,τ)$ est donc la matrice scalaire dont
+le facteur d'homothétie est le produit des facteurs d'homothétie.
+(En effet, l'isomorphisme (i) ci-dessus
+envoie la matrice $λ\Id_n⊗μ\Id_m$ sur la matrice $λμ\Id_{nm}$.)
+Puisque, par définition, $ΔC_C$ représente le $2$-cocycle associé à $[C]$, on a bien
+l'égalité $[C]=[A]+[B]$, en notation additive.}
+\end{démo}
+
+Cette proposition est un ingrédient essentiel
+qui nous permettra ci-après d'obtenir
+une description cohomologique du \emph{groupe de Brauer},
+que nous allons maintenant définir.
+
+\section{Groupe de Brauer}\label{définition équivalence algèbres
+Azumaya}
+\subsection{Définition}
+\subsubsection{}Soient $k$ un corps et $K\bo k$ une extension.
+Notons $\Br(k)$ (resp. $\Br(K\bo k)$)
+le quotient du monoïde $\Azu(k)$ des classes d'isomorphismes
+de $k$-algèbres d'Azumaya
+(resp. du monoïde $\Azu(K\bo k)$ des classes d'isomorphismes
+de $k$-algèbres
+d'Azumaya trivialisées par $K\bo k$) par la relation
+d'équivalence :
+$A≈B$ s'il existe des entiers $m,n$ et des isomorphismes
+$A⊗_k 𝐌_m(k)≃B⊗_k 𝐌_n(k)$.
+Il résulte de la proposition ci-dessous que les monoïdes
+commutatifs $\Br(k)$ et $\Br(K\bo k)$ sont des
+\emph{groupes}.
+D'autre part, il est évident que $\Br(K\bo k)$
+est le noyau du morphisme d'extension des scalaires
+$\Br(k)→\Br(K)$, $A↦A_K$.
+
+\begin{définition2}\label{définition groupe de Brauer}
+Le groupe $\Br(k)$ est appelé \emph{groupe de
+Brauer}\index{groupe de Brauer}
+de $k$.
+\end{définition2}
+
+\subsection{Structure de groupe et description cohomologique}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $A$ une algèbre d'Azumaya sur $k$.
+L'application $k$-bilinéaire
+$A×A→\End_{k\traitdunion\ev}(A)$,
+$(a,b)↦\big(x↦axb\big)$ induit un isomorphisme de
+\emph{$k$-algèbres}
+\[
+A⊗_k A\op⥲\End_{k\traitdunion\ev}(A),
+\]
+où $A⊗_k A\op$ est la $k$-algèbre dont l'espace vectoriel
+sous-jacent
+est $A⊗_k A$ et dont la structure d'algèbre est définie par
+les relations $(a⊗b)(a'⊗b')=(aa')⊗(b'b)$ pour tout
+quadruplet $a,b,a',b'$
+d'éléments de $A$.
+\end{proposition2}
+
+Remarquons que le morphisme $A⊗_k
+A\op→\End_{k\traitdunion\ev}(A)$
+correspond à la structure naturelle de $(A,A)$-bimodule
+sur $A$ (cf. \refext{Tens}{}) et que
+$\End_{k\traitdunion\ev}(A)≃𝐌_n(k)$, où $n=\dim_k(A)$,
+s'envoie
+sur l'unité de $\Br(k)$.
+
+\begin{démo}
+Par construction, l'application $k$-linéaire $f^A:A⊗_k
+A→\End_{k\traitdunion\ev}(A)$
+déduite de $A×A→\End_{k\traitdunion\ev}(A)$ induit un
+morphisme d'algèbres
+$A⊗_k A\op→\End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où la structure
+d'anneau sur $\End_{k\traitdunion\ev}(A)$
+est bien entendu donnée par la composition des
+endomorphismes.
+Soit $d$ la dimension de $A$ sur $k$. Puisque
+$\dim_k(A⊗_k A)=d²=\dim_k \End_{k\traitdunion\ev}(A)$,
+il suffit de démontrer que l'application
+linéaire $f^A$ est injective. Soit $K\bo k$ une extension
+trivialisant
+$A$. L'application linéaire ${f^A}_K$ obtenue par extension
+des scalaires s'identifie
+à l'application $f^{A_K}:A_K⊗_K
+A_K→\End_{K\traitdunion\ev}(A_K)$ et $f^A$ est bijective
+si et seulement si ${f^A}_K$ l'est. On se ramène donc
+à démontrer la proposition dans le cas particulier où
+$A=𝐌_n(k)$.
+Le $k$-espace vectoriel $𝐌_n(k)⊗𝐌_n(k)$ est libre de base
+les
+$E_{i,j}⊗E_{s,t}$ ($1≤i,j,s,t≤n$). Considérons des
+coefficients $λ_{i,j}^{s,t}$
+tels que
+$f^{𝐌_n(k)}(∑_{(i,j,s,t)}λ_{i,j}^{s,t}E_{i,j}⊗E_{s,t})=0$
+c'est-à-dire, pour toute matrice $m∈𝐌_n(k)$ :
+\[
+∑_{(i,j,s,t)} λ_{i,j}^{s,t}E_{i,j}mE_{s,t}=0.
+\]
+Si $m=E_{p,q}$, cette relation devient
+$∑_{(i,t)}λ_{i,p}^{q,t}E_{i,t}=0$,
+ou encore $λ_{i,p}^{q,t}=0$ pour toute paire d'indices
+$(i,t)$ car les matrices $E_{i,t}$ sont libres
+sur $k$. Le noyau de $f^{𝐌_n(k)}$ est donc trivial ;
+$f^{𝐌_n(k)}$ est un isomorphisme.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}\label{notations Azu-Brauer}Il résulte de la proposition \ref{multiplicativité cobord
+Azu}
+que l'application $δ^{\Azu}_{K\bo k}$ induit par passage au
+quotient
+un morphisme de groupes $δ^{\Br}_{K\bo k}:\Br(K\bo
+k)→H²(K\bo k,\Gm)$.
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row
+sep=5ex]{
+& A \text{ mod. isom.} & A \text{ mod. équiv.}\\
+∐_n H¹(K\bo k,\PGL_n) & \Azu(K\bo k)=∐_n \Azu(n,K\bo k) &
+\Br(K\bo k)\\
+&H²(K\bo k,\Gm)& \\};
+\draw[|->] (diag-1-2) -- (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$δ^{\Azu}_{K\bo k}$}
+(diag-3-2);
+\draw[->] (diag-2-3) -- node{$δ^{\Br}_{K\bo k}$} (diag-3-2);
+\draw[<-] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+\draw[<<-] (diag-2-3) -- (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{théorème2}\label{description cohomologique Brauer extension finie}
+Le morphisme $δ^{\Br}_{K\bo k}$ est un \emph{isomorphisme}.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Injectivité. Soit $b∈\Br(K\bo k)$ dans le noyau de
+$δ^{\Br}_{K\bo k}$.
+Considérons une algèbre d'Azumaya $A$ donc la classe
+d'équivalence
+(au sens de \ref{définition équivalence algèbres Azumaya})
+est $b$ et
+notons $n$ son rang. Par définition de $δ^{\Br}$, on
+a $δ^{\Br}_{K\bo k}(b)=δ_{n,K\bo k}([A])$, qui est donc nul,
+où
+$[A]∈\Azu(n,K\bo k)$ est la classe d'\emph{isomorphisme} de
+$A$.
+Par construction de $δ_{n,K\bo k}$, la nullité de la classe
+de cohomologie
+$δ_{n,K\bo k}([A])$ signifie que si $c:Π→\PGL_n(K)$ un
+$1$-cocycle
+représentant l'image de $[A]$ dans $H¹(K\bo k,\PGL_n)$, et
+$C$ un
+relèvement quelconque dans $\GL_n$, il existe une fonction
+$λ:Π→K^×$
+telle que $ΔC(σ,τ)=λ_σ⋅{^σ λ_τ}⋅λ_{στ}^{-1}$
+(\ref{2-cocycles cohomologues}),
+où $ΔC(σ,τ)=C(σ)⋅{^ σ C(τ)}⋅C(στ)^{-1}∈K^×$
+(\ref{construction
+2-cobord}). Ces deux égalités, valables pour toute paire
+$(σ,τ)$,
+ont pour conséquence que $C':σ↦λ_σ^{-1}C(σ)$, qui est un
+autre relèvement
+de $c$, est un $1$-cocycle à valeurs dans $\GL_n(K)$.
+D'après
+\ref{Hilbert 90}, $C'$ est nécessairement cohomologue au
+cocycle
+trivial. Il en est donc de même de son image $c$ par
+composition
+avec l'application $\GL_n(K)↠\PGL_n(K)$. La classe de $c$
+dans
+$H¹(K\bo k,\PGL_n(K))$ étant triviale, $A$ est $k$-isomorphe
+à $𝐌_n(k)$ (cf. \ref{Brn=H1PGLn}). La classe d'équivalence
+$b$ de $A$ dans $\Br(K\bo k)$ est donc triviale ; puisque
+$δ^{\Br}_{K\bo k}$ est un morphisme de groupes, cela suffit
+pour
+démontrer l'injectivité.
+
+Surjectivité. Soit $n=\# Π=[K:k]$. On va montrer, plus
+précisément,
+que l'application $δ_{n,K\bo k}^{\Azu}:\Azu(n,K\bo
+k)→H²(K\bo k,\Gm)$
+est surjective ou encore, de façon équivalente, que
+l'application
+$δ_{n,K\bo k}:H¹(K\bo k,\PGL_n)→H²(K\bo k,\Gm)$ l'est.
+Par construction (\ref{construction 2-cobord}), cela revient
+à vérifier que tout $2$-cocycle $f:Π→K^×$
+peut s'écrire sous la forme $f(σ,τ)=C(σ)⋅{^σ
+C(τ)}⋅C(στ)^{-1}$
+où $C$ est à valeurs dans $\GL_n(K)$.
+Fixons $f$ ainsi qu'un $K$-espace vectoriel $V$ ayant une
+base $e$ indicée par les éléments de $Π$. Pour tout $σ∈Π$,
+considérons l'automorphisme $C(σ)∈\GL(V)$
+envoyant chaque $e_τ$ sur $f(σ,τ)e_{στ}$.
+Par construction, on a
+\[\big(C(σ)⋅{^σ C(τ)}\big)(e_υ)=C(σ)\big(σ(f(τ,υ))e_{τυ}\big)=\big(f(σ,τυ)⋅σ(f(τ,υ))\big)e_{στυ}. \]
+D'autre part, calculons :
+\[\big(f(σ,τ)C(στ)\big)(e_υ)=\big(f(σ,τ)f(στ,υ)\big)e_{στυ}.\]
+L'application $f$ étant un $2$-cocycle, on a $f(σ,τ)f(στ,υ)=f(σ,τυ)⋅σ(f(τ,υ))$
+(forme multiplicative de \ref{condition 2-cocycle})
+de sorte que $C(σ)⋅{^σ C(τ)}=f(σ,τ)C(στ)$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}\label{premier bout suite exacte longue}
+Le lecteur remarquera que la démonstration de l'injectivité
+est formelle : avec les notations de \ref{Brauer et H2}, on
+a vérifié
+que la suite $H¹(Π,E)→H¹(Π,G)\dessusdessous{δ}{→}H²(Π,A)$
+est exacte
+au sens où $c∈H¹(Π,G)$ satisfait $δ(c)=0∈H²(Π,A)$ si et
+seulement
+si $c$ est dans l'image de $H¹(Π,E)→H¹(Π,G)$. (Cf.
+\refext{Coho}{}.)
+\end{remarque2}
+
+\begin{remarques2}
+Le théorème précédent peut-être vu comme l'analogue
+abstrait de la description autrefois classique du groupe
+de Brauer $\Br(K\bo k)$, où $K\bo k$ est finie galoisienne
+de groupe $Π$, en termes de « produits croisés ».
+Si $f$ est un $2$-cocycle $Π → K^×$, on munit l'espace vectoriel
+$⨁_{σ∈Π} Ke_σ$ de la structure de $k$-algèbre suivante :
+$e_σ⋅e_τ=f(σ,τ)e_{στ}$ et $e_σ⋅λ=σ(λ)⋅e_σ$, où $σ,τ∈Π$ et
+$λ∈K$. On vérifie sans peine qu'une telle algèbre est
+associative — cela résulte des
+équations \ref{condition 2-cocycle}
+parfois dites « de Nœther » —, \emph{simple}
+(\ref{définition artinien simple primitif}), de centre $k$ et de rang $[K:k]²$.
+Prendre garde au fait que cette description est seulement valable
+dans le groupe de Brauer, c'est-à-dire après passage au quotient
+par la relation d'équivalence (§\ref{définition équivalence algèbres Azumaya}) :
+il existe des algèbres d'Azumaya qui ne sont pas \emph{isomorphes}
+à des produits croisés. Voir \cite{central@Amitsur} pour le premier
+exemple construit ou \cite{BHN@Roquette} (spécialement §7.2) pour une mise en perspective
+historique de ces questions. Enfin, on pourra observer que la construction
+d'une algèbre d'Azumaya produit croisé associé à un $2$-cocycle est très
+semblable à la description générale \refext{Formes}{formes algèbres et cocycles}
+(cf. \cite[29.11]{Involutions@KMRT} pour des détails).
+\end{remarques2}
+
+\begin{exercice2}
+Vérifier la simplicité du produit croisé.
+\end{exercice2}
+
+\section{Algèbres de quaternions}
+
+\subsection{Définition et premières propriétés}
+
+{
+\def\i{\mathsf{i}}
+\def\j{\mathsf{j}}
+\def\k{\mathsf{k}}
+
+\subsubsection{}\label{définition quaternions}Soit $K$ un corps de
+caractéristique différente de deux. Pour toute paire $(a,b)∈K^× × K^×$, considérons
+la $K$-algèbre
+\[
+\quater{a,b}{K}=K⊕K\i⊕K\j⊕K\k
+\]
+caractérisée par les relations
+\[
+\i²=a,\j²=b,\k²=-ab
+\]
+et
+\[
+\i\j=\k=-\j\i.
+\]
+Une telle algèbre est une \emph{algèbre de quaternions}\index{algèbre de
+quaternions} sur $K$. Cette définition généralise celle
+du corps non commutatif $𝐇:=\quater{-1,-1}{𝐑}$ des quaternions de Hamilton.
+Remarquons également que la construction précédente a un sens
+dès que $K$ est un anneau commutatif.
+
+\begin{remarque2}
+La définition précédente n'est la « bonne » que si $K$ est supposé
+de caractéristique différente de deux. Donner la définition dans ce cas
+et modifier les énoncés ci-dessous. \XXX
+\end{remarque2}
+
+Par construction, le sous-anneau $K[\i]$
+d'une $K$-algèbre de quaternions $\quater{a,b}{K}$
+est isomorphe au quotient $K[X]/(X²-a)$. Si $a ∉K²$, cette $K$-algèbre
+de dimension deux est un corps ; dans le cas contraire, elle est isomorphe à $K²$ et
+$\quater{a,b}{K}$ n'est donc pas intègre. De même pour $K[\j]$ et $b$.
