[calculs, ExG] Remaniement de tout ce où je parle de bases de Gröbner.

Ce n'est sans doute pas encore au point : il faudrait vraiment
éclaircir ces choses.

1 files changed, 124 insertions, 40 deletions

diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index a72e635..0570918 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1276,8 +1276,8 @@ R_P(f) = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
 \in L[X]
 \]
 où $H = \Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = \{\sigma\in\mathfrak{S}_d :
-F(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = F(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
-stabilisateur de $F$ pour l'action de $\mathfrak{S}_d$ opérant sur
+P(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = P(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
+stabilisateur de $P$ pour l'action de $\mathfrak{S}_d$ opérant sur
 $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ par permutation des variables ; ce polynôme
 $R_P(f)$ appartient, en fait, à $K[X]$.
 
@@ -1305,9 +1305,9 @@ définit alors la \emph{résolvante dans $\mathfrak{G}$ relativement
 R_{\mathfrak{G},P}(f) = \prod_{\sigma\in\mathfrak{G}/H}
 (X-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})) \in L[X]
 \]
-où $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(F) = \{\sigma\in\mathfrak{G} :
-F(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = F(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
-stabilisateur de $F$ dans $\mathfrak{G}$ ; l'hypothèse sur
+où $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(P) = \{\sigma\in\mathfrak{G} :
+P(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = P(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
+stabilisateur de $P$ dans $\mathfrak{G}$ ; l'hypothèse sur
 $\mathfrak{G}$ assure ce polynôme $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ appartient,
 en fait, à $K[X]$.
 \end{definition2}
@@ -1577,7 +1577,7 @@ séparable irréductible de degré $d$ :
 
 \end{itemize}
 
-\begin{remarque2}
+\subsubsection{Calcul des résolvantes par calcul approché}\label{calcul-resolvantes-par-calcul-approche}
 Dans la stratégie ci-dessus, à l'étape de calcul de $R_P(f)$, on
 \emph{ne} procède généralement \emph{pas} en calculant la résolvante
 générale $R_P$ (comme polynômes des fonctions symétriques
@@ -1605,23 +1605,102 @@ très utile de disposer d'une définition de résolvante générale
 $R_{\mathfrak{G},P}$ dans $\mathfrak{G}$, seule important la valeur
 $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ prise sur le polynôme $f$.
 
