summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/calculs-galois.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-03-07 16:15:50 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-03-07 16:15:50 (GMT)
commit0239da2771081f91eb90be437c34e55036515a22 (patch)
tree980d16c138469ee636cc3a891ee03c76bc0a0b40 /chapitres/calculs-galois.tex
parentd8c826dd7df13409eb1876dd97ebe3cf054e2a70 (diff)
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galois-0239da2771081f91eb90be437c34e55036515a22.tar.gz
galois-0239da2771081f91eb90be437c34e55036515a22.tar.bz2
choose ⤳ \binom{}{}
cf. Package amsmath Warning: Foreign command \atopwithdelims
Diffstat (limited to 'chapitres/calculs-galois.tex')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex6
1 files changed, 3 insertions, 3 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 7053ec0..95fb39c 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -294,7 +294,7 @@ Soit $f ∈ 𝐂[X]$ un polynôme de degré $n$. Les inégalités suivantes so
\begin{démo}
(i) Soit $r ∈ [0,n]$. On a $a_{n-r} = ±a_n∑_{I: \# I=r} α_J$,
où $α_I=∏_{i ∈ I} α_i$. Par définition, on a $|a_n||α_I| ≤ M(f)$.
-Il en résulte que $|a_r|$ est majoré par ${n \choose r} M(f)$ puis $‖ f ‖₁ = ∑_r |a_r| ≤ 2^n M(f)$.
+Il en résulte que $|a_r|$ est majoré par $\binom{n}{r} M(f)$ puis $‖ f ‖₁ = ∑_r |a_r| ≤ 2^n M(f)$.
(ii) Commençons par observer que pour tout polynôme $g$ et
tout $α ∈ 𝐂$, on a l'égalité $‖(X-α)g‖₂ = ‖(\sur{α}X-1)g‖₂$.
En effet, si l'on écrit $g = ∑_{i ∈ 𝐙} b_i X^i$, on a
@@ -324,7 +324,7 @@ M(f)$. D'autre part, on a $‖ g ‖_∞ ≤ ‖ g ‖₁$ et $‖ g ‖₁ ≤
Il n'est pas difficile d'améliorer un peu la borne
ci-dessus : si $g=b_dX^d+\cdots+b₀$ et $f=a_nX^n+\cdots+a₀$ sont comme dans l'énoncé, on a :
\[
-|b_k| ≤ {d-1 \choose k} M(f) + {d-1 \choose k-1} |a_n|.
+|b_k| ≤ \binom{d-1}{k} M(f) + \binom{d-1}{k-1} |a_n|.
\]
Pour la vérifier, on peut supposer $g=f$.
Dans ce cas, la majoration est valable sans hypothèse
@@ -342,7 +342,7 @@ multiplié par la $k-1$-ième fonction symétrique
élémentaire en les $x₁,…,x_{d-2}$.
Il en résulte que $σ_k$ prend sa valeur maximale
lorsque $x₁=…=x_{d-1}$ et $x_d=M$, auquel
-cas elle vaut ${d-1 \choose k-1} M + {d-1 \choose k}$.
+cas elle vaut $\binom{d-1}{k-1} M + \binom{d-1}{k}$.
On fait alors le changement d'indice : $k ↔ d-k$.
\end{remarque2}