+Plus précisément :
+
+\begin{lemme2}\label{critère trivialité algèbre quaternions}
+Si l'un des éléments $a,b$ est un carré dans $K$,
+la $K$-algèbre $\quater{a,b}{K}$ est isomorphe à $𝐌₂(K)$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Supposons $a=α²$ où $α∈K^×$.
+Considérons l'application $K$-linéaire
+envoyant $\i$ sur $\deuxdeux{α}{0}{0}{-α}$,
+$\j$ sur $\deuxdeux{0}{b}{1}{0}$ et $\k$ sur $\deuxdeux{0}{-bα}{α}{0}$.
+C'est un isomorphisme de $K$-espaces vectoriels ; on vérifie par le calcul
+que c'est un morphisme de $K$-algèbres. Le cas $b∈(K^×)²$ est semblable.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}\label{1-cocycle quaternionique}Soit $\quater{a,b}{K}$ une algèbre de quaternions sur $K$.
+Pour toute extension $K'\bo K$, la $K'$-algèbre $\quater{a,b}{K}⊗_K K'$ est naturellement isomorphe
+à $\quater{a,b}{K'}$ : envoyer $μx⊗λ$, où $μ∈K$ et $x∈\{\i,\j,\k\}$ sur $(μλ)x∈K'x$.
+Il résulte donc du lemme précédent qu'une algèbre de quaternions est une algèbre d'Azumaya de
+rang deux : quitte à extraire une racine carrée, elle devient triviale.
+Supposons pour fixer les idées que $a$ ne soit pas un carré et
+que $K$ soit de caractéristique différente de deux. Le corps
+$K_a=K(\sqrt{a})$ est une extension étale quadratique de $K$
+et l'algèbre $\quater{a,b}{K}$ définit donc un élément de
+$H¹(K_a \bo K,\PGL₂(K_a))$ que nous allons maintenant expliciter.
+Soit $φ: 𝐌_2(K_a) ⥲ \quater{a,b}{K}⊗_K K_a$ l'inverse de l'isomorphisme
+défini ci-dessus (\ref{critère trivialité algèbre quaternions}, démonstration).
+La théorie générale des formes nous permet d'associer à $φ$ un $1$-cocycle
+— dont la classe caractérise $\quater{a,b}{K}$ à $K$-isomorphisme près —
+de $Π_a=\Gal(K_a\bo K)$ à valeurs dans le groupe $\PGL₂(K_a)$, ce dernier étant
+muni de l'action évidente de $\Gal(K_a\bo K)$ (cf. \refext{formes}{1.2.4} \emph{sqq.}).
+Notons $τ_a∈ Π_a$ l'unique élément non trivial : $τ_a(α)=-α$ et $τ_a(x)=x$ pour
+$x ∈ K$. Par construction, le $K_a$-automorphisme $c_φ(τ_a)$ de $𝐌₂(K_a)$ envoie les matrices
+$\deuxdeux{1}{0}{0}{-1}$ et $\deuxdeux{0}{-b}{1}{0}$ sur leurs opposées
+et laisse invariantes les matrices $\deuxdeux{1}{0}{0}{1}$ et
+$\deuxdeux{0}{b}{1}{0}$. D'après le théorème de Skolem-Nœther
+(\ref{Skolem-Noether sur corps}), il existe une matrice
+$g=\deuxdeux{x}{y}{z}{w}∈\GL₂(K_a)$, bien définie à un scalaire multiplicatif
+près, telle que $c_φ(τ_a)=g\tiret g^{-1}$.
+Les conditions
+\[
+\deuxdeux{x}{y}{z}{w}⋅\deuxdeux{1}{0}{0}{-1}=-\deuxdeux{1}{0}{0}{-1}⋅\deuxdeux{x}{y}{z}{w}
+\]
+et
+\[
+\deuxdeux{x}{y}{z}{w}⋅\deuxdeux{0}{b}{1}{0}=\deuxdeux{0}{b}{1}{0}⋅\deuxdeux{x}{y}{z}{w}
+\]
+se traduisent respectivement en : $x=w=0$ et $y=bz$.
+Le cocycle $c_φ: Π_a =⟨τ_a⟩→\PGL₂(K_a)$ est donc $τ_a↦\deuxdeux{0}{b}{1}{0}$.
+(L'image de l'identité étant l'identité, par construction.)
+
+Ce cocycle est cohomologue au cocycle trivial si et seulement si
+il existe une matrice $m=\deuxdeux{x}{y}{z}{w}∈\GL₂(K)$ et un scalaire
+$λ ∈ K_a^×$ tels que
+\[
+m \deuxdeux{0}{b}{1}{0}=λ ⋅{^{τ_a} m}.
+\]
+Cette condition se réécrit : $bz=λτ_a(x)$, $λ τ_a(z)=x$, $bw=λ τ_a(y)$, et $λ τ_a(w)=y$.
+En multipliant ces égalités, on obtient $b\N_a(z)=λ\N_a(x)$ et $b\N_a(w)=λ\N_a(z)$, où
+$\N_a$ désigne la norme $t ↦ t ⋅ τ_a(t)$ de $K_a$ à $K$.
+Puisque $z$ et $w$ ne peuvent pas être simultanément nuls ($\det(m)=xw-yz≠0$),
+on a donc nécessairement $b∈\N_a(K_a)$. Réciproquement, si $b=\N_a(β)$, poser
+par exemple $z=1$, $λ=β$, $x=β$, $w=α$ et $y=βτ_a(α)$.
+
+Il résulte du corollaire \ref{Brn=H1PGLn} que l'on a démontré
+la proposition suivante.
+
+\begin{proposition2}\label{caractérisation algèbres quaternions triviales}
+Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b$ deux éléments
+non nuls. Si $a$ n'est pas un carré, l'algèbre $\quater{a,b}{K}$ est triviale,
+c'est-à-dire $K$-isomorphe à l'algèbre $𝐌₂(K)$ des matrices $2×2$,
+si et seulement si $b∈\N_{K(\sqrt{a})\bo K}\left(K(\sqrt{a})\right)$.
+\end{proposition2}
+
+On renvoie le lecteur à \cite[2.2]{seisuuron@Saito} pour une démonstration plus
+élémentaire.
+
+\begin{corollaire2}
+Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b$ deux éléments
+non nuls de $K$. Les algèbres de quaternions $\quater{a,-a}{K}$ et $\quater{a,1-a}{K}$
+sont triviales.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+En effet, si $a∈{K^×}²$ et $s=x+y\sqrt{a} ∈ K_a=K(\sqrt{a})$, $\N_a(s)=x²-ay²$
+de sorte que $-a$ et $1-a$ appartiennent à $\N_a(K_a)$.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{algèbre quaternions finie est triviale}
+Soit $𝐅$ un corps fini de caractéristique $p≠2$. Toute algèbre de quaternions
+sur $𝐅$ est triviale.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+En effet, on a vu en \refext{Fin}{trace-et-norme-corps-finis} que pour toute extension finie $𝐅'\bo 𝐅$,
+la norme $\N_{𝐅'\bo 𝐅}$ est surjective.
+\end{démo}
+
+Pour une généralisation, cf. \ref{corps gauche fini est commutatif}.
+
+\begin{remarque2}
+On vérifie comme ci-dessus que deux cocycles $τ_a ↦ \deuxdeux{0}{b}{1}{0}$ et
+$τ_a ↦ \deuxdeux{0}{b'}{1}{0}$ sont cohomologues (\refext{formes}{généralités
+1-cocycles}) lorsque $b{b'}^{-1}∈\N_a(K_a)$.
+Il en résulte que, pour tout $λ∈K_a^×$, les $K$-algèbres $\quater{a,b}{K}$
+et $\quater{a,b\N_a(λ)}{K}$ sont isomorphes. En particulier,
+$\quater{a,b}{K}≃\quater{a,bc²}{K}$ pour tout $c∈K^×$. On en déduit
+aisément que la seule $𝐑$-algèbre de quaternions non-triviale
+est $𝐇=\quater{-1,-1}{𝐑}$. Pour une généralisation au cas des corps $p$-adiques,
+cf. \refext{p-adiques}{}. \XXX
+\end{remarque2}
+
+\begin{corollaire2}\label{critère quadratique de trivialité quaternionique}
+Soit $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b$ deux éléments
+non nuls de $K$. L'algèbre de quaternions $\quater{a,b}{K}$ est triviale
+si et seulement si la forme quadratique $aX²+bY²-Z²$ a un zéro non trivial.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+L'équivalence dans le cas où $a$ est un carré dans $K$ est évidente : l'algèbre de quaternion
+est triviale et la forme a un zéro non trivial.
+Supposons donc $a$ non carré. D'après \ref{caractérisation algèbres quaternions triviales},
+il faut montrer l'équivalence entre l'existence d'une solution à l'équation
+$z²-ax²=b$ et l'existence d'un zéro non trivial à l'équation $ax²+by²-z²=0$.
+Or, sous l'hypothèse que $a$ n'est pas un carré, toute solution
+de la seconde équation satisfait l'inégalité $y≠0$. L'équivalence
+est alors claire en divisant par $y$.
+\end{démo}
+
+Tout corps fini étant $C₁$ (\refext{C1}{theoreme-chevalley-warning}), ce critère
+donne une seconde démonstration du corollaire (\ref{algèbre quaternions finie est triviale}) précédent.
+
+\subsubsection{}\label{2-cocycle quaternionique}Il résulte immédiatement
+des calculs de \ref{1-cocycle quaternionique} et de la définition
+du cobord (\ref{cobord Brauer}) que la classe de $\quater{a,b}{K}$
+dans $\Br(K_a \bo K)$ est représentée par le $2$-cocycle
+$c_{a,b}:Π_a → K_a^×$, envoyant $(τ_a,τ_a)$ sur $b$ et les trois autres couples de $Π_a²$
+sur $1$.
+
+\begin{corollaire2}\label{produit tensoriel algèbres quaternions}
+Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b,b ′$ trois éléments
+non nuls de $K$. Dans le groupe de Brauer $\Br(K(\sqrt{a})\bo K)$, on a
+l'égalité :
+\[
+[\quater{a,b}{K}] ⋅ [\quater{a,b ′}{K}]=[\quater{a,b b ′}{K}].
+\]
+En particulier, $\quater{a,b}{K} ⊗_K \quater{a,b}{K}$ est isomorphe
+à $𝐌₄(K)$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Le premier point résulte de \ref{multiplicativité cobord Azu} :
+la classe du produit tensoriel est représentée par le $2$-cocycle
+$Π_a → K_a^×$ envoyant $(τ_a,τ_a)$ sur $b ⋅ b ′$ et trivial ailleurs.
+On a vu que ce cocycle représente l'algèbre de quaternion $\quater{a,b b ′}{K}$.
+Enfin, si $b b ′=b²$, il résulte du critère \ref{critère trivialité algèbre
+quaternions} que $\quater{a,b b ′}{K}$ est triviale. Pour des raisons
+de rang, le produit tensoriel des algèbres de quaternions de l'énoncé est alors
+isomorphe à $𝐌₄(K)$.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}\label{notations quaternions=H2mu2}L'argument ci-dessus et le fait que le noyau
+de l'élévation au carré $K_a^× → K_a^×$ soit le sous-groupe $\{±1\} ⊆ K^×$
+pourrait conduire le lecteur à penser que le cocycle $c_{a,b}$ introduit
+ci-dessus, dont la classe est d'ordre (au plus) deux, est cohomologue à un cocycle
+à valeurs dans $\{±1\}$, autrement dit que sa classe
+$[c_{a,b}] ∈ H²(K_a\bo K, K_a^×)$ appartiendrait à l'image
+de l'application naturelle $H²(K_a\bo K, \{±1\}) → H²(K_a\bo K, K_a^×)$.
+Il n'en est rien en général mais signalons dès maintenant que ce
+résultat est vrai « à la limite », c'est-à-dire après passage
+à une extension galoisienne suffisamment grande\footnote{Plus précisément,
+son image dans $H²(K,\Gm):=\colim H²(K_α \bo K,K_α^×)$
+appartient à l'image de $H²(K,μ₂):=\colim H²(K_α\bo K, \{±1\})$. Cette image
+coïncide avec la $2$-torsion de $H²(K,\Gm)$. Cf. \emph{infra}.\XXX}.
+
+Nous allons donner ici une démonstration \emph{ad hoc} de ce fait
+dans le cas particulier qui nous occupe ; un énoncé général sera donné
+en \ref{H2mun=Brn}. Supposons que $b²$ n'appartient pas à $K_a$ sans quoi il n'y a rien
+à démontrer (cf. \ref{caractérisation algèbres quaternions triviales}).
+L'extension $K_{a,b}=K(\sqrt{a},\sqrt{b})$ de $K$ est alors galoisienne
+de groupe $Π_{a,b}$ isomorphe au groupe de Klein\footnote{Cf. \ref{groupe de Klein et quaternions} \emph{infra}
+pour d'autres liens entre les quaternions et ce groupe.}
+$V₄=𝐙/2× 𝐙/2$. Nous notons $τ_a$ et $τ_b$ les générateurs définis
+par les conditions $τ_a(\sqrt{a})=-\sqrt{a}$
+(resp. $τ_b(\sqrt{b})=-\sqrt{b}$) et $τ_a(\sqrt{b})=\sqrt{b}$ (resp.
+$τ_b(\sqrt{a})=\sqrt{a}$) et posons $τ_c=τ_a τ_b$.
+
+Notons également $c ′_{a,b}$ le $2$-cocycle de $Π_{a,b}$ à valeurs dans $K_{a,b}^×$
+déduit de $c_{a,b}$ par composition avec la surjection canonique $Π_{a,b} ↠ Π_a$.
+Explicitement, $c ′_{a,b}$ est la fonction de $Π²_{a,b}$ dans $K_{a,b}^×$
+valant $b$ en $(τ_a,τ_a),(τ_a,τ_c),(τ_c,τ_a)$ et $(τ_c,τ_c)$
+et $1$ sinon. Enfin, considérons la fonction $c^∪_{a,b}:Π²_{a,b} → \{±1\}$
+valant $-1$ en $(τ_a,τ_b),(τ_a,τ_c),(τ_c,τ_b)$ et $(τ_c,τ_c)$
+et $1$ sinon. On vérifie immédiatement par le calcul que c'est un $2$-cocycle.
+
+Donnons brièvement une interprétation moins \emph{ad hoc} de ce cocycle.
+
+\subsubsection{digression : (cup-)produit}\label{cup-produit I}
+
+Soient $Π$ un groupe et $A$,$B$ deux $Π$-modules, c'est-à-dire deux groupes
+abéliens munis d'une action respectant l'addition de $Π$. Supposons également donné
+un « accouplement » $Π$-équivariant $A ⊗_𝐙 B → C$, où $C$ est un troisième
+$Π$-module. En d'autres termes, on se donne une application bilinéaire $φ:A×B → C$
+telle que $φ(g(a),g(b))=g(φ(a,b))$ pour tous $(a,b,g) ∈ A×B×G$.
