diff options
author | David A. Madore <david@procyon> | 2011-12-28 18:26:31 +0100 |
---|---|---|
committer | David A. Madore <david@procyon> | 2011-12-28 18:26:31 +0100 |
commit | 22d5a19bc4a4377b51b12885f21dd89133b59292 (patch) | |
tree | de5d2dc3db7412624f3d7ffb432f0704249a852a /chapitres/calculs-galois.tex | |
parent | 0ce431570bd1a4aca566f39433e031df67901ca8 (diff) | |
download | galois-22d5a19bc4a4377b51b12885f21dd89133b59292.tar.gz galois-22d5a19bc4a4377b51b12885f21dd89133b59292.tar.bz2 galois-22d5a19bc4a4377b51b12885f21dd89133b59292.zip |
[calculs] Degré 6 : énoncé de la proposition principale.
Diffstat (limited to 'chapitres/calculs-galois.tex')
-rw-r--r-- | chapitres/calculs-galois.tex | 35 |
1 files changed, 33 insertions, 2 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index 8ab5265..a1de283 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -2797,7 +2797,9 @@ sur $\ZZ$. Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4^{2} Z_5 + Z_1^{2} Z_3 Z_4^{2} Z_5)$ : il s'agit du groupe des permutations stabilisant la pentade $\mathscr{H}$ (c'est-à-dire, si on veut, le normalisateur de cet - ensemble comme une partie de $\mathfrak{S}_6$) ; + ensemble comme une partie de $\mathfrak{S}_6$) ; ce groupe peut + également être vu comme $PGL_2(\FF_5)$ si on renumérote les objets + $(1,2,3,4,5,6)$ comme $(0,1,-1,2,-2,\infty)$ ; \item pour $(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3) \rtimes C_2$ (d'ordre $72$) : le polynôme $Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4 + Z_1 Z_5 + Z_3 Z_5 + Z_2 Z_6 + Z_4 Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_3)$ : il s'agit du groupe @@ -2822,7 +2824,9 @@ sur $\ZZ$. $\{1,2,3,4,5,6\}$, les automorphismes de ce graphe ; la description comme produit direct $\mathfrak{S}_4 \times C_2$ se voit si on considère ce groupe comme le stabilisateur de - $\{\mathscr{X},\mathscr{Y}\}$) ; + $\{\mathscr{X},\mathscr{Y}\}$) ; ce groupe peut également être vu + comme $PSL_2(\FF_5)$ si on renumérote les objets $(1,2,3,4,5,6)$ + comme $(0,1,-1,2,-2,\infty)$ ; \item pour $(C_3\times C_3)\rtimes C_4$ (d'ordre $36$) : le polynôme $Z_1^{3} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{3} Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3 Z_4^{3} + Z_1^{2} Z_2^{3} Z_4 Z_5 + @@ -2945,6 +2949,33 @@ possible pour l'ordre monomial « grevlex » qui trie par le degré puis par ordre lexicographique inversé, cet ordre monomial étant celui dans lequel nous avons listé les termes des polynômes.) +Cette description étant faite, la factorisation d'une seule résolvante +permet de déterminer l'action du groupe de Galois sur les pentades, +qui apporte déjà beaucoup d'information sur celui-ci : + +\begin{proposition2} +Soit $P$ le polynôme $\sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2 +Z_3^{2} Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4^{2} Z_5 + +Z_1^{2} Z_3 Z_4^{2} Z_5)$ évoqué plus