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author | David A. Madore <david@procyon> | 2012-01-25 15:46:24 +0100 |
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committer | David A. Madore <david@procyon> | 2012-01-25 15:46:24 +0100 |
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[calculs] Énoncés et preuves sur l'action de sous-groupes de 𝔖_7 sur les parties à 3 éléments.
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index 57a9f5c..0dc45ed 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -3333,7 +3333,7 @@ Mais l'importance de cette résolvante est surtout décidée par le fait que l'action de chacun des sept groupes transitifs évoqués ci-dessus est différente sur les parties à $3$ éléments de $\{1,\ldots,7\}$ : -\begin{lemme2} +\begin{lemme2}\label{lemme-orbites-de-c-7-sur-les-trios-de-points} Si $\mathscr{T}$ désigne l'ensemble des ($\frac{7!}{4!\,3!}=35$) parties à $3$ éléments (« trios ») de $\FF_7$, alors l'action de $C_7 = \ZZ/7\ZZ$ opérant par translation sur $\mathscr{T}$ a cinq orbites @@ -3341,6 +3341,14 @@ de cardinal $7$, représentées par $\{0,1,2\}$, $\{0,1,3\}$, $\{0,1,4\}$, $\{0,1,5\}$ et $\{0,2,4\}$ respectivement. \end{lemme2} \begin{proof} +Il est évident qu'aucun trio ne peut être invariant par $C_7$, et +comme celui-ci n'a aucun sous-groupe non trivial toutes les orbites +sont donc de cardinal $7$, et il y en a donc $5$. Il s'agit donc +simplement de vérifier que les cinq trios que nous avons listés sont +dans des orbites différentes, ce qui est tout à fait évident. Pour la +commodité du lecteur, nous listons ci-dessous les $35$ trios +de $\FF_7$, regroupés en cinq orbites (une par ligne) : + \newcommand\heptagone[3]{% \begin{tikzpicture} \draw(0,0) circle (0.5cm); @@ -3356,7 +3364,6 @@ $\{0,1,4\}$, $\{0,1,5\}$ et $\{0,2,4\}$ respectivement. \fill(#3:0.5cm) circle(0.08cm); \end{tikzpicture}% }% -\leavevmode \par \heptagone{90.0}{38.6}{347.1} \heptagone{38.6}{347.1}{295.7} @@ -3414,12 +3421,41 @@ action sur $\mathscr{T}$ a les orbites suivantes : (correspondant aux trios de points $\{u,v,w\}$ de $\FF_7$ tels que $u+2v+4w=0$ ou bien $u+4v+2w=0$ dans $\FF_7$) et une de cardinal $21$, -\item pour $C_7 \rtimes C_3$, deux orbites de cardinal $7$ - (correspondant aux trios de points $\{u,v,w\}$ de $\FF_7$ tels que \XXX) - et une de cardinal $21$, -\item \XXX +\item pour $C_7 \rtimes C_3$, deux orbites de cardinal $7$ et une de + cardinal $21$, +\item pour $D_7 = C_7 \rtimes C_2$, trois orbites de cardinal $7$ et + une de cardinal $14$, +\item pour $C_7$, cinq orbites de cardinal $7$. \end{itemize} \end{proposition2} +\begin{proof} +Le fait que $\mathfrak{S}_7$ ou $\mathfrak{A}_7$ est transitif sur les +trios est évident. Le fait que $\PGL_3(\FF_2)$ est transitif sur les +trios de points alignés dans $\PP^2(\FF_2)$, ou sur les trios de +points non alignées (il est même alors simplement transitif) est bien +connu. Pour $C_7$, le +lemme \ref{lemme-orbites-de-c-7-sur-les-trios-de-points} donne la +réponse. + +Pour les trois groupes restants, puisque ceux-ci contiennent $C_7$ +dont on sait quelles sont les orbites, il suffit d'examiner celles-ci +modulo $C_7$, c'est-à-dire de se demander comment ces orbites sont +permutées modulo $C_6$, $C_3$ et $C_2$, ce qui est très facile. Par +exemple, pour $C_2$ (c'est-à-dire pour $D_7$), cela se fait +graphiquement à partir des dessins tracés dans la preuve du lemme +ci-dessus, en appliquant par exemple la symétrie d'axe verticale sur +l'heptagone (qu'on imagine comme $x \mapsto -x$ sur $\FF_7$) : on voit +que les dessins de la première, troisième ou cinquième ligne restent +dans cette ligne, alors que les deuxième et quatrième lignes sont +échangées (autrement dit, les orbites de $\{0,1,2\}$, $\{0,1,4\}$ et +$\{0,2,4\}$ sous $C_7$ sont en fait des orbites sous $D_7$ tandis que +les orbites de $\{0,1,3\}$ et $\{0,1,5\}$ fusionnent). De même, pour +$C_3$, on fera opérer ce dernier par la multplication par $2$ dans +$\FF_7$ (qui est d'ordre $3$), de sorte que la deuxième et la +quatrième lignes sont stabilisées tandis que les trois autres sont +permutées cycliquement. Enfin $C_6$ est simplement le produit de +$C_2$ et $C_3$ pour les mêmes actions. +\end{proof} \ifx\danslelivre\undefined |