+Étant donné deux classes de $1$-cocycles $c₁ ∈ H¹(Π,A)$ et $c₂ ∈ H¹(Π,B)$
+on note $c₁ ∪_φ c₂$, ou bien $c₁ ∪ c₂$, $c₁ ⋅ c₂$,
+la classe de $2$-cocycles à valeurs dans $C$,
+\[
+c₁ ∪_φ c₂=\Big[(g₁,g₂) ↦ φ \big(-γ₁(g₁) ⊗ g₁ γ₂(g₂)\big)\Big]
+\]
+où $c₁=[γ₁]$ et $c₂=[γ₂]$. Cette notation n'a de sens qu'après avoir
+vérifié, comme il est aisé de le faire, que la classe ainsi définie
+ne dépend pas du choix des représentants $γ₁$ et $γ₂$.
+
+Reprenons les notations de \ref{notations quaternions=H2mu2} et posons
+de plus $μ₂=\{±1\}$. Notons $(a) ∈ H¹(Π_{a,b}, μ₂)=\Hom(Π_{a,b}, μ₂)$
+(resp. $(b)$) le morphisme défini par $(a)(σ)=\frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}}$
+(resp. $(b)(σ)=\frac{σ(\sqrt{b})}{\sqrt{b}}$).
+Le $2$-cocycle $c^∪_{a,b}$ n'est autre que le produit $(a) ∪ (b)$.
+
+\begin{lemme2}\label{quaternions=H2mu2}
+Les $2$-cocycles $c ′_{a,b}$ et $c^∪_{a,b}$, considérés comme
+étant à valeurs dans $K_{a,b}^×$, sont \emph{cohomologues}.
+En d'autres termes, la classe de l'algèbre $\quater{a,b}{K}$
+dans $\Br(K_{a,b}\bo K) ⥲ H²(K_{a,b}\bo K,\Gm)$ est le produit
+$(a)(b) ∈ H²(K_{a,b}\bo K, μ₂)$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Par définition (\ref{2-cocycles cohomologues}), il faut vérifier qu'il existe
+une fonction $λ: Π_{a,b} → K_{a,b}^×$ telle $c ′_{a,b}(σ,τ)=λ_σ ⋅ {^τ λ_τ} ⋅ λ_{σ τ}^{-1} ⋅ c^∪_{a,b}(σ,τ)$.
+Écrivons pour simplifier $λ_a$ pour $λ_{τ_a}$, $\N_a$ pour $\tiret ⋅ {^{τ_a} (\tiret)}$, etc.
+On vérifie immédiatement en les écrivant que ces seize équations se
+réécrivent : $λ_1=1$, $\N_a(λ_a)=b$, $\N_b(λ_b)=1$, $λ_c=-λ_a ⋅ {^{τ_a} λ_b}=λ_b ⋅ {^{τ_b} λ_a}$.
+Il suffit de poser $λ_a=\sqrt{b}$ et $λ_b=1$.
+\end{démo}
+
+\begin{exercice2}
+Sous les hypothèses de \ref{produit tensoriel algèbres quaternions},
+construire un isomorphisme explicite
+\[\quater{a,b}{K} ⊗_K \quater{a,b ′}{K} ⥲ \quater{a,b b ′}{K} ⊗_K 𝐌₂(K).\]
+(Voir \cite[1.5.2]{Gille-Szamuely}.)
+\end{exercice2}
+
+\subsection{Quaternions inversibles, norme spinorielle}\label{quaternions inversibles}
+
+Dans ce paragraphe, $A$ désigne un anneau commutatif dans lequel
+$2$ est inversible.
+
+\subsubsection{Quaternions inversibles, groupe de Klein et groupe
+quaternionique}\label{groupe de Klein et quaternions}
+
+Notons $𝐇^×(A)$ le groupe des \emph{quaternions inversibles}
+à coefficients dans $A$, c'est-à-dire l'ensembles des éléments
+inversibles pour la multiplication de la $A$-algèbre non nécessairement commutative
+\[𝐇(A)=A⊕A\i⊕A\j⊕A\k\] où $\i²=\j²=\k²=-1$ et $\i\j=\k=-\j\i$.
+Si $A$ est un corps, on a donc $𝐇(A)=\quater{-1,-1}{A}$ (cf. \ref{définition quaternions}).
+Notons $N: 𝐇(A) → A$ l'application « norme »
+— ou plus précisément « norme \emph{réduite} », cf. \emph{infra}
+\ref{définition norme et trace réduites} dans le cas où
+$A$ est un corps — envoyant un quaternion
+$q=x+y\i+z\j+w\k$ sur $q⋅\sur{q}=x²+y²+z²+w²$, où $\sur{q}$ est le \emph{quaternion
+conjugué} $x-y\i-z\j-w\k$.
+Un calcul immédiat montre que la norme est multiplicative
+si bien que $𝐇^×(A)$ est l'ensemble des éléments de $𝐇(A)$ de norme
+inversible dans $A$. Considérons le cas $A=𝐙$ ; comme
+$𝐙^×=\{±1\}$ et les solutions dans $𝐙⁴$ de l'équation $x²+y²+z²+w²=1$
+sont les huit solutions évidentes, le groupe $𝐇^×(𝐙)$
+est isomorphe au groupe \emph{quaternionique} d'ordre huit, que nous noterons $Q₈$.
+Notons $\{1,s_\i,s_\j,s_\k,t,ts_\i,ts_\j,ts_\k\}$
+ses éléments, correspondant respectivement aux
+éléments $\{1,\i,\j,\k,-1,-\i,-\j,-\k\}$ de $𝐇^×(𝐙)$.
+Observons que $t$ est central et que les relations
+$t²=1$, $s²_\i=s²_\j=s²_\k=s_\i s_\j s_\k=t$
+sont satisfaites.
+Rappelons que l'on appelle \emph{groupe de Klein}, noté $V_4$,
+le groupe $\{±1\}²$ dont nous écrirons $\{1,v_\i,v_\j,v_\k\}$ les éléments.
+Ils satisfont les relations $v_\i²=v_\j²=v_\k²=1=v_\i v_\j v_\k$,
+qui permettent de voir $V₄$ soit comme le quotient $\{±1\}³$ par la droite
+$⟨(-1,-1,-1)⟩$ soit comme le sous-groupe de $\{±1\}³$ constitué des éléments
+dont le produit des coordonnées est égal à $1$.
+Le groupe $Q₈$ est une \emph{extension} de ce groupe par $⟨t⟩≃\{±1\}$ : on a une suite exacte
+\[1→⟨t⟩→Q₈→V₄→1,\]
+où $s_μ∈Q₈$ ($μ∈\{\i,\j,\k\}$) est envoyé sur $v_μ∈V₄$ et $t$
+sur $\Id$. (« Suite exacte » : le morphisme $Q₈→V₄$ est surjectif et
+que $\Ker(Q₈→V₄)=⟨t⟩$.).
+
+
+\subsubsection{Quaternions et groupe orthogonal}\label{quaternions et SO3}
+
+Soit $q$ un quaternion \emph{imaginaire}, c'est-à-dire de la forme
+$a\i+b\j+c\k$ de sorte que $\sur{q}=-q$, et réciproquement.
+Considérons un quaternion inversible $r$. Il résulte du fait
+que $r^{-1}$ et $\sur{r}$ différent par multiplication d'un élément du centre
+de $𝐇^×(A)$ (spécifiquement : la norme de $r$ ou son inverse) et de la formule $\sur{xy}=\sur{y}\sur{x}$
+— on dit que l'involution $x ↦ \sur{x}$ est un « anti-automorphisme » —
+que l'on a $\sur{rqr^{-1}}=-rqr^{-1}$ : l'action de $𝐇^×(A)$
+par conjugaison sur $𝐇(A)$ préserve le $A$-module $\Im 𝐇(A)$ libre de rang $3$
+des quaternions imaginaires. On en déduit un morphisme
+$𝐇^×(A) → \GL₃(A)$. Comme d'autre part on a l'égalité $N(rqr^{-1})=N(q)$,
+cette action préserve la forme quadratique euclidienne naturelle sur $\Im 𝐇(A)$,
+$q=a\i+b\j+c\k ↦ N(q)=a²+b²+c²$, si bien que le morphisme précédent
+se factorise à travers un morphisme $𝐇^×(A) → \mathrm{O}₃(A)$.
+
+Le noyau de ce morphisme est $\Gm(A)=A^×$, plongé
+dans $𝐇^×(A)$ par $a↦a⋅1$, car le centre de $𝐇(A)$ est $A$.
+
+\begin{proposition2}\label{H vers special orthogonal}
+L'image du morphisme $𝐇^×(A) → \mathrm{O}₃(A)$ est contenue
+dans $\mathrm{SO}₃(A)$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Il suffit de vérifier l'égalité $\det(q ↦ rqr^{-1})=1$,
+ou encore $\det(q ↦ rq\sur{r})=N(r)³$. Pour cela on peut par exemple
+écrire explicitement la matrice de $q ↦ \frac{1}{N(r)}rq\sur{r}$ dans la base
+$\{\i,\j,\k\}$ de $\Im 𝐇(A)$ et en calculer le déterminant.
+Si $r=x₁+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k$, on trouve
+\[
+\frac{1}{x₁²+x_\i²+x_\j²+x_\k²}\troistrois{x₁²+x_\i²-x_\j²-x_\k²}{2x₁x_\k+2 x_\i x_\j}{-2x₁ x_\j+2 x_\i x_\k}
+{-2x₁ x_\k+2 x_\i x_\j}{x₁²-x_\i²+x_\j²-x_\k²}{2x₁x_\i+2 x_\j x_\k}
+{2x₁x_\j+2 x_\i x_\k}{-2x₁ x_\i+2 x_\j x_\k}{x₁²-x_\i²-x_\j²+x_\k²}
+\]
+pour la matrice, de déterminant un. Remarquons en passant que
+la trace de cette matrice vaut $\frac{4x₁²}{x₁²+x_\i²+x_\j²+x_\k²}-1$.
+
+Alternativement on peut constater que si l'on écrit
+$r=a+b\i+c\j+d\k$, l'égalité à démontrer est une égalité entre
+deux fonctions polynômiales \emph{à coefficients dans $𝐙$}.
+Il suffit donc de vérifier l'égalité pour des paramètres réels (cas $A=𝐑$), c'est-à-dire
+dans le cas des quaternions usuels. Dans ce cas, $𝐇^×(𝐑)≃𝐑^4-\{0\}$ est
+un espace topologique connexe si bien que son image par l'application continue
+« action par conjugaison » est un sous-groupe connexe de $\Orth₃(𝐑)$. Un
+tel groupe est nécessairement contenu dans $\SOrth₃(𝐑)$.
+\end{démo}
+
+Nous utiliserons en \refext{versel}{} le théorème suivant.
+
+\begin{théorème2}\label{parametrisation Euler-Hamilton-Cayley}
+Soit $K$ est un \emph{anneau} dans lequel $2$ est inversible.
+Le morphisme $c:𝐇^×(K) → \SOrth₃(K)$ est \emph{surjectif}.
+Si de plus toute somme de quatre carrés de $K$ est un carré,
+le morphisme $𝐇^{N=1}(K) → \SOrth₃(K)$ est également surjectif.
+\end{théorème2}
+
+Le groupe $𝐇^{N=1}$ est aussi appelé \emph{groupe spin},
+noté $\mathrm{Spin}₃$ ; c'est un revêtement double de $\SOrth₃$.
+
+Dans les deux paragraphes suivants nous allons donner deux démonstrations,
+radicalement différentes, de ce théorème.
+
+\subsubsection{Paramétrisation d'Euler, transformation de Cayley et norme spinorielle}\label{norme
+spinorielle}
+
+Supposons un instant $K=𝐑$.
+Le théorème \ref{parametrisation Euler-Hamilton-Cayley},
+qui est paramétrisation rationnelle du groupe spécial orthogonal
+$\mathrm{SO}₃(𝐑)$, est dans ce cas dû à Euler (cf. \cite{Problema@Euler}).
+Elle généralise la paramétrisation rationnelle de $\SOrth₂(𝐑) ≃ S¹$
+par $𝐑$, envoyant $t ∈ 𝐑$ sur
+\[
+\frac{1-it}{1+it}=\frac{1-t²}{1+t²}+i\frac{2t}{1+t²}.
+\]
+L'analogue de la suite $\Gm → 𝐇^× → \SOrth₃$ est ici
+$1 → 𝐑^× → 𝐂^× → \mathbf{U} → 1$, où $𝐂^× → \mathbf{U}=\{z:|z|=1\}$
+est $x ↦ \frac{x}{\sur{x}}$. La surjectivité de cette flèche est évidente mais
+il est intéressant de constater qu'il existe une section « rationnelle »,
+envoyant $z ∈ \mathbf{U}$ sur $x=1+z$.
+
+Considérons en effet une matrice $3×3$ à coefficients dans $K$, notée $A$, antisymétrique
+($\transpose{A}=-A$). La matrice $1+A$ est alors inversible et commute
+à $1-A$ ; un calcul immédiat montre que le quotient
+\[
+\frac{1-A}{1+A}
+\]
+appartient à $\Orth₃(K)$. Cette application des matrices antisymétriques
+vers le groupe orthogonal est appelée \emph{transformation de
+Cayley}\index{transformation de Cayley}, introduite
+dans \cite{determinants@Cayley}.
+Réciproquement, si $m$ appartient à $\SOrth₃(K)$, l'équation
+$\frac{1-A}{1+A}=m$ est résoluble dès lors que $1+m$ est inversible :
+$A=(1+m)^{-1}(1-m)$.
+Remarquons que $m$ étant spéciale orthogonale, on a l'égalité
+\[
+\det(X-m)=X³-\Tr(m)X²+\Tr(m)X-1
+\]
+d'où, en considérant $X=-1$,
+\[
+\det(m+1)=-2\big(\Tr(m)+1\big).
+\]
+Écrivons $A$ sous la forme
+\[
+A=\troistrois{0}{-x_\k}{x_\j}{x_\k}{0}{-x_\i}{-x_\j}{x_\i}{0}.
+\]
+Calculons la transformée de Cayley de $A$ :
+on a
+\[
+(1+A)^{-1}=\frac{1}{1+x_\i²+x_\j²+x_\k²}
+\left( \begin {array}{ccc}
+1+x_\i^{2} & -x_\k+x_\j x_\i & x_\k x_\i+x_\j\\
+x_\k+ x_\j x_\i& 1 + x_\j² &-x_\i+x_\j x_\k\\
+x_\k x_\i-x_\j & x_\j x_\k +x_\i& 1+x_\k²
+\end {array}
+\right),
+\]
+expression que l'on peut obtenir en appliquant par exemple la formule de Cramer,
+exprimant l'inverse d'une matrice en terme du déterminant et de la transposée de
+sa comatrice ; en multipliant cette matrice par $1-A$,
+on obtient la matrice $c(1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k)$
+(cf. \ref{H vers special orthogonal}, démonstration).
+
+Il n'est maintenant pas difficile d'achever la démonstration du théorème.
+Commençons par quelques notations : pour chaque $μ∈\{1,\i,\j,\k\}$, notons $V_μ(K)$
+(resp. $V′_μ(K)$) le sous-ensemble de $𝐇^×(K)$ constitué des quaternions
+inversibles $q=x_1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k$ tels que $x_μ$ soit non nul
+(resp. égal à un). Les quatre ensembles $V_μ$ recouvrent $𝐇^×(K)$. Posons $g_1=\diag(1,1,1)$, $g_\i=\diag(1,-1,-1)$ $g_\j=\diag(-1,1,-1)$
+et $g_\k=\diag(-1,-1,1)$ (cf. \refext{verselles}{notations
+Witt non 2} pour une interprétation géométrique).
