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path: root/chapitres/calculs-galois.tex
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authorDavid A. Madore <david@procyon>2011-12-28 17:26:31 (GMT)
committerDavid A. Madore <david@procyon>2011-12-28 17:26:31 (GMT)
commit22d5a19bc4a4377b51b12885f21dd89133b59292 (patch)
treede5d2dc3db7412624f3d7ffb432f0704249a852a /chapitres/calculs-galois.tex
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[calculs] Degré 6 : énoncé de la proposition principale.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex35
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index 8ab5265..a1de283 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2797,7 +2797,9 @@ sur $\ZZ$.
Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4^{2} Z_5 + Z_1^{2} Z_3 Z_4^{2} Z_5)$ :
il s'agit du groupe des permutations stabilisant la pentade
$\mathscr{H}$ (c'est-à-dire, si on veut, le normalisateur de cet
- ensemble comme une partie de $\mathfrak{S}_6$) ;
+ ensemble comme une partie de $\mathfrak{S}_6$) ; ce groupe peut
+ également être vu comme $PGL_2(\FF_5)$ si on renumérote les objets
+ $(1,2,3,4,5,6)$ comme $(0,1,-1,2,-2,\infty)$ ;
\item pour $(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3) \rtimes C_2$
(d'ordre $72$) : le polynôme $Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4 + Z_1 Z_5 + Z_3 Z_5
+ Z_2 Z_6 + Z_4 Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_3)$ : il s'agit du groupe
@@ -2822,7 +2824,9 @@ sur $\ZZ$.
$\{1,2,3,4,5,6\}$, les automorphismes de ce graphe ; la description
comme produit direct $\mathfrak{S}_4 \times C_2$ se voit si on
considère ce groupe comme le stabilisateur de
- $\{\mathscr{X},\mathscr{Y}\}$) ;
+ $\{\mathscr{X},\mathscr{Y}\}$) ; ce groupe peut également être vu
+ comme $PSL_2(\FF_5)$ si on renumérote les objets $(1,2,3,4,5,6)$
+ comme $(0,1,-1,2,-2,\infty)$ ;
\item pour $(C_3\times C_3)\rtimes C_4$ (d'ordre $36$) : le polynôme
$Z_1^{3} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{3}
Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3 Z_4^{3} + Z_1^{2} Z_2^{3} Z_4 Z_5 +
@@ -2945,6 +2949,33 @@ possible pour l'ordre monomial « grevlex » qui trie par le degré puis
par ordre lexicographique inversé, cet ordre monomial étant celui dans
lequel nous avons listé les termes des polynômes.)
+Cette description étant faite, la factorisation d'une seule résolvante
+permet de déterminer l'action du groupe de Galois sur les pentades,
+qui apporte déjà beaucoup d'information sur celui-ci :
+
+\begin{proposition2}
+Soit $P$ le polynôme $\sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2
+Z_3^{2} Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4^{2} Z_5 +
+Z_1^{2} Z_3 Z_4^{2} Z_5)$ évoqué plus haut pour le groupe
+$\Stab_{\mathfrak{S}_6}(P) = \mathfrak{S}_5$, et soit $R_P(f)$ la
+résolvante relativement à $P$ d'un polynôme $f \in k[X]$ irréductible
+unitaire de degré $6$ (ainsi, $R_P(f)$ est un polynôme sextique). On
+suppose $R_P(f)$ séparable. Alors l'action du groupe de Galois $G$
+de $f$ sur les racines de $R_P(f)$ est équivalente à son action (comme
+groupe de permutation) sur les pentades synthématiques de racines
+de $f$. En particulier :
+\begin{itemize}
+\item si $R_P(f)$ a une racine dans $k$, alors $G$ fixe une pentade,
+ c'est-à-dire est inclus (à conjugaison près) dans $\mathfrak{S}_5$,
+\item si $R_P(f)$ a un facteur quadratique (irréductible ou non)
+ sur $k$, alors $G$ fixe un doublet de pentades, c'est-à-dire est
+ inclus (à conjugaison près) dans $\mathfrak{S}_4 \times C_2$,
+\item si $R_P(f)$ a un facteur cubique (irréductible ou non) sur $k$,
+ alors $G$ fixe un trio de pentades, c'est-à-dire est inclus (à
+ conjugaison près) dans $\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3$.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+
\ifx\danslelivre\undefined