+\subsubsection{Calcul des résolvantes par bases de Gröbner}\label{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}
 En supposant connue du lecteur la notion de base de Gröbner d'idéaux
-de polynômes, voici une autre manière dont on pourrait, en principe,
-approcher le calcul de $R_P(f)$ ou $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ sans faire
-appel à des calculs en précision garantie : dans
-l'anneau $K[Z_1,\ldots,Z_d]$, calculer une base de Gröbner $B$ de
-l'idéal $\mathfrak{I}$ engendré par les relations
-$\sigma_i(Z_1,\ldots,Z_d) = (-1)^i a_i$ où $\sigma_i$ est la $i$-ième
-fonction symétrique élémentaire de $Z_1,\ldots,Z_d$ et $a_i$ est le
-coefficient de degré $d-i$ de $f$ ; puis, pour chaque degré $j$,
-calculer le coefficient de degré $j$ de $R_{\mathfrak{G},P} =
+de polynômes, décrivons succinctement une autre manière dont on peut,
+en principe, aborder le calcul de $R_P(f)$ ou $R_{\mathfrak{G},F}(f)$
+sans faire appel à des calculs en précision garantie.
+
+Considérons d'abord le cas de $R_P(f)$ (c'est-à-dire $\mathfrak{G} =
+\mathfrak{S}_d$).  On commence, dans l'anneau $K[Z_1,\ldots,Z_d]$, par
+calculer une base de Gröbner $B$ (pour un ordre quelconque) de l'idéal
+$\mathfrak{I}$ engendré par les relations $\sigma_i(Z_1,\ldots,Z_d) =
+(-1)^i a_i$ où $\sigma_i$ est la $i$-ième fonction symétrique
+élémentaire de $Z_1,\ldots,Z_d$ et $a_i$ est le coefficient de
+degré $d-i$ de $f$.  On peut par exemple
+(\cite[théorème 1.2.7]{Sturmfels}) prendre la base formée des
+$h_i(Z_i,\ldots,Z_d) - \sum_{j=1}^k a_j h_{k-j}(Z_i,\ldots,Z_d)$ où
+$h_j$ est le $i$-ième polynôme homogène symétrique complet de
+$Z_1,\ldots,Z_d$, c'est-à-dire la somme de tous les monômes de degré
+$i$ en ces variables (on pose notamment $h_0=1$), et
+$h_j(Z_i,\ldots,Z_d)$ signifie qu'il est évalué en remplaçant les
+$i-1$ premières variables par $0$.  Puis, en réduisant modulo cette
+base $B$, c'est-à-dire en travaillant dans l'anneau
+$K[X,Z_1,\ldots,Z_d]/\mathfrak{I}K[X,Z_1,\ldots,Z_d]$ au moyen des
+relations de $B$, on calcule le polynôme $R_P =
+\prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
+(X-P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}))$ : comme ce dernier est
+invariant par $\mathfrak{S}_d$, il doit donner, une fois réduit
+modulo $B$, un résultat indépendant de $Z_1,\ldots,Z_d$, qui est le
+$R_P(f) \in K[X]$ recherché.
+
+Pour la situation dans un groupe $\mathfrak{G}$ (où on notera cette
+fois $F$ le polynôme relativement auquel on cherche la résolvante
+de $f$), la difficulté supplémentaire est qu'il n'est pas évident de
+donner une expression « générale » de $R_{\mathfrak{G},F}$, faute de
+choix évident de générateurs pour $\Fix_{\mathfrak{G}}
+K[Z_1,\ldots,Z_d]$ comme le sont les fonctions symétriques
+élémentaires (ou les coefficients de $f$) pour $\Fix_{\mathfrak{S}_d}
+K[Z_1,\ldots,Z_d]$ (et, de fait, on peut montrer que
+$\Fix_{\mathfrak{G}} K[Z_1,\ldots,Z_d]$ n'est pas toujours isomorphe à
+un pur anneau de polynômes).  De plus, affirmer que $\mathfrak{G}$
+(plutôt qu'un conjugué de celui-ci) contient le groupe de Galois de
+$f$ suppose d'avoir fait un choix concernant la numérotation des
+racines de $f$, qu'il va bien falloir faire apparaître dans le calcul.
+
+La situation qui se présente en général est qu'on a déterminé que le
+groupe de Galois de $f$ (supposé séparable) était contenu dans
+$\mathfrak{G}$, grâce au théorème \ref{utilisation-des-resolvantes},
+au moyen de la factorisation d'une première résolvante $R_P(f)$,
+relativement à un polynôme $P$ ayant $\mathfrak{G}$ comme
+stabilisateur pour l'action de $\mathfrak{S}_d$ par permutation des
+variables.
+
+Faisons donc les hypothèses suivantes : on a $\mathfrak{G} =
+\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P)$ pour un polynôme $P$ tel que la résolvante
+$R_P(f)$ admette une racine simple $\pi \in K$, et la numérotation
+$\xi_1,\ldots,\xi_d$ des racines de $f$ est choisie pour faire en
+sorte que $\pi = P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$.  On cherche alors à calculer
+$R_{\mathfrak{G},F}(f)$ pour un polynôme $F$.
+
+Dans ces conditions, le corps $\Fix_{\mathfrak{G}} K(Z_1,\ldots,Z_d)$
+est une extension de $\Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ de
+degré $e = (\mathfrak{S}_d : \mathfrak{G})$, et elle peut être
+engendrée par l'élément $P$ dont le polynôme minimal (sur
+$\Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$) est donné précisément par
+la résolvante générale $R_P$.  Les éléments de $\Fix_{\mathfrak{G}}
+K(Z_1,\ldots,Z_d)$ et, en particulier, les coefficients de la
+résolvante $R_{\mathfrak{G},F}$ peuvent donc s'exprimer au moyen des
+fonctions symétriques élémentaires et de $P$, et même comme
+combinaisons de $1,P,\ldots,P^{e-1}$ avec des coefficients totalement
+symétriques.  En évaluant en $\xi_1,\ldots,\xi_d$ (les racines
+de $f$), les coefficients de $R_{\mathfrak{G},F}(f)$ peuvent
+s'exprimer comme de combinaisons de $1,\pi,\ldots,\pi^{e-1}$ avec des
+coefficients fonctions rationnelles de $a_1,\ldots,a_d$ (les
+coefficients de $f$).
+
+Bref, on commence, dans l'anneau $K[Z_1,\ldots,Z_d]$, par calculer une
+base de Gröbner $B$ (pour un ordre quelconque) de l'idéal
+$\mathfrak{I}$ engendré par les relations $\sigma_i(Z_1,\ldots,Z_d) =
+(-1)^i a_i$ et $P(Z_1,\ldots,Z_d) = \pi$.  Puis, en réduisant modulo
+cette base $B$, c'est-à-dire en travaillant dans l'anneau
+$K[X,Z_1,\ldots,Z_d]/\mathfrak{I}K[X,Z_1,\ldots,Z_d]$ au moyen des
+relations de $B$, on calcule le polynôme $R_{\mathfrak{G},F} =
 \prod_{\sigma\in\mathfrak{G}/H}
-(X-P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}))$ (c'est-à-dire, au signe
-près, la $j$-ième fonction symétrique élémentaire des
-$P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$), et réduire modulo $B$, ce
-qui doit donner un résultat dans $K$, i.e., indépendant
-de $Z_1,\ldots,Z_d$.  \XXX Faut-il expliquer mieux ça ?
-\end{remarque2}
+(X-F(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}))$ : comme ce dernier est
+invariant par $\mathfrak{G}$, il doit donner, une fois réduit
+modulo $B$, un résultat indépendant de $Z_1,\ldots,Z_d$, qui est le
+$R_P(f) \in K[X]$ recherché.
+
+On renvoie à \cite[algorithme 2.5.6]{Sturmfels} pour une justification
+du calcul par base de Gröbner même sans substituer aux polynômes
+$\sigma_i$ et $P$ leur valeur sur les racines $\xi_1,\ldots,\xi_d$.
+
+\XXX Rédigé en vitesse.  Vérifier que je n'ai pas oublié des
+hypothèses pour que ça marche (du style $f$ irréductible,
+caractéristique $0$ ou que sais-je encore).
+
+\subsection{Compléments sur les résolvantes}
 