+Pour chaque $μ$, considérons la fonction
+$u_μ:m ↦ \Tr(g_μ ⋅ m) +1=-½\det(m+g_μ)$.
+Remarquons que $g_1+g_\i+g_\j+g_\k=0$ de sorte que
+$u_1+u_\i+u_\j+u_\k$ est la fonction constante de valeur $4 ≠ 0$.
+En particulier, les quatre sous-ensembles $U_μ=\{m:u_μ(m)≠0\}$ recouvrent
+$\mathrm{SO}₃$ où, pour alléger les notations, nous ne précisons plus le corps $K$.
+Comme observé ci-dessus dans le cas particulier
+$μ=1$, on a :
+\[
+u_μ(c(x_1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k))=\frac{4{x_μ}²}{{x_1}²+{x_\i}²+{x_\j}²+{x_\k}²}
+\]
+de sorte que $c(V_μ)$ est contenu dans $U_μ$.
+La commutativité du diagramme
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+V₁′& 𝔄₁ \\ U₁& \\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$c$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$A ↦ \frac{1-A}{1+A}$} node[sloped,swap]{$∼$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k ↦
+\troistrois{0}{-x_\k}{x_\j}{x_\k}{0}{-x_\i}{-x_\j}{x_\i}{0}$} node{$∼$} (diag-1-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+où $𝔄₁$ est l'ensemble matrices antisymétriques
+$A$ telles que $\det(1+A)≠0$ montre que $V₁′$ se \emph{surjecte}
+sur $U₁$. Le même argument, obtenu en remplaçant $1=g₁$ par $g_μ$, permet
+de montrer que l'image de $V ′ _μ$ par $c$ est exactement $U_μ$.
+
+Ceci achève la démonstration de la surjectivité du morphisme $𝐇^× → \SOrth₃$.
+Si l'inclusion ${K^×}²⊆ N(𝐇^×(K))$ est une égalité, il existe pour chaque
+$q ∈ 𝐇^×(K)$ un scalaire $λ ∈ K^×$ tel que $q/λ ∈ 𝐇^{N=1}$.
+La surjectivité du morphisme $𝐇^{N=1} → \SOrth₃$ dans ce cas en découle.
+
+\paragraph{Norme spinorielle}
+Soit $m ∈ \SOrth₃(K)$. D'après ce qui précède, cette matrice possède
+un relèvement $q$ dans $𝐇^×(K)$, bien défini à multiplication par un scalaire près.
+La norme de ce relèvement est donc bien définie à multiplication par un carré près.
+La classe dans $K^×/{K^×}²$ ainsi obtenue s'appelle la \emph{norme
+spinorielle}\index{norme spinorielle} de $m$, notée $\NSpin(m)$.
+Il résulte des calculs précédents et du fait que si $x_μ ∈ K$ est non nul
+la classe de $\frac{4{x_μ}²}{{x_1}²+{x_\i}²+{x_\j}²+{x_\k}²}$
+dans $K^×/{K^×}²$ coïncide avec la classe du dénominateur
+${x_1}²+{x_\i}²+{x_\j}²+{x_\k}²=N(x_1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k)$
+que si $m∈U_μ(K)$, on a l'égalité
+\[
+\NSpin(m)=u_μ(m).
+\]
+
+Il n'est pas difficile de vérifier que la norme spinorielle
+n'est autre que le morphisme $\SOrth₃(K)=H⁰(K,\SOrth₃) → H¹(K,μ₂)=K^×/{K^×}²$
+déduit de la suite exacte $1 → μ₂ → \mathrm{Spin}₃=𝐇^{N=1} → \SOrth₃ → 1$.
+\XXX
+
+\begin{exercice3}
+Montrer que si $m ∈ \SOrth₃(K)$, $\det\big((1+g_μm)(1+m)^{-1}\big)$ est un carré
+en utilisant la transformation de Cayley.
+\end{exercice3}
+
+\begin{exercice3}
+Soit $𝒫$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de rang $1$
+de $K^{\{1,\i,\j,\k\}}$. Montrer que $𝒫 ⥲ \SOrth₃(K)$.
+(cf. matrice de la transformation de Cayley ou, mieux,
+interprétation conceptuelle). Montrer
+que l'application $𝐇^× → 𝒫$, $(x₁,x_\i,x_\j,x_\k) ↦ \frac{1}{∑
+x_μ²}\big(x_μ x_ν \big)$ a $4$ sections sur les ouverts
+[...]. En déduire une nouvelle démonstration de la surjection
+de $𝐇^×(K) → \SOrth₃(K)$. \XXX
+\end{exercice3}
+
+\subsubsection{Seconde démonstration du théorème \ref{parametrisation
+Euler-Hamilton-Cayley} par décomposition en réflexions}
+Nous supposons maintenant que $K$ est un \emph{corps}.
+Il est bien connu (\cite{}) que tout élément du groupe
+$\mathrm{SO}₃(K)=\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$, et plus généralement
+du groupe spécial orthogonal d'une forme quadratique non dégénérée,
+est produit d'un nombre \emph{pair} de réflexions, c'est-à-dire d'éléments $s_r$ de la forme
+$q↦q-\frac{2⟨r,q⟩}{⟨r,r⟩}r$ où $⟨\tiret,\tiret⟩$ est le produit scalaire $⟨x,y⟩=½(x\sur{y}+y\sur{x})$ associé
+à la forme quadratique $x↦N(x)=x \sur{x}$ sur $\Im 𝐇(K)$.
+Il résulte de la formule dite du « produit triple »
+\[
+⟨r,r⟩q-2⟨r,q⟩r=-r\sur{q}r,
+\]
+valable pour toute paire d'éléments $q,r$ de $𝐇(K)$,
+et dont la vérification est triviale,
+que
+\[
+s_r(q)=-r ⋅ \sur{q} ⋅ \frac{r}{N(r)}=-r ⋅ \sur{q} ⋅ \sur{r}^{-1}.\]
+Si $q$ est un quaternion imaginaire on a donc
+\[
+s_r(q)=rq\sur{r}^{-1}.
+\]
+Tout élément de $\mathrm{SO}₃(K)$, composé de tels éléments, s'écrit donc sous la forme
+$q↦rqr′$ où $r,r′$ appartiennent à $𝐇^×(K)$ :
+\[
+s_{r₁} ∘ \cdots ∘ s_{r_n}=\left(q↦(r₁\cdots
+r_n)q (\sur{r_n \cdots r₁})^{-1}\right).\]
+
+Considérons maintenant le plongement naturel
+de $\mathrm{O}₃(K)=\mathrm{O}(\Im 𝐇(K))$ dans $\mathrm{O}₄(K)=\mathrm{O}(𝐇(K))$,
+envoyant une isométrie de $\Im 𝐇(K)$ sur l'unique isométrie de $𝐇(K)$
+la prolongeant agissant trivialement sur le centre $K⋅1$ de $𝐇(K)$.
+(Remarquons que $𝐇(K)=\Im 𝐇(K) ⊥ \mbox{$K⋅1$}$.) Ce plongement préserve le
+déterminant. Une variante immédiate de l'argument précédent montre que
+tout élément de $\mathrm{SO}(𝐇(K))$ est également de la forme
+$q↦rqr′$ avec $r,r ′ ∈𝐇^×(K)$. Ne pouvant utiliser l'égalité $-\sur{q}=q$, on utilise l'identité
+\[
+(q↦-r₁\sur{q}r₁) ∘ (q↦-r₂\sur{q}r₂)=(q↦r₁qr₁) ∘ (q↦\sur{r₂}q\sur{r₂}).
+\]
+Il en résulte qu'un élément de $\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$
+est la restriction d'une isométrie $f:q↦rqr'$ de $𝐇(K)$ avec $f(1)=1$.
+On a donc $rr'=1$, c'est-à-dire $r'=r^{-1}$ : tout élément de $\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$
+est bien une conjugaison par un quaternion.
+
+\section{Torsion du groupe de Brauer « absolu », cohomologie profinie}
+
+% un lemme H⁰ ↠ H⁰ avait été rédigé en b634263c9e1abc045e808288f2d926cb7082b19f
+% mais devrait être absorbé par considérations générales.
+
+\subsection{Motivation}Nous souhaitons donner ici une description cohomologique du groupe
+de Brauer généralisant le théorème \ref{description cohomologique Brauer
+extension finie} au cas d'une extension galoisienne non nécessairement finie.
+Ceci nous permettra également de formaliser le « passage à la limite »
+évoqué en \ref{notations quaternions=H2mu2} et d'obtenir une description
+cohomologique de la torsion du groupe de Brauer d'un corps.
+
+\subsection{Généralités}
+
+\subsubsection{Colimites}Il s'agit de cas particuliers de la théorie
+générale, exposée en \refext{Cat}{definition-systeme-inductif} \emph{et seq}.
+
+Soit $I$ un \emph{ensemble ordonné filtrant}\index{ensemble ordonné filtrant}, c'est-à-dire un ensemble partiellement
+ordonné tel que pour toute paire $i,j ∈ I$, il existe $k ∈ I$ tel que
+$i ≤ k$ et $j ≤ k$. L'exemple essentiel dans ce chapitre
+est l'ensemble $I_{K\bo k}$ des sous-extensions \emph{finies
+galoisiennes} $k ′ \bo k$, ordonnées par l'inclusion, d'une extension
+galoisienne $K\bo k$ non nécessairement finie.
+
+Un \emph{système inductif}\index{système inductif} en groupes abéliens indicé par $I$ est la donnée :
+\begin{itemize}
+\item pour chaque $i ∈ I$ d'un groupe abélien $M_i$ ;
+\item pour chaque couple $i ≤ j$ d'un morphisme $φ_{ij}:M_i → M_j$ tel
+que, pour tout triplet $i ≤ j ≤ k$, on ait :
+\[
+φ_{jk}∘ φ_{ij}=φ_{ik}.
+\]
+\end{itemize}
+
+On appelle \emph{colimite} du système inductif, ou encore \emph{limite
+inductive}, l'ensemble quotient noté $\colim_I (M_i)$ de
+$∐_{i ∈ I} M_i$ par la relation d'équivalence : $m_i ∼ m_j$
+si il existe $k ≥i,j$ tel que $φ_{ik}(m_i)=φ_{jk}(m_j)$.
+C'est naturellement un groupe abélien si l'on munit $\colim_I (M_i)$
+de l'addition suivante : la somme de la classe de $m_i ∈ M_i$
+et de la classe de $m_j ∈ M_j$ est la classe de la somme
+$φ_{ik}(m_i)+φ_{jk}(m_j)$ où $k$ est l'un quelconque
+des indices supérieurs à $i$ et $j$.
+On remarque immédiatement que $\colim_I (M_i)$ reçoit naturellement
+les groupes $M_i$. À titre d'exercice, le lecteur pourra vérifier
+que la colimite ainsi définie est universelle pour cette propriété,
+en un sens qu'il lui faudra trouver (\refext{Cat}{}). Il pourra également
+vérifier que $\colim_I (M_i)$ est isomorphe au quotient
+de la somme directe $⨁_{i ∈ I} M_i$ par le sous-groupe engendré
+par les éléments de la forme $m_j-φ_{ij}(m_i)$.
+
+\subsubsection{Cas particuliers et l'exemple du groupe de Brauer}
+Les faits suivants sont immédiats :
+\begin{enumerate}
+\item Si $I$ a un plus grand élément $ι$, la colimite est naturellement isomorphe à $M_ι$.
+\item Soit $M$ un groupe et $(M_i)$ une collection de sous-groupes tels
+que $M_i ⊆ M_j$ lorsque $i ≤ j$. La colimite du système inductif
+associé — les flèches de transition $φ_{ij}$ étant les inclusions —
+est naturellement en bijection avec la réunion $⋃_i M_i ⊆ M$.
+En particulier, si $(M_i)$ est un système inductif constant de valeur $M$ et à flèches
+de transitions égales à l'identité de $M$, la colimite s'identifie
+naturellement à $M$.
+\end{enumerate}
+
+Soit maintenant $K\bo k$ une extension galoisienne non nécessairement finie.
+Rappelons que l'on note $\Br(K\bo k)$ le noyau $\Br(k) → \Br(K)$.
+Pour $k ′ ∈ I_{K\bo k}$ variable, les sous-groupes $\Br(k ′\bo k)$
+de $\Br(K\bo k)$ définissent naturellement un système inductif.
+
+\begin{lemme2}
+Le morphisme canonique $\colim_{k ′ ∈ I_{K \bo k}} \Br(k ′ \bo k) → \Br(K\bo k)$
+est un isomorphisme.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+D'après le cas particulier (ii) ci-dessus, il suffit de vérifier que $⋃_{k ′} \Br(k ′ \bo k)=\Br(K\bo k)$.
+Rappelons qu'un élément de $\Br(K\bo k)$ est la classe d'équivalence
+d'une algèbre d'Azumaya trivialisée par l'extension des scalaires $\tiret ⊗_k K$.
+D'après \ref{trivialisation Azu descend au niveau fini}, une telle
+trivialisation se descend à une extension finie, que l'on peut bien sûr supposer
+galoisienne.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{Cohomologie}\label{cohomologie profinie}
+Soit $K\bo k$ une extension galoisienne non nécessairement finie de groupe de
+Galois noté $Π_{k}$. Pour $k ′ ∈ I_{K\bo k}$, son sous-groupe
+$Π_{k ′}=\Gal(K\bo k ′)$ est d'indice fini. Considérons un groupe abélien $A$ muni d'une action de $Π_{k}$.
+Pour chaque $k ′$, notons $A_{k ′}$ l'ensemble
+des points fixes $\Fix_{Π_{k ′}}(A)$, naturellement muni d'une action du groupe \emph{fini}
+$Π_{k ′\bo k}=Π_K/Π_{k ′}$. Nous dirons que l'action de $Π_k$ sur $A$ est \emph{admissible} si on a
+l'égalité :
+\[
+A=⋃_{k ′ } A_{k ′}.
+\]
+(Pour une interprétation de cette condition en termes topologiques, cf. \refext{Krull}{}.)
+Nous avons défini en \refext{Formes}{généralités 1-cocycles}
+(resp. \ref{définition 2-cocycle}) les zéroïème et premier (resp. second)
+groupes de cohomologie $H⁰(Π_{k′\bo k},A_{k ′})$ et $H¹(Π_{k ′\bo k},A_{k ′})$
+(resp. $H²(Π_{k ′\bo k},A_{k ′})$). Comme indiqué dans \emph{loc. cit.},
+il s'agit de cas particuliers de constructions générales présentées
+dans l'appendice \refext{Coho}{}. Lorsque le corps $k'$ est contenu dans $k ″$,
+le morphisme de restriction $Π_{k ″\bo k} ↠ Π_{k ′ \bo k}$
+et l'inclusion $A_{k ′} ⊆ A_{k ″}$ induit des morphismes
+dits d'\emph{inflation} $ H^i(Π_{k ′ \bo k},A_{k ′}) → H^i(Π_{k ″\bo k},A_{k ″})$
+pour chaque $i$ : si $c ′:Π_{k ′ \bo k}^i → A_{k ′}$ est un $i$-cocycle,
+le morphisme composé $c ″ : Π_{k ″ \bo k}^i ↠ Π_{k ′ \bo k}^i
+\dessusdessous{c}{→} A_{k ′} ↪ A_{k ″}$ est également un $i$-cocycle
+et sa classe ne dépend que de la classe de $c ′$.
