[calculs] Énoncés et preuves sur l'action de sous-groupes de 𝔖_7 sur les parties à 3 éléments.

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@@ -3333,7 +3333,7 @@ Mais l'importance de cette résolvante est surtout décidée par le fait
 que l'action de chacun des sept groupes transitifs évoqués ci-dessus
 est différente sur les parties à $3$ éléments de $\{1,\ldots,7\}$ :
 
-\begin{lemme2}
+\begin{lemme2}\label{lemme-orbites-de-c-7-sur-les-trios-de-points}
 Si $\mathscr{T}$ désigne l'ensemble des ($\frac{7!}{4!\,3!}=35$)
 parties à $3$ éléments (« trios ») de $\FF_7$, alors l'action de $C_7
 = \ZZ/7\ZZ$ opérant par translation sur $\mathscr{T}$ a cinq orbites
@@ -3341,6 +3341,14 @@ de cardinal $7$, représentées par $\{0,1,2\}$, $\{0,1,3\}$,
 $\{0,1,4\}$, $\{0,1,5\}$ et $\{0,2,4\}$ respectivement.
 \end{lemme2}
 \begin{proof}
+Il est évident qu'aucun trio ne peut être invariant par $C_7$, et
+comme celui-ci n'a aucun sous-groupe non trivial toutes les orbites
+sont donc de cardinal $7$, et il y en a donc $5$.  Il s'agit donc
+simplement de vérifier que les cinq trios que nous avons listés sont
+dans des orbites différentes, ce qui est tout à fait évident.  Pour la
+commodité du lecteur, nous listons ci-dessous les $35$ trios
+de $\FF_7$, regroupés en cinq orbites (une par ligne) :
+
 \newcommand\heptagone[3]{%
 \begin{tikzpicture}
 \draw(0,0) circle (0.5cm);
@@ -3356,7 +3364,6 @@ $\{0,1,4\}$, $\{0,1,5\}$ et $\{0,2,4\}$ respectivement.
 \fill(#3:0.5cm) circle(0.08cm);
 \end{tikzpicture}%
 }%
-\leavevmode
 \par
 \heptagone{90.0}{38.6}{347.1}
 \heptagone{38.6}{347.1}{295.7}
@@ -3414,12 +3421,41 @@ action sur $\mathscr{T}$ a les orbites suivantes :
   (correspondant aux trios de points $\{u,v,w\}$ de $\FF_7$ tels que
   $u+2v+4w=0$ ou bien $u+4v+2w=0$ dans $\FF_7$) et une de cardinal
   $21$,
-\item pour $C_7 \rtimes C_3$, deux orbites de cardinal $7$
-  (correspondant aux trios de points $\{u,v,w\}$ de $\FF_7$ tels que \XXX)
-  et une de cardinal $21$,
-\item \XXX
+\item pour $C_7 \rtimes C_3$, deux orbites de cardinal $7$ et une de
+  cardinal $21$,
+\item pour $D_7 = C_7 \rtimes C_2$, trois orbites de cardinal $7$ et
+  une de cardinal $14$,
+\item pour $C_7$, cinq orbites de cardinal $7$.
 \end{itemize}
 \end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le fait que $\mathfrak{S}_7$ ou $\mathfrak{A}_7$ est transitif sur les
+trios est évident.  Le fait que $\PGL_3(\FF_2)$ est transitif sur les
+trios de points alignés dans $\PP^2(\FF_2)$, ou sur les trios de
+points non alignées (il est même alors simplement transitif) est bien
+connu.  Pour $C_7$, le
+lemme \ref{lemme-orbites-de-c-7-sur-les-trios-de-points} donne la
+réponse.
+
+Pour les trois groupes restants, puisque ceux-ci contiennent $C_7$
+dont on sait quelles sont les orbites, il suffit d'examiner celles-ci
+modulo $C_7$, c'est-à-dire de se demander comment ces orbites sont
+permutées modulo $C_6$, $C_3$ et $C_2$, ce qui est très facile.  Par
+exemple, pour $C_2$ (c'est-à-dire pour $D_7$), cela se fait
+graphiquement à partir des dessins tracés dans la preuve du lemme
+ci-dessus, en appliquant par exemple la symétrie d'axe verticale sur
+l'heptagone (qu'on imagine comme $x \mapsto -x$ sur $\FF_7$) : on voit
+que les dessins de la première, troisième ou cinquième ligne restent
+dans cette ligne, alors que les deuxième et quatrième lignes sont
+échangées (autrement dit, les orbites de $\{0,1,2\}$, $\{0,1,4\}$ et
+$\{0,2,4\}$ sous $C_7$ sont en fait des orbites sous $D_7$ tandis que
+les orbites de $\{0,1,3\}$ et $\{0,1,5\}$ fusionnent).  De même, pour
+$C_3$, on fera opérer ce dernier par la multplication par $2$ dans
+$\FF_7$ (qui est d'ordre $3$), de sorte que la deuxième et la
+quatrième lignes sont stabilisées tandis que les trois autres sont
+permutées cycliquement.  Enfin $C_6$ est simplement le produit de
+$C_2$ et $C_3$ pour les mêmes actions.
+\end{proof}
 
 
 \ifx\danslelivre\undefined