 La proposition suivante permet de calculer les résolvantes linéaires
 pour une combinaison linéaire de deux variables :
@@ -2265,32 +2344,37 @@ signe près, et de constater qu'on obtient bien le produit de $X-F$ par
 la même quantité après échange de $Z_1$ et $Z_3$.  Cependant, si on se
 demande comment une telle expression a été trouvée, une méthode
 consiste à calculer dans l'anneau $\QQ[Z_1,\ldots,Z_4, \mathit{\Pi},
-A_1,\ldots,A_4]$ une base de Gröbner de l'idéal engendré par $A_1 +
+  A_1,\ldots,A_4]$ une base de Gröbner de l'idéal engendré par $A_1 +
 (Z_1+Z_2+Z_3+Z_4), \ldots, A_4 - (Z_1 Z_2 Z_3 Z_4)$ et $\mathit{\Pi} -
 (Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4)$ pour l'ordre lexicographique sur les monômes
-prolongeant un ordre sur les variables tel que $Z_1, \ldots, Z_4
-> \mathit{\Pi} > A_1, \ldots, A_4$.  En réduisant modulo cette base
-les coefficients de $R_{D_4,F}$ exprimés dans les variables
+prolongeant un ordre sur les variables tel que $Z_1, \ldots, Z_4 >
+\mathit{\Pi} > A_1, \ldots, A_4$.  En réduisant modulo cette base les
+coefficients de $R_{D_4,F}$ exprimés dans les variables
 $Z_1,\ldots,Z_4$, on obtient leur expression en $a_1,\ldots,a_4$ et
-$\pi$.)
+$\pi$.  On renvoie à \cite[algorithme 2.5.6]{Sturmfels} pour une
+justification de ces choix et
+à \ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner} pour une discussion.)
 
 Grâce à $R_{D_4,F}(f)$, tester si le groupe de Galois $G$ d'un
 polynôme $f$ est $C_4$ peut se faire selon la stratégie suivante :
 (i) Calculer $R_P(f)$ en utilisant l'expression donnée plus haut en
-fonction des coefficients $a_1,\ldots,a_4$ de $f$, vérifier que
-$R_P(f)$ est séparable et tester si elle a une racine dans $k$ : si ce
-n'est pas le cas, le groupe de Galois de $f$ n'est pas inclus dans
-$D_4$ (et \textit{a fortiori} pas dans $C_4$) ; si c'est le cas, on
-sait au moins que le groupe de Galois de $f$ est inclus dans $D_4$ :
-appeler $\pi$ la racine trouvée ; (ii) calculer $R_{D_4,F}(f)$ en
-utilisant l'expression ci-dessus en fonction des coefficients
-$a_1,\ldots,a_4$ de $f$ et de la racine $\pi$ qu'on vient de calculer,
-vérifier que $R_{D_4,F}(f)$ est séparable et tester si elle a une
-racine dans $k$ : si ce n'est pas le cas, le groupe de Galois de $f$
-n'est pas inclus dans $C_4$, tandis que si c'est le cas, il l'est.  Si
-l'une des deux résolvantes calculées n'était pas séparable, il
-convient de remplacer $f$ par un transformé de Tschirnhaus $f^\$$
-comme expliqué de façon
+fonction des coefficients $a_1,\ldots,a_4$ de $f$ (ou par l'une des
+méthodes de \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche} ou
+\ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), vérifier que $R_P(f)$
+est séparable et tester si elle a une racine dans $k$ : si ce n'est
+pas le cas, le groupe de Galois de $f$ n'est pas inclus dans $D_4$ (et
+\textit{a fortiori} pas dans $C_4$) ; si c'est le cas, on sait au
+moins que le groupe de Galois de $f$ est inclus dans $D_4$ : appeler
+$\pi$ la racine trouvée ; (ii) calculer $R_{D_4,F}(f)$ en utilisant
+l'expression ci-dessus en fonction des coefficients $a_1,\ldots,a_4$
+de $f$ et de la racine $\pi$ qu'on vient de calculer (ou, de nouveau,
+par l'une des méthodes de \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche}
+ou \ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), vérifier que
+$R_{D_4,F}(f)$ est séparable et tester si elle a une racine dans $k$ :
+si ce n'est pas le cas, le groupe de Galois de $f$ n'est pas inclus
+dans $C_4$, tandis que si c'est le cas, il l'est.  Si l'une des deux
+résolvantes calculées n'était pas séparable, il convient de remplacer
+$f$ par un transformé de Tschirnhaus $f^\$$ comme expliqué de façon
 générale \ref{strategie-algorithmique-generale-calcul-groupes-de-galois}
 (et ce qui est possible
 d'après \ref{garantir-resolvante-separable-par-transformation-de-tschirnhaus}).