+Les groupes de cohomologies forment alors un ensemble inductif. On pose :
+\[
+H^i(K \bo k,A):=\colim_{k ′ ∈ I_{K\bo k}} H^i(Π_{k ′\bo k},A_{k ′}).
+\]
+
+Si $K\bo k$ est \emph{finie}, on a $H^i(K\bo k,A)=H^i(\Gal(K\bo k),A)$
+car $I_{K\bo k}$ a un plus grand élément. Ceci est conforme
+à la convention de notation \ref{notation H(K/k)}. Lorsque $K$ est une clôture
+séparable de $k$, on note plutôt $H^i(k,A)$ ces groupes. (Le choix de deux clôtures
+séparables mène à des groupes isomorphes.)
+
+Considérons maintenant le cas du groupe multiplicatif $\Gm$, c'est-à-dire $A=K^×$.
+On a $A_{k ′}={k ′}^×$ de sorte que la condition d'admissibilité est satisfaite.
+\begin{lemme2}
+Les isomorphismes $δ^{\Br}_{k ′ \bo k}:\Br(k ′\bo k) ⥲ H²(k ′\bo k,\Gm)$, pour $k ′
+∈ I_{K\bo k}$ sont compatibles avec les morphismes des systèmes inductifs.
+En conséquence, ils induisent un \emph{isomorphisme}
+\[
+\Br(K\bo k) ⥲ H²(K\bo k,\Gm).
+\]
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Par construction (\ref{notations Azu-Brauer}), il suffit de vérifier deux compatibilités :
+celle des cobords $H¹(k ′ \bo k,\PGL_n) → H²(k ′\bo k,\Gm)$
+et celle des isomorphismes $\Azu(n,k ′\bo k)⥲H¹(k ′\bo k,\PGL_n)$. La première est un fait général
+qui résulte immédiatement de la construction \ref{construction 2-cobord}.
+et de la définition ci-dessus des morphismes d'inflation.
+Considérons maintenant la seconde compatibilité.
+Fixons une algèbre d'Azumaya $A$ sur $k$ de rang $n$ et un isomorphisme
+$φ ′: 𝐌_n(k ′) ⥲ A_{k ′}$. Notons $φ ″$ l'unique isomorphisme faisant
+commuter le diagramme
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+𝐌_n(k ′) ⊗_{k ′} k ″ & A_{k ′} ⊗_{k ′} k ″ \\
+𝐌_n(k ″) & A_{k ″} \\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$φ ′ ⊗_{k ′} k ″$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$φ ″$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+dont les flèches verticales sont les isomorphismes canoniques.
+D'après \refext{Formes}{definition cocycle forme}, la classe de
+$A$ dans $H¹(k ′ \bo k,\Aut(𝐌_n))$ (resp. $H¹(k ″ \bo k,\Aut(𝐌_n))$)
+est représentée par le $1$-cocycle
+$c ′_{φ ′}: σ ′ ↦ {φ ′}^{-1} σ ′ φ {σ ′}^{-1}$
+(resp.
+$c ″_{φ ″}: σ ″ ↦ {φ ″}^{-1} σ ″ φ {σ ″}^{-1}$).
+Pour conclure, il faut vérifier que si $σ ″ ∈ Π_{k ″\bo k}$
+est d'image $σ ′$ dans $Π_{k ′ \bo k}$ et que
+${φ ′}^{-1} σ ′ φ {σ ′}^{-1}$ est la conjugaison par une matrice
+inversible $g$, alors ${φ ″}^{-1} σ ″ φ {σ ″}^{-1}$ est également la conjugaison
+par la matrice $g$. Cela résulte du fait qu'un $k ″$-automorphisme de $𝐌_n(k ″)$
+est caractérisé par son action sur $𝐌_n(k ′)$.
+\end{démo}
+
+\subsection{Suites exactes}
+
+Conservons les notations de \ref{cohomologie profinie}.
+Soit
+\[
+0 → A → B → C → 0
+\]
+une suite exacte de $Π_k$-modules admissibles.
+Comme nous l'avons signalé au cours de la démonstration précédente,
+les morphismes $1$-cobords $H¹(k ′ \bo k,C_{k ′}) → H²(k ′ \bo k,A_{k ′})$
+sont compatibles aux morphismes d'inflation de sorte qu'ils induisent
+un morphisme, également appelé $1$-cobord,
+\[
+δ¹_{K\bo k}:H¹(K \bo k,C) → H²(K \bo k,A).
+\]
+
+\begin{proposition2}
+La suite
+\[
+H¹(K \bo k,C) \dessusdessous{δ¹_{K\bo k}}{→} H²(K \bo k,A) → H²(K \bo k,B)
+→ H²(K \bo k,C)
+\]
+est \emph{exacte}.
+\end{proposition2}
+
+Si $K\bo k$ est fini, un énoncé de même nature a été
+démontré et utilisé en \ref{description cohomologique Brauer extension finie} ;
+cf. \ref{premier bout suite exacte longue}.
+
+\begin{démo}
+Cas où $K\bo k$ est finie. Nous ne traitons que le cas de l'exactitude
+en $H²(K\bo k,B)$, les autres cas étant semblables. (Voir aussi
+\refext{Coho}{} pour la démonstration complète d'un énoncé plus général.)
+Soit $c$ un $2$-cocycle à valeurs dans $B$. Notons $\sur{c}$ le $2$-cocycle
+qui s'en déduit par composition à droite avec la surjection $B ↠ C$.
+Il faut montrer que si la classe $[\sur{c}] ∈ H²(K\bo k,C)$ est triviale,
+$c$ est cohomologue à un cocycle à valeurs dans $A$. Par hypothèse
+(cf. \ref{2-cocycles cohomologues}), il existe une famille $(γ_σ)_{σ}$ d'éléments de $C$ tels que
+pour chaque paire $(σ,τ)∈ Π_{K\bo k}²$, on ait $\sur{c}(σ,τ)=γ_σ+{^σ γ_τ} - γ_{σ τ}$.
+Soit $(β_σ)_{σ}$ un relèvement arbitraire de la famille $γ$ dans $B$.
+Par construction le $2$-cocycle $(σ,τ) ↦ c(σ,τ)-\big(β_σ+{^σ β_τ} - β_{σ
+τ}\big)$ est à valeurs dans $A=\Ker(B → C)$. Il est cohomologue à $c$. CQFD.
+
+Cas général : passage à la limite.
+Signalons immédiatement une difficulté : \emph{le passage aux points fixes ne préserve pas nécessairement
+les surjections.} En d'autres termes, pour $k ′ ∈ I_{K\bo k}$, il n'est pas vrai en général
+que le morphisme $B_{k ′} → C_{k ′}$ déduit de la \emph{surjection} $B ↠ C$ soit également surjectif.
+Soit $x$ un élément de la colimite $H²(K\bo k,B)$ dont l'image est nulle dans
+$H²(K\bo k,C)$. Soit $x_{k ′} ∈ H²(k ′\bo k,B_{k ′})$ d'image $x$. L'image de
+$x_{k ′}$ dans $H²(k ′\bo k,C_{k ′})$ n'est pas nécessairement nulle mais le
+devient après application d'un morphisme d'inflation $H²(k ′\bo k,C_{k ′}) → H²(k ″\bo k,C_{k ″})$
+pour $k ″$ assez grand. Quitte à remplacer $x_{k ′}$ par son image dans
+$H²(k″\bo k,B_{k ″})$, on peut supposer que l'image de $x_{k ′}$ dans $H²(k ′ \bo k,C_{k ′})$ est nulle.
+Notons $c_{k ′}$ un $2$-cocycle représentant cette classe. Comme précédemment,
+il existe une famille ${γ_σ}_{σ ∈ Π_{k ′ \bo k}} ∈ C_{k ′}$ telle
+que $\sur{c_{k ′}}(σ,τ)=γ_σ+{^σ γ_τ} - γ_{σ τ}$. Bien que $B$ se surjecte
+sur $C$, on ne peut \emph{a priori} pas relever $γ$ dans $B_{k ′}$. Cependant,
+la famille $γ$ étant \emph{finie} et on a l'égalité $B=⋃ B_{k ″}$, où $k ″$ parcourt
+les extensions galoisiennes de $k$ contenant $k$. Il en résulte qu'il existe
+un corps $k ″$ comme précédemment tel que les $γ_σ$ appartient à l'image de
+$B_{k ″}$. Quitte à remplacer à nouveau $k ′$ par $k ″$, on constate donc
+que l'on peut supposer l'existe d'un relèvement dans $B_{k ′}$ des $γ_σ$.
+On conclut alors comme dans le cas fini.
+\end{démo}
+
+\subsection{Description cohomologique de la $n$-torsion du groupe $\Br(k)$}
+
+Soient $k$ un corps, $k\sep$ une clôture séparable de $k$ et $n$ un entier
+inversible sur $k$. Sous cette hypothèse, l'élévation à la puissance $n$,
+$x ↦ x^n$, ${k\sep}^× → {k\sep}^×$, est \emph{surjective}. Son noyau est l'ensemble
+$μ_n(k\sep)$, de cardinal $n$, des racines de l'unité.
+La proposition précédente montre que l'injection
+naturelle $H²(k, μ_n) → \Ker(H²(k,\Gm) \dessusdessous{[n]}{→} H²(k,\Gm))$
+est un isomorphisme. D'après \ref{description cohomologique Brauer extension finie},
+le terme de droite s'identifie naturellement à la $n$-torsion $\Br_n(k)$
+du groupe de Brauer.
+
+On a donc démontré le théorème ci-dessous.
+
+\begin{théorème2}\label{H2mun=Brn}
+Soient $k$ un corps et $n$ un entier inversible sur $k$.
+Le morphisme cobord induit un isomorphisme
+\[
+H²(k, μ_n) ⥲ \Br_n(k),
+\]
+\end{théorème2}
+
+\section{Algèbres simples centrales, corps gauches}
+
+\subsection{Conventions}Dans ce paragraphe, on entendra par « anneau »
+un anneau unitaire non nécessairement commutatif, et par
+« corps » (resp. « corps gauche ») un anneau commutatif (resp.
+non nécessairement commutatif) unitaire dans lequel tout
+élément non nul est inversible. Sauf mention du contraire,
+les modules sur un anneau le sont à gauche. En particulier, si $D$ est un corps gauche,
+un « $D$-espace vectoriel » est un $D$-module à gauche.
+Enfin, si $A$ est un anneau, $M$ un $A$-module (à gauche)
+et $x∈M$, on note $\Ann_A(M)$ (resp. $\Ann_A(m)$)
+l'ensemble $\{a ∈ A: am=0 \text{ pour tout }m ∈ M\}$
+(resp. $\{a ∈ A: ax=0\}$). C'est un idéal bilatère (resp. à gauche) de $A$,
+appelé \emph{annulateur} de $M$ (resp. de $x$).
+
+\subsection{Lemme de Schur, théorème de densité de Jacobson-Chevalley}
+
+\begin{définition2}
+Soit $A$ un anneau. Un $A$-module $M$ est dit \emph{simple}\index{module
+simple} s'il est non nul et ne possède pas de sous-module non trivial, c'est-à-dire
+différent de $\{0\}$ et de $M$.
+\end{définition2}
+
+On dit aussi parfois que $M$ est \emph{irréductible}.
+
+\begin{théorème2}[Lemme de Schur]\label{lemme de Schur}
+Soient $A$ un anneau et $M$ un $A$-module simple. L'anneau
+$D=\End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(M)$ est un \emph{corps gauche}.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Soit $φ ∈ D$ un élément non nul. L'ensemble $\Im(φ)$ est un sous-$A$-module de
+$M$, non nul. Par simplicité de $M$ on a nécessairement $\Im(φ)=M$ : $φ$
+est surjectif. De même, $\Ker(φ)≠M$ donc $\Ker(φ)=\{0\}$ : $φ$ est injectif.
+Finalement $φ$ est une application $A$-linéaire bijective donc inversible.
+\end{démo}
+
+Un tel module $M$ est naturellement muni d'une structure de $D$-espace
+vectoriel : pour tout $φ ∈ D$ et tout $m ∈ M$, on pose $φ⋅m=φ(m)$.
+Par définition, cette action de $D$ commute à l'action de $A$ par homothéties.
+Prendre garde au fait que les homothéties sont pas nécessairement
+$A$-linéaires car $A$ n'est pas supposé commutatif : $A$ s'envoie
+dans $\End_D(M)$ mais en général pas dans $\End_A(M)$.
+
+\begin{théorème2}\label{densité Jacobson-Chevalley}
+Soient $A$ un anneau, $M$ un $A$-module simple,
+$D=\End_A(M)$ le corps gauche des endomorphismes de $M$
+et $n≥1$ un entier. Pour toute famille \emph{libre sur $D$} d'éléments $x₁,…,x_n$
+de $M$ et tout choix d'éléments $y₁,…,y_n$ dans $M$,
+il existe un $a∈A$ tel que $a⋅x_i=y_i$ pour chaque $i∈\{1,…,n\}$.
+\end{théorème2}
+
+On dit parfois que l'image du morphisme
+$A → \End_D(M)$ est « dense ». Si $M$ est de dimension finie sur $D$,
+cela revient à dire qu'elle est surjective. D'autre part, son noyau est
+$\Ann_A(M)$. Cela nous permettra ci-après de montrer
+dans des cas particuliers importants que le morphisme
+$A → \End_D(M)$ est un isomorphisme.
+
+Commençons par deux lemmes.
+
+\begin{lemme2}
+Soient $M$ un $A$-module simple et $x₁,x₂$ deux éléments
+tels que $\Ann_A(x₁)$ soit contenu dans $\Ann_A(x₂)$. Alors,
+$x₂∈Dx₁$.
+\end{lemme2}
+
+Remarquons que la réciproque est trivialement vraie.
+
+\begin{démo}
+Commençons par observer que si $x₁=0$, $\Ann_A(x₁)=A$ si bien que
+$\Ann_A(x₂)=0$, ce qui est équivalent à la nullité de $x₂$. Or le résultat
+est trivial si $x₂=0$. On peut donc supposer $x₁$ et $x₂$ non nuls.
+Le module $M$ étant simple on a alors $Ax₁=M$ et $Ax₂=M$.
+Il résulte de l'hypothèse que l'application ensembliste $φ$ envoyant
+chaque $ax₁$ sur $ax₂$, et en particulier $x₁$ sur
+$x₂$, est bien définie : si $ax₁=a'x₁$,
+on a $a-a'∈\Ann_A(x₁)⊆\Ann_A(x₂)$ de sorte que $(a-a')x₂=0$, c'est-à-dire
+$ax₂=a'x₂$. Cette application est trivialement $A$-linéaire ; elle appartient
+donc à $D$ et $x₂=φ⋅x₁$.
