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path: root/chapitres/calculs-galois.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-01 10:05:27 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-01 10:05:27 (GMT)
commit12a640cf8a683e4d617a59d0310e10a5e4fe92da (patch)
tree731af09616f0fff13a92548d50cb31c5d466a2a8 /chapitres/calculs-galois.tex
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex13
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index 9cf0575..b93725d 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -273,7 +273,7 @@ Soit $P \in k[X]$ un polynôme unitaire à coefficients dans un
corps $k$ : on notera $k(x) = k[X]/(P)$ l'algèbre quotient, où $x$
désigne la classe dans $k[X]/(P)$ de l'indéterminée $X$. On appelle
\emph{transformation de Tschirnhaus} sur $P$ un élément $y$ de $k(x)$
-dont le polynôme minimal $Q$ sur $P$ soit du même degré que $P$ ---
+dont le polynôme minimal $Q$ sur $k$ soit du même degré que $P$ ---
c'est-à-dire que les puissances $1,y,y^2,\ldots,y^{\deg P-1}$ forment
une base de la $k$-algèbre $k(x)$ de dimension $\deg P$. On
représentera la transformation sous la forme $U(x)$ avec $U \in k[X]$
@@ -836,7 +836,9 @@ termes de théorie de Galois :
\begin{proposition2}\label{polynomes-tschirnhaus-equivalents-et-stabilisateurs-conjugues}
Soient $P,Q$ deux polynômes séparables de même degré sur un corps $k$,
ayant même corps de décomposition $E$, ou, de façon équivalente, même
-groupe de Galois $G = \Gal(E\bo k)$ à l'intérieur du groupe de Galois
+groupe de Galois $G = \Gal(E\bo k)$ à l'intérieur
+\commentaire{pas plutôt quotient ?}
+du groupe de Galois
d'une clôture séparable de $k$. Si $U,V$ désignent les sous-groupes
de $G$ (définis à conjugaison près) stabilisant une racine quelconque
de $P,Q$ respectivement (de sorte que l'action de $G$ sur les classes
@@ -933,7 +935,10 @@ K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$. De plus,
lorsque c'est le cas (pour un $P \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$), le corps $E
:= \Fix_H K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est engendré sur corps $F :=
\Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ des fonctions rationnelles
-totalement symétriques par l'unique élément $P$ (autrement dit, $E =
+totalement symétriques par l'unique
+\commentaire{unique : ambiguë. « est monogène sur $F$,
+engendré par l'élément $P$ » ?}
+élément $P$ (autrement dit, $E =
F(P)$).
\end{proposition2}
\begin{proof}
@@ -1124,7 +1129,7 @@ multiplicité d'un polynôme $f \in K[X]$ dont $L$ est, donc, le corps
de décomposition. Autrement dit, nous nous poserons la
\begin{question2}\label{question-trouver-critere-polynomes-invariants}
Soit $f \in K[X]$ un polynôme de degré $d$ à coefficients dans un
-corps $K$, dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont les racines comptées
+corps $K$, dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$ les racines comptées
avec multiplicité dans un corps de décomposition $L =
K(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, et soit $H$ un sous-groupe de
$\mathfrak{S}_d$. À quelle condition sur $f$ et $H$ peut-on dire que