+\end{démo}
+
+Plus généralement :
+
+\begin{lemme2}
+Soient $M$ un $A$-module simple, $n≥2$ un entier et
+$x₁,…,x_n$ des éléments de $M$. Les conditions suivantes sont
+équivalentes.
+\begin{enumerate}
+\item $\Ann_A(x₁)∩ \cdots ∩ \Ann_A(x_{n-1}) ⊆ \Ann_A(x_n)$ ;
+\item $x_n∈Dx₁+\cdots+Dx_{n-1}$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Si $n=2$, c'est l'énoncé précédent.
+Dans le cas général, on procède par récurrence.
+Supposons $n>2$ et considérons $J=⋂_1^{n-2}\Ann_A(x_i)$. C'est un idéal (à
+gauche) de $A$. Si $Jx_{n-1}=\{0\}$, c'est-à-dire $J⊆\Ann_A(x_{n-1})$, l'hypothèse
+(i) se réécrit $J⊆\Ann_A(x_n)$ de sorte que l'on peut appliquer l'hypothèse
+de récurrence à la famille $x₁,…,x_{n-2},x_n$. De façon semblable,
+si $Jx_n=\{0\}$, on a $J⊆\Ann_A(x_n)$ et l'on peut conclure par récurrence,
+sans même utiliser l'hypothèse (i).
+On peut donc supposer, par simplicité de $M$, que l'on a $Jx_{n-1}=M=Jx_{n}$.
+(Remarquons que pour tout idéal $K$ de $A$ et tout élément $m$ de $M$,
+$Km=\{km:k∈K\}$ est un sous-$A$-module de $M$.)
+L'application $φ:M → M$, \mbox{$j⋅x_{n-1} ↦ j⋅x_n$} ($j∈J$) est bien définie par
+hypothèse et appartient à $D$ par construction. L'annulateur de
+l'élément $x_n-φ(x_{n-1})$ contient $J=⋂_1^{n-2} \Ann_A(x_i)$. Par récurrence,
+on a donc $x_n-φ(x_{n-1})∈Dx₁+\cdots+Dx_{n-2}$. Ceci montre l'implication (i)⇒(ii).
+L'implication réciproque est triviale.
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Démonstration du théorème \ref{densité Jacobson-Chevalley}]
+On procède par récurrence sur $n$. Si $n=1$ le résultat est trivial
+car $Ax₁=M$. Supposons $n≥2$. Par hypothèse de récurrence, il existe $b∈A$
+tel que $bx₁=y₁$, $bx₂=y₂$,…, $bx_{n-1}=y_{n-1}$. Puisque $x_n$ n'est pas
+combinaison linéaire à coefficients dans $D$ des $x₁,…,x_{n-1}$, il résulte
+du lemme précédent que l'intersection $⋂_1^{n-1}\Ann_A(x_i)$ n'est pas contenue
+dans $\Ann_A(x_{n})$ : le sous-$A$-module $\left(⋂_1^{n-1}\Ann_A(x_i)\right)x_n$
+de $M$ est non nul. Puisqu'il est alors égal à $M$, il existe un élément $j$ de
+cette intersection tel que $jx_n=y_n$. L'élément $a=b+j$ répond à la question.
+\end{démo}
+
+\subsection{Le théorème de Wedderburn}
+
+\begin{définition2}\label{définition artinien simple primitif} Un anneau $A$ est dit :
+\begin{enumerate}
+\item \emph{artinien} (à gauche) si toute suite décroissante d'idéaux (à gauche) est stationnaire ;
+\item \emph{simple} s'il ne possède pas d'idéaux bilatères non triviaux ;
+\item \emph{primitif} (à gauche) s'il existe un $A$-module simple $M$ tel que
+$\Ann_A(M)=\{0\}$. (Un tel module est dit \emph{fidèle simple}.)
+\end{enumerate}
+\end{définition2}
+
+% primitif, cf. Lam, p. 172.
+
+Par exemple, $A$ une algèbre de dimension finie sur un corps
+(non nécessairement commutatif) est un anneau artinien.
+Cela résulte du fait que les idéaux à gauche
+de $A$ sont naturellement des espaces vectoriels sur ce corps,
+de dimension finie.
+
+Soient $k$ un corps commutatif et $V$ un $k$-espace vectoriel
+de dimension finie. On vérifie aisément que les idéaux à droite
+(resp. gauche) de $A=\End_k(V)$ sont les endomorphismes d'image contenue
+dans (resp. de noyau contenant) un sous-espace fixé de $V$.
+Il en résulte que les idéaux bilatères de $A$ sont triviaux.
+Cet énoncé ce généralise au cas non commutatif, dont nous donnons
+une démonstration \emph{ad hoc} calculatoire.
+
+\begin{proposition2}\label{simplicité Mn}
+Soient $D$ un corps gauche et $n≥1$ un entier.
+L'anneau $𝐌_n(D)$ est artinien simple.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+L'anneau $A=M_n(D)$ étant naturellement un $D$-espace vectoriel de dimension
+finie, égale à $n²$, il est artinien. Montrons qu'il est simple. Soit $I$ un
+idéal bilatère non nul de $A$. Pour toute matrice $m=(a_{ij})∈A$, et tout
+quadruplet d'indices $α,β,α′,β′$, on a
+\[
+E_{α,β′}⋅m⋅E_{α′,β}=m_{β′,α′} E_{α,β}.
+\]
+Si $m$ est non nulle et dans $I$, il en résulte que $I$ contient
+une matrice de la forme $λ E_{α,β}$ où $λ ∈D-\{0\}$. L'anneau
+$D$ étant un corps gauche, un tel $λ$ est inversible : $I$ contient une matrice
+$E_{α,β}$. Il résulte de l'égalité
+\[λ_{i,j}E_{i,j}=(λ_{i,j}E_{i,α})⋅E_{α,β}⋅E_{β,j}\]
+que l'idéal bilatère engendré par une telle matrice est $A$ tout entier. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}[Artin-Wedderburn]\label{Artin-Wedderbun}
+Soit $A$ un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes.
+\begin{enumerate}
+\item $A$ est artinien (à gauche) simple.
+\item $A$ est artinien (à gauche) primitif.
+\item $A$ est isomorphe à $\End_D(M)$ où $D$ est un corps gauche et $M$ un
+$D$-espace vectoriel de dimension finie.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+On peut paraphraser (iii) en disant que $A$ est isomorphe à une algèbre de
+matrices sur un corps gauche.
+
+Il résulte de ce théorème qu'un anneau simple artinien à gauche est artinien
+à droite.
+
+\begin{démo}
+(i) ⇒ (ii). $A$ étant artinien (à gauche), il existe un idéal à gauche non nul minimal $I$. Le $A$-module $I$ est, par
+construction, irréductible. L'annulateur de $I$, comme de tout $A$-module,
+étant un idéal bilatère, on a donc $\Ann_A(I)=\{0\}$.
+(ii) ⇒ (iii). Il résulte du théorème \ref{densité Jacobson-Chevalley} que
+l'application injective $A → \End_D(M)$, car $\Ann_A(M)=0$, où $D$ est le
+corps gauche $\End_A(M)$, est surjective. (iii) ⇒ (i) C'est l'objet
+de la proposition précédente.
+\end{démo}
+
+Signalons la variante suivante, qui s'incrit naturellement dans
+le thème azumayen.
+
+\begin{théorème2}[Wedderburn]\label{Wedderburn}
+Soit $k$ un corps. Toute $k$-algèbre simple de dimension finie est $k$-isomorphe à une algèbre
+de matrices sur un corps gauche $D$ de dimension finie sur $k$.
+De plus, si $k$ est algébriquement clos, $D=k$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Soit $M$ un $A$-module fidèle simple. Le corps gauche $D=\End_A(M)$ est naturellement
+une $k$-algèbre — qui plus est de dimension finie — :
+on envoie $λ ∈ k$ sur l'homothétie de $M$ correspondante.
+Il résulte comme ci-dessus de \ref{densité Jacobson-Chevalley} que l'application
+naturelle $A → \End_D(M)$ est un isomorphisme d'anneaux ; il est $k$-linéaire
+par construction. D'autre part $\End_D(M)$ est isomorphe à $𝐌_n(D)$ où
+$n=\dim_D (M)$. Enfin, on remarque que tout corps gauche de dimension finie contenant $k$ est égal à $k$ :
+si $d∈D$, les $d^i$ ($i∈𝐍$) sont $k$-linéairement dépendants de sorte que la
+sous-$k$-algèbre \emph{commutative} $k[d]$ de $D$ est une \emph{extension} finie de
+$k$. On a donc $k[d]=k$, c'est-à-dire $d∈k$, et, finalement, $D=k$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{Azumaya=Mn(corps gauche)}
+Soit $k$ un corps. Toute $k$-algèbre d'Azumaya est
+isomorphe à une algèbre de matrices $𝐌_r(D)$ où $D$ est un corps gauche sur $k$.
+De plus, le centre de $D$ est $k$.
+\end{proposition2}
+
+Rappelons que le \emph{centre} d'un anneau $B$ est l'ensemble
+\[Z(B)=\{b∈B:b'b=bb' \text{pour tout }b'∈B\}.\]
+
+\begin{démo}
+Montrons le premier point. Compte tenu du théorème précédent, il suffit de démontrer qu'une $k$-algèbre
+d'Azumaya est un anneau simple. Soient $A$ une telle algèbre, $I$ un idéal
+bilatère et $k' \bo k$ une extension trivialisant $A$, c'est-à-dire telle
+que $A_{k'}≃ 𝐌_n(k')$. L'anneau $𝐌_n(k')$ étant simple (\ref{simplicité Mn}),
+il en est de même de $A_{k'}=A⊗_k k'$, qui lui est isomorphe. L'idéal
+image de $I_{k'}$ par l'application \emph{injective} (cf. p. ex. \refext{Alg}{changement de base k-algèbre})
+$I_{k'}→ A_{k'}$, est donc égal à $\{0\}$ ou $A_{k'}$.
+Ceci ne peut se produire que si $I=\{0\}$ ou $I=A$, par exemple pour des raisons
+de dimension, celle-ci étant préservée par extension des scalaires.
+(Voir aussi \emph{op. cit.}, §5 pour un argument semblable.)
+
+La démonstration du second point est semblable :
+on remplace $I$ par le centre $Z(A)$ de $A$
+et utilise fait que le centre de $A_{k'}$, isomorphe à une algèbre de matrices
+sur $k'$, est égal à $k'$. Remarquons que l'on utilise simplement le fait
+que $Z(A)$ s'envoie dans $Z(A_{k'})$ mais pas un éventuel isomorphisme
+entre $Z(A)_{k'}$ et $Z(A_{k'})$.
+\end{démo}
+
+Réciproquement :
+
+\begin{proposition2}\label{corps gauche central est Azumaya}
+Un corps gauche fini sur son centre $k$ est une $k$-algèbre
+d'Azumaya.
+\end{proposition2}
+
+Il en résulte que $\dim_k D$ est un carré.
+
+\begin{démo}
+Soit $D$ un corps gauche de centre $k$ et soit $k'\bo k$ une extension.
+Nous allons montrer que l'anneau $D_{k'}=D⊗_k k'$ est un anneau simple.
+Considérant alors le cas particulier où $k'$ est une
+clôture algébrique de $k$ et où $\dim_k D=\dim_{k'} D_{k'}$ est fini,
+l'existence d'un $k'$-isomorphisme $D_{k'}≃𝐌_r(k')$ est conséquence
+du théorème \ref{Wedderburn}.
+
+Soit $𝒥$ un idéal bilatère de $D_{k'}$. Choisissons une base $(e_i)_{i∈I}$ de
+$k'$ sur $k$. La famille $e′_i=1⊗e_i$ ($i∈I$) est une base du $D$-espace
+vectoriel (à gauche) $D_{k'}$. Nous dirons qu'un élément $x$ du $D$-espace vectoriel
+(à gauche) $𝒥$ est \emph{primordial} (relativement à cette base)
+si, écrivant $x=∑_i d_i⋅e′_i$, l'ensemble $S(x)=\{i∈I:d_i≠0\}$ est minimal parmi les
+$S(y)$, pour $y∈𝒥-\{0\}$, et s'il existe un indice $i$ tel que
+$d_i=1$. On vérifie facilement les deux faits suivants :
+\begin{enumerate}
+\item $𝒥$ est engendré en tant que $D$-espace
+vectoriel par ses éléments primitifs ;
+\item deux éléments $x,y∈𝒥$ tels que $S(x)=S(y)$ sont proportionnels : il existe
+$d∈D^×$ tel que $y=dx$.
+\end{enumerate}
+Supposons $𝒥$ non nul et considérons en un élément primordial $x=∑_i d_i ⋅
+e′_i$. Pour tout $d∈D$, l'élément $x'=x⋅d$ appartient à l'idéal \emph{bilatère}
+$𝒥$ de $D_{k'}$. Dans la base $(e′_i)$, il s'écrit $x'=∑_i (d_i d)⋅e′_i$.
+Si $d$ est non nul, $S(x')=S(x)$ de sorte qu'il existe d'après (ii) un
+élément $d'∈D$ tel que $x'=d′⋅x=∑_i (d'd_i)⋅e′_i$. L'indépendance $D$-linéaire des
+$e′_i$ force les égalités $d'd_i=d_i d$. Comme on a supposé d'autre part que
+l'un des coefficients de $x$ est égal à l'unité $1$ de $D$, on a $d=d'$ et $d d_i=d_i d$ pour
+tout $i$. Ceci étant vrai pour chaque $d∈D-\{0\}$, les coefficients $d_i$
+appartiennent au centre de $D$, supposé réduit à $k$.
+Ainsi, $x=1 ⊗ (∑_i d_i e_i)=1 ⊗ λ′$ où $λ′$ appartient
+à $k'$ : l'élément $x$ appartient à $k'$ (vu dans $D_{k'}$).
+D'après (i), l'idéal $𝒥$ est donc engendré sur $D$ par son intersection avec $k'$ ;
+celle-ci est soit $\{0\}$ soit $k'$. Dans le premier cas $𝒥$ est nul ; dans le
+second $𝒥=D_{k'}$. CQFD.
+\end{démo}
+
+Les propositions relient le groupe de Brauer d'un corps $k$ aux corps gauches
+finis de centre $k$. Il en résulte par exemple que si tout tel corps gauche
+est égal à $k$, le groupe de Braueur de $k$ est trivial. Cette remarque est à la base du critère
+\ref{} ci-dessous.
+
+\subsection{Existence d'une trivialisation étale}\label{seconde démonstration Azumaya étale}
+À titre d'application des résultats précédents, nous donnons ici une
+démonstration du fait que toute algèbre d'Azumaya est trivalisée par une extension étale
+(\ref{trivialisation Azumaya étale}).
+
+Le résultat clef est le suivant.
+
+\begin{proposition2}
+Soit $D$ un corps gauche fini sur son centre $k$.
+Si $D≠k$, il existe un sous-corps commutatif $k'$ de $D$ tel que l'extension
+$k' \bo k$ soit étale et non triviale.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Raisonnons par l'absurde et supposons $k$ infini sans quoi le résultat est
+trivial. (Toute extension finie d'un corps fini est étale.) Pour tout $x∈D$, l'extension $k(x)\bo k$ est
+radicielle ; il existe $e∈𝐍$ tel que $x^{p^e}∈k$ où $p$ est l'exposant
+caractéristique de $k$ (cf. \refext{Alg}{caractérisation extension radicielle}).
+La dimension de $D$ sur $k$ étant finie et l'élévation
+à la puissance $p$ étant additive, il existe un exposant $e$ tel que
+la condition précédente soit satisfaite pour tout $x∈D$.
+Soit $(d_i)_{1≤i≤s}$ une base de $D$ sur $k$ telle que $d₁=1$.
+Il existe une famille de polynômes $P_i$ à coefficients dans $k$
+tels que si $x=∑₁^s x_i d_i∈D$, on ait
+\[
+x^{p^e}=∑_i P_i(x₁,…,x_s)d_i.
+\]
+Par hypothèse, on a $P_i(x₁,…,x_s)=0$ pour tout $s$-uplet
+de $k$ et tout indice $i>1$. Puisque $k$ est supposé infini, la nullité des \emph{fonctions}
+$P_{i}$ ($i>1$) entraîne la nullité des \emph{polynômes} $P_{i}$ ($i>1$).
+
+D'autre par les polynômes précédents sont « universels » au sens où
+si l'on étend les scalaires de $k$ à $k'$ et que l'on considère la base $d'_i=d_i ⊗_k
+k'$ de $D_{k'}$, l'égalité $(∑_i x_i' d'_i)^{p^e}=∑_i P_i(x'₁,…,x'_s)d'_i$
+reste vraie. D'après ce qui précède on a donc ${x'}^{p^e}∈k'$ pour tout
+$x'∈D_{k'}$. Or $D$ est une algèbre d'Azumaya (\ref{corps gauche central est
+Azumaya}) donc il existe $k'\bo k$
+tel que $D_{k'}$ soit isomorphe à $𝐌_r(k')$ pour un $r$ convenable.
+Dans $𝐌_r(k')$, où $r>1$, il existe quantité d'idempotents hors du centre, par exemple
+la matrice $x'=E_{1,1}$ ; ils ne satisfont pas la condition ${x'}^{p^e}∈k'$.
+\end{démo}
+
+Cette démonstration est due à Emil Artin.
+
+\begin{corollaire2}
+Une algèbre d'Azumaya sur un corps séparablement clos
+est triviale.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Soit $k$ le corps en question. Toute $k$-algèbre d'Azumaya
+est isomorphe à une algèbre $𝐌_r(D)$ où $D$ est un corps gauche
+de centre $k$. D'après ce qui précède, $D=k$.
+\end{démo}
+
+\section{Trivialité du groupe de Brauer d'un corps $C₁$}
+
+\subsection{Norme et trace réduites}
+\subsubsection{}
+Soient $A$ une algèbre d'Azumaya de rang $n≥1$ et
+$K\bo k$ une extension étale la trivialisant.
+À tout $K$-isomorphisme $φ:A_K⥲𝐌_n(K)$, on peut
+associer des applications composées
+$A↪A_K\dessusdessous{φ}{→}𝐌_n(K)\dessusdessous{\det}{→}K$
+et $A↪A_K\dessusdessous{φ}{→}𝐌_n(K)\dessusdessous{\Tr}{→}K$.
+Il résulte du théorème de Skolem-Nœther et de l'invariance
+du déterminant et de la trace par conjugaison, que ces applications
+— multiplicative et additive respectivement — ne dépendent
+pas du choix de l'isomorphisme $φ$ mais seulement de l'extension
+$K\bo k$. Nous les noterons momentanément $\Nrd_{A}^{K\bo k}$
+et $\Trd_{A}^{K\bo k}$ respectivement.
+
+\begin{lemme2}
+Soit $ι:K→K'$ une extension. On a
+$\Nrd_{A}^{K'\bo k}=ι∘\Nrd_{A}^{K\bo k}$ et $\Trd_{A}^{K'\bo k}=ι∘\Trd_{A}^{K\bo k}$
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Choisissons un $K$-isomorphisme $φ:A_K⥲𝐌_n(K)$
+et considérons le $K'$-isomorphisme $φ':A_{K'}⥲𝐌_n(K')$ qui s'en déduit
+par extension des scalaires de $K$ à $K'$ et des isomorphismes
+canoniques $A_K⊗_K K'⥲A_{K'}$ et $𝐌_n(K)⊗_K K'⥲𝐌_n(K')$.
+La première formule résulte du fait que les composés $ι∘\det:𝐌_n(K)→K'$
+et $𝐌_n(K)→𝐌_n(K)⊗_K K'→𝐌_n(K')\dessusdessous{\det}{→}K'$ coïncident.
+De même pour la trace.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}Soit maintenant $L$ une extension de $K$, finie galoisienne
+sur $k$. D'après le lemme précédent, on a pour tout
+$σ∈\Gal(L\bo k)$ l'égalité $\Nrd_A^{L\bo k}=σ∘\Nrd_A^{L\bo k}$,
+de même pour la trace. Il en résulte que les applications
+$\Nrd_A^{L\bo k}$ et $\Trd_A^{L\bo k}$ sont à valeurs
+dans le corps de base $k=\Fix_{\Gal(L\bo k)}(L)$. D'autre part, il résulte
+de ce même lemme que $\Nrd_A^{L\bo k}=ι∘\Nrd_A^{K\bo k}$ et
+$\Trd_A^{L\bo k}=ι∘\Trd_A^{K\bo k}$ — où $ι$ est l'inclusion de $K$ dans $L$ —
+si bien que ces applications sont également à valeurs dans $k$ et indépendantes
+du choix de l'extension étale trivialisant $A$.
+
+\begin{définition2}\label{définition norme et trace réduites}
+Pour toute algèbre d'Azumaya $A$ sur $k$, on note $\Nrd_A$ et $\Trd_A$
+ces applications, appelées respectivement \emph{norme réduite}\index{norme
+réduite} et \emph{trace réduite}\index{trace réduite}.
+\end{définition2}
+
+Remarquons que si $A=𝐌_n$ ces applications ne sont autres que
+le déterminant et la trace usuels.
+
+Pour mémoire :
+
+\begin{lemme2}
+Pour toute paire $a,b∈A$, on a :
+\[
+\Nrd_A(ab)=\Nrd_A(a)\Nrd_A(b)
+\]
+et
+\[
+\Trd_A(a+b)=\Trd_A(a)+\Trd_A(b).
+\]
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Résulte des formules analogues pour les algèbres de matrices.
+\end{démo}
+
+Le lemme suivant est le point clef pour établir un lien entre
+la possibilité pour $A$ d'être un corps (non nécessairement commutatif)
+et les propriétés arithmétiques de $k$.
+
+\begin{lemme2}\label{norme réduite de degré n carré en n variables}
+Soient $A$ une $k$-algèbre d'Azumaya de degré $n$ et $e₁,…,e_{n²}$ une base
+de $A$ comme $k$-espace vectoriel.
+L'application
+\[f_e:k^{n²}→k,\]
+\[(λ₁,…,λ_{n²})↦\Nrd_A(λ₁e₁+\cdots+λ_{n²}e_{n²})\]
+est polynomiale, homogène de degré $n$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soient $K\bo k$ une extension étale trivialisant $A$ et $φ:A_K⥲𝐌_n(K)$
+un $K$-isomorphisme. Notons $e'₁,…,e'_{n²}$ l'image de la base $e$ de $A$
+dans $𝐌_n(K)$. L'application $(λ₁,…,λ_{n²})↦\det(λ₁e'₁+\cdots+λ_{n²}e'_{n²})$ est polynomiale,
+homogène de degré $n$. Ceci entraîne le résultat annoncé.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+On laisse le soin au lecteur de définir, pour tout $a∈A$, un « polynôme caractéristique
+réduit » $\mathrm{Prd}_A(a,X)=X^n-\Trd_A(a)X^{n-1}+\cdots+(-1)^n\Nrd_A(a)$.
+Cf. Bourbaki, VIII, §12.
+\end{remarque2}
+
+\subsection{Formes normiques sur un corps gauche}
+
+\subsubsection{}Soit $D$ un corps gauche fini sur son centre $k$. Il résulte de
+la proposition \ref{corps gauche central est Azumaya} que $D$ est une
+$k$-algèbre d'Azumaya. Notons $d$ son rang, en tant qu'algèbre d'Azumaya,
+de sorte que $\dim_k D=d²$. On peut donc utiliser les résultats du paragraphe
+précédent et considérer la norme réduite $\N_D:D → k$. C'est un morphisme
+multiplicatif ; elle envoie donc $D^×=D-\{0\}$ dans $k^×$. En effet, si $x∈D-\{0\}$,
+il existe $y∈D$ tel que $xy=1=yx$. En appliquant la norme réduite, on obtient
+l'égalité dans $k$ : $\N_D(x)\N_D(y)=1$. En d'autres termes, $\N_D(x)$ n'est
+nul que si $x=0$. On a vu en \ref{norme réduite de degré n carré en n variables}
+que la norme réduite « est », modulo le choix d'une base de $D$ sur $k$,
+un polynôme homogène en $n=d²$ variables de degré $d$.
+Supposons un instant que $D≠k$, c'est-à-dire que l'on a l'inégalité
+stricte $d>1$ ; on a alors $n>d$. L'absence de zéro
+non trivial de la norme réduite sur $D$ montre que le
+corps $k$ n'est pas un corps $C₁$ (\refext{C1}{definition-corps-c-r}).
+De cette constatation et du théorème \ref{Azumaya=Mn(corps gauche)},
+on tire le théorème suivant.
+
+\begin{théorème2}\label{Br(C1)=trivial}
+Le groupe de Brauer d'un corps $C₁$ est trivial.
+\end{théorème2}
+
+\begin{remarque2}\label{remarque Gille-Szamuely}
+On utilise ici de manière cruciale la théorie d'Artin-Wedderburn
+qui ramène l'étude du groupe de Brauer d'un corps, tel qu'on l'a défini,
+aux corps gauches sur ce corps. Dans le même esprit, il est possible
+de donner une démonstration légèrement différente
+du théorème \ref{trivialisation Azumaya étale}
+qui ne s'appuie pas sur le théorème de Skolem-Nœther général
+mais uniquement sur une variante du fait — utilisé en
+\refext{Formes}{critère formes étales} — qu'une $k$-algèbre de type finie non nulle géométriquement réduite a un point
+dans une extension étale. Nous renvoyons le lecteur à
+\cite{Gille-Szamuely}, 2.2.5 pour une telle démonstration
+ainsi d'ailleurs que de passionants développements sur les thèmes
+entrelacés des algèbres d'Azumaya et de la cohomologie galoisienne.
+\end{remarque2}
+
+\begin{corollaire2}\label{corps gauche fini est commutatif}
+Tout corps gauche fini est commutatif.
+\end{corollaire2}
+
+Cet énoncé généralise le corollaire \ref{algèbre quaternions finie est
+triviale}
+
+\begin{démo}
+En effet, tout corps fini est $C₁$ (\refext{C1}{theoreme-chevalley-warning}).
+\end{démo}
+
+
+\section{Addendum : Skolem-Nœther sur un anneau commutatif quelconque et
+une application}\label{Addendum Skolem-Noether}
+
+Dans ce paragraphe, on fait usage du produit tensoriel
+de modules sur un anneau qui n'est pas nécessairement un corps.
+En cas de besoin, le lecteur pourra se reporter à \refext{Tens}{}.
+
+\subsection{Skolem-Nœther (II)}
+
+\subsubsection{}Soient $A$ un anneau commutatif, $n≥1$ un entier
+et $φ$ un automorphisme de la $A$-algèbre
+$𝐌_n(A)$.
+La démonstration du théorème \ref{Skolem-Noether sur corps}
+s'applique \emph{mutatis mutandis} (remplacer « $K$-espace vectoriel »
+par « $A$-module ») au présent cadre : on
+a construit un isomorphisme explicite $L_φ^n ⥲ A^n$,
+où $L_φ$ est le sous-$A$-module image du projecteur (endomorphisme
+idempotent) $φ(E_{1,1})$ de $A^n$,
+de telle sorte que l'on ait égalité
+$φ(f)=ι_φ ∘ f_{L_φ,n} ∘ ι_φ^{-1}$
+pour tout $f ∈ 𝐌_n(A)$. Réciproquement, pour tout $A$-module $L$
+muni d'un isomorphisme $ι:L^n ⥲ A^n$, l'application
+$f ↦ ι ∘ f_{L,n} ∘ ι^{-1}$ est un automorphisme $φ_{L,ι}$
+de $𝐌_n(A)$. Observons au passage que si $A$ est un anneau principal,
+$L_φ$ est alors nécessairement libre de rang $1$ si bien
+que tout automorphisme de $𝐌_n(A)$ est intérieur.
+
+Résumons :
+
+\begin{théorème2}
+Pour tout anneau commutatif $A$ et tout entier $n$, notons
+$ℒ_n(A)$ l'ensemble des paires $(L,ι)$ où $L$ est un sous-$A$-module
+de $A^n$ et $ι$ un isomorphisme $L^n ⥲ A^n$ prolongeant l'inclusion $L⊆A^n$
+du premier facteur. Les applications $Φ_A:\Aut_A(𝐌_n(A))→ℒ_n(A)$, $φ↦(L_φ,ι_φ)$
+et $ℒ_A:ℒ_n(A) → \Aut_A(𝐌_n(A))$, $(L,ι)↦\big(f ↦ ι ∘ f_{L,n} ∘ ι^{-1}\big)$
+sont des bijections inverses l'une de l'autre.
+\end{théorème2}
+
+En termes plus abtraits, on a construit des isomorphismes
+naturels (\refext{Categ}{definition-isomorphisme-naturel})
+inverses l'un de l'autre entre les \emph{foncteurs}
+$\Aut(𝐌_n)$ et $ℒ_n$.
+
+\subsubsection{}Afin de lier cette description
+de $\Aut(𝐌_n)$ à « $\GL_n/\Gm$ » — expression à laquelle
+nous ne donnerons pas de sens précis —
+nous allons réécrire la donnée $(L_φ⊆A^n, ι_φ:L_φ^n ⥲ A^n)$
+en terme d'un seul module.
+À cette fin, considérons le sous-$A$-module $M_φ$ de $𝐌_n(A)$ constitué
+des matrices de vecteurs colonnes
+$(φ(E_{1,1})v,…,φ(E_{n,1})v)$ où $v$ parcourt $A^n$,
+ou bien $L_φ$, le résultat étant le même%\footnote{On vérifie
+%sans peine que pour tout $A$-module $L$, l'application
+%naturelle $\Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(L^n,A^n) →
+%\Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(L,𝐌_n(A))$
+%associant à $ι$ l'application linéaire $λ:l ↦
+%\big(ι(l₁),ι(l₂),…,ι(l_n)\big)$,
+%où $l_i ∈ L^n$ a une unique composante non nulle égale à $l$ en position $i$,
+%est un isomorphisme. Si $ι=ι_φ$,
+%on vérifie immédiatement que l'application $λ$ est
+%d'image $M_φ$.}
+.
+De façon équivalente, $M_φ$ est l'image du projecteur $p_φ:𝐌_n(A)→𝐌_n(A)$,
+$\big(v₁,…,v_n\big)↦\big(φ(E_{1,1})v₁,…,φ(E_{n,1})v₁\big)$.
+Il en résulte que $M_φ$ est un facteur
+direct du $A$-module $𝐌_n(A)$, libre de rang $n²$.
+Dans la base canonique $E_{i,j}$ de $𝐌_n(A)$, convenablement
+ordonnée, la matrice de $p_φ$
+est triangulaire par blocs, avec pour diagonale
+la matrice $φ(E_{1,1})$ de taille $n×n$ et la matrice nulle de taille
+$(n²-n)×(n²-n)$. Il en résulte que le polynôme
+$P_{p_φ}(X)=\det\big(\Id_{𝐌_{n}(A)}+(X-1)p_φ\big)$
+est égal à $P_{φ(E_{1,1})}(X)=\det(\Id_{A^n}+(X-1)φ(E_{1,1}))$.
+D'autre part, il résulte de \ref{rang projecteur} que $P_{φ(E_{1,1})}=X$ :
+l'argument donné n'utilisait pas l'hypothèse que l'anneau des coefficients
+soit un corps. Nous dirons donc que $p_φ$ est un \emph{projecteur de
+rang un}.
+
+\subsubsection{}Soient $\mathrm{pr}_i$ les applications « $i$-ième vecteur colonne »
+de $𝐌_n(A)$ dans $A^n$ et $\mathrm{pr}_{i|M_φ}$ leurs restrictions
+à $M_φ$. L'application $\mathrm{pr}_{1|M_φ}$
+induit un isomorphisme sur son image $L_φ$ dont l'inverse est
+l'application $L_φ → M_φ$ envoyant $l$ sur $(φ(E_{1,1})l,…,φ(E_{n,1})l)$.
+On peut donc reconstruire $L_φ$ à partir de $M_φ$ ; l'égalité
+\[
+(ι_φ:L_φ^n ⥲ A^n)=∑_i \mathrm{pr}_{i|M_φ} ∘ {\mathrm{pr}_{1|M_φ}}^{-1}
+\]
+montre comment reconstruire $ι_φ$. (Par construction,
+le terme de droite prolonge l'inclusion $L⊆A^n$.)
+
+Pour tout anneau $A$, notons $𝐏⁰(𝐌_n)(A)$,
+l'ensemble des sous-$A$-modules $M$ de $𝐌_n(A)$
+tels que l'application « image » (cf. \ref{Skolem-Noether abstrait cas corps}
+\emph{infra} pour une justification de cette terminologie)
+\[I_M := ∑_i \mathrm{pr}_{i|M}:M^n → A^n\] soit un isomorphisme.
+L'application \[M↦(L_M=\Im \mathrm{pr}_{1|M}, ι_M=∑_i \mathrm{pr}_{i|M} ∘
+{\mathrm{pr}_{1|M}}^{-1})\] est une bijection entre
+$\mathbf{P}⁰(𝐌_n)(A)$ et $ℒ_n(A)$. Il en résulte que les foncteurs
+$\Aut(𝐌_n)$ et $𝐏⁰(𝐌_n)$ sont isomorphes. (Si $A → B$ un morphisme de
+$k$-algèbres, l'application $𝐏⁰(𝐌_n)(A) → 𝐏⁰(𝐌_n)(B)$ envoie $M⊆𝐌_n(A)$
+sur l'image de $M_B=M ⊗_A A$ dans $𝐌_n(B)$ par l'application canonique.)
+
+\subsubsection{}\label{Skolem-Noether abstrait cas corps}Supposons un instant que $A$ soit un corps, que nous noterons plutôt $K$.
+Un sous-$K$-module de $𝐌_n(K)$ tel que $I_M$ soit un isomorphisme
+n'est autre qu'une droite de $𝐌_n(K)$ engendrée par une matrice
+\emph{inversible}, c'est-à-dire un élément de $\PGL_n(K)=\GL_n(K)/K^×$.
+En effet, $M$ est nécessairement de dimension un
+car $M^n≃K^n$, et, si $M=\{λm:λ ∈ K\}$, où $m$ est une matrice $n×n$
+de vecteurs colonnes $(v₁,…,v_n)$, l'application $I_M$
+envoie $(λ₁m,λ₂m,…,λ_nm)$ sur $∑_i λ_i v_i$. C'est un isomorphisme
+si et seulement si les $v_i$ forment une base de $K^n$.
+On retrouve donc le théorème de Skolem-Nœther sous sa forme usuelle.
+
+\subsection{Seconde démonstration du théorème \ref{trivialisation Azumaya étale} (esquisse)}
+
+Fixons un entier $n$.
+Le foncteur $𝐏⁰(𝐌_n):k\traitdunion\Alg → \Ens$ étant isomorphe au foncteur $\Aut(𝐌_n)$,
+il est représentable par une $k$-algèbre (\refext{formes}{foncteur des
+automorphismes tenseur}), que nous noterons $R$.
+D'après le théorème général \refext{formes}{critère forme étale},
+il suffit de démontrer que la $k$-algèbre $R$ est géométriquement réduite.
+Nous allons pour cela exhiber d'une part une $k$-algèbre $R'$,
+géométriquement réduite pour des raisons évidentes, et d'autre part
+un $k$-plongement de $R$ dans $R'$.
+(En termes géométriques, nous allons « recouvrir » $𝐏⁰(𝐌_n)$ par
+des ouverts d'un espace affine.)
+Pour toute paire d'indices $(i,j)∈\{1,…,n\}²$,
+et tout anneau $A$, posons
+\[𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)=\{M∈𝐏⁰(𝐌_n)(A): \mathrm{pr}_{ij|M}:M ⥲ A\},\]
+où $\mathrm{pr}_{ij}$ est l'application $𝐌_n(A) ↠ A$
+« coefficient $(i,j)$ de la matrice » et
+$\mathrm{pr}_{ij|M}$ sa restriction à $M$.
+Si $A$ est un corps, cela revient à regarder les droites comme ci-dessus
+dont un élément a sa coordonnée en position $(i,j)$ inversible.
+
+Le point clef est que la collection des morphismes de foncteurs $\{𝐏⁰_{ij}(𝐌_n) → 𝐏⁰(𝐌_n)\}$
+est \emph{Zariski-couvrante}
+au sens suivant : pour toute $k$-algèbre $A$, et tout $M∈𝐏⁰(𝐌_n)(A)$,
+il existe des éléments $a₁,…,a_r$ de $A$ tels que
+\begin{enumerate}
+\item $(a₁,…,a_r)=A$ ;
+\item pour chaque $\alpha$, le sous-module
+$M_α⊆𝐌_n(A[a_α^{-1}])$, image de $M$ par l'application
+canonique $𝐏⁰(𝐌_n)(A) → 𝐏⁰(𝐌_n)(A[a_α^{-1}])$,
+appartient à l'image de l'application
+\[∐_{i,j} 𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A[a_α^{-1}]) → 𝐏⁰(𝐌_n)(A[a_α^{-1}]).\]
+\end{enumerate}
+
+Pour la définition des $A$-algèbres $A[a^{-1}]$, cf. \refext{Spec}{Spec-localisation}.
+
+Fixons $M$ et vérifions l'assertion précédente.
+Il résulte de la proposition \ref{image projecteur est localement libre} ci-dessous
+et du fait expliqué plus haut que $M$ est l'image d'un projecteur
+de rang un, que l'on peut supposer $M$ \emph{libre}. (On utilise implicitement
+le fait que si $(a₁,…,a_r)=A$ et $(a'₁,…,a'_s)=A$, alors $(a₁a'₁,…,a_r
+a'_s)=A$.) Dans le cas libre, on a $M=Am$ où $m ∈ 𝐌_n(A)$.
+La matrice $m$ est nécessairement inversible (cf. \ref{Skolem-Noether abstrait
+cas corps}). On ne peut pas en déduire que l'un des coefficients de $m$ est
+inversible mais il en résulte cependant que les coefficients d'une colonne
+quelconque (par exemple la première) engendre l'idéal unité de $A$.
+(Calculer le déterminant en développant le long de cette colonne.)
+Si l'on inverse l'un quelconque de ces coefficients, disons $a_{i1}$,
+l'application $\mathrm{pr}_{i1|M}:M → A$ est un isomorphisme.
+Ceci achève la démonstration du fait que les sous-foncteurs
+$𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)$ recouvrent $𝐏⁰(𝐌_n)$ .
+
+Chacun d'eux est représentable : si l'on pose
+\[
+R_{ij}=k[t,x_{αβ}:1≤ α,β ≤n]/(x_{ij}-1,\det(x_{αβ})t-1),
+\]
+pour toute $k$-algèbre $A$, l'application $R_{ij}^\japmath{田}(A) → 𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)$
+envoyant $f:R_{ij}→A$ sur la droite $A⋅(f(x_{αβ}))⊆𝐌_n(A)$
+est une bijection fonctorielle (cf. \ref{Skolem-Noether abstrait cas corps}).
+D'après le lemme de Yoneda, l'inclusion $𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)↪𝐏⁰(𝐌_n)$
+correspond à un morphisme de $k$-algèbres $R → R_{ij}$.
+Faisant varier les indices, on en déduit un morphisme
+$R→R'=∏_{1≤i,j≤n}R_{ij}$. Pour montrer que la $k$-algèbre
+$R'$ est géométriquement réduite, il est suffisant (et nécessaire)
+de le vérifier pour chacun des facteurs. Comme pour toute extension $K\bo k$,
+l'anneau $R_{ij} ⊗_k K$ est isomorphe à l'anneau
+$K[t,x_{αβ}:1≤ α,β ≤n]/(x_{ij}-1,\det(x_{αβ})t-1)$,
+il suffit de démontrer que $R_{i,j}$
+est réduit. Notons $c$ le polynôme $\det(x_{αβ})$ évalué en $x_{ij}=1$.
+C'est un élément \emph{non nul} de l'anneau $C$
+des polynômes en les $n²-1$ variables restantes.
+Or, on vérifie immédiatement, par exemple à l'aide de l'algorithme de division
+euclidienne, que l'application $C[t]/(t⋅c-1) → \Frac(C)$
+envoyant $t$ sur $c^{-1}$ est une injection.
+Ainsi, $R_{ij} ≃ C[t]/(t⋅c-1)$ est intègre donc en particulier réduit.
+
+Pour conclure, il nous suffit de montrer que l'application $R→R'$
+déduite du lemme Yoneda est injective. C'est un résultat général,
+qui fait l'objet de la proposition \ref{famille Z-couvrante et injectivité} ci-dessous.
+
+\begin{proposition2}\label{image projecteur est localement libre}
+Soient $A$ un anneau, $N$ un entier et $p=(a_{i,j}) ∈ 𝐌_N(A)$ un projecteur de rang un
+c'est-à-dire tel que $\det(\Id_{A^N}+(X-1)p)=X$.
+Notons $M⊆A^N$ l'image de $p$.
+\begin{enumerate}
+\item On a $∑_{i=1}^N a_{i,i}=1_A$ et donc $(a_{1,1},a_{2,2},…,a_{N,N})=A$.
+\item Pour chaque $i$, l'image de la matrice $p$ vue dans $𝐌_N(A[a_{i,i}^{-1}])$
+est un $A[a_{i,i}^{-1}]$-module libre de rang un.
+\item Cet image coïncide avec l'image de $M ⊗_A A[a_{i,i}^{-1}]$ dans
+$A[a_{i,i}^{-1}]^N$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Le premier point n'est autre que l'égalité $\Tr(p)=1_A$, qui découle
+de l'égalité $\det(X\Id_{A^N}-p)=X^{N-1}(X-1)$ (réécriture
+de $\det(\Id_{A^N}+(X-1)p)=X$). Le troisième point est évident.
+Pour le second, on se ramène à vérifier que si $p$ est un projecteur de rang un
+tel que $a_{1,1}$ soit inversible, alors $p(A)=A⋅p(e₁)$.
+Le coefficient $a_{1,1}$ étant inversible, les vecteurs $p(e₁),e₂,…,e_N$
+forment une base de $A^N$. Dans cette base, la matrice de $p$ est triangulaire
+supérieure avec un bloc $1×1$ égal à $1$ sur la diagonale
+et un autre bloc diagonal, noté $q$, de taille $(n-1)×(n-1)$,
+qui est une matrice idempotente. Son polynôme caractéristique est $X^{n-1}$.
+Des égalités $q²=q$ et $q^{N-1}=0$ (Cayley-Hamilton) on tire $q=0$ et, finalement,
+le fait que la matrice de $p$ dans cette nouvelle base ait ses
+toutes ses lignes sauf la première nulles. Il en résulte que $p(A)=A⋅p(e₁)$.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{famille Z-couvrante et injectivité}
+Soit $A → A_i$ ($1≤i≤N$) une famille finie de $k$-algèbre
+telle que les foncteurs $A_i^\japmath{田} → A^\japmath{田}$ correspondants soient Zariski-couvrants.
+Alors, l'application $A → ∏_i A_i$ est \emph{injective}.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Considérons l'identité $\Id∈\Hom_k(A,A)=A^\japmath{田}(A)$.
+Par hypothèse, il existe une famille d'éléments $(a₁,…,a_r)$
+engendrant l'idéal unité de $A$ tels que pour chaque $α∈\{1,…,r\}$
+l'application canonique $A → A[a_α^{-1}]$ — qui n'est autre que l'image de l'identité
+par l'application $A^\japmath{田}(A) →A^\japmath{田}(A[a_α^{-1}])$ —
+se factorise à travers $A → A_{i_α}$ pour un indice $i_α ∈ \{1,…,N\}$
+convenable. Soit maintenant $a$ dans le noyau de $A → ∏_i A_i$.
+Il résulte de ce qui précède que $a$ appartient également
+au noyau de l'application canonique $A → ∏_α A[a_α^{-1}]$.
+Or, si $(a₁,…,a_r)=A$, cette application est injective.
+Ainsi $a=0$ et $A → ∏_i A_i$ est injective (cf. \refext{Spec}{} \XXX).
+CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+Pour une démonstration de même nature du théorème \ref{trivialisation Azumaya étale}
+reposant sur la théorie de Wedderburn cf. \cite[2.2.5]{Gille-Szamuely} (voir
+également \ref{remarque Gille-Szamuely} \emph{supra}).
+\end{remarque2}
+
+\section{Références bibliographiques}
+
+Skolem-Nœther : Jean Lannes  Bourbaki AC, II, §5, ex. 21. Voir aussi A, VIII,
+§1, ex. 9.
+\cite{BNT@Weil}, chap. IX, etc.
+Applications algébriques de la cohomologie des groupes II : théorie
+des algèbres simples. (Serre, sém. Cartan 1950).
+
+Arithmétique des algèbres de quaternions (LNM 800), M.-F. Vignéras.
+
+Norme spinorielle : cf. Jean Lannes.
+
+« Halmilton's quaternions » [en allemand] de Koecher, Remmert dans « Numbers ».
+
+« The book of involution » p. 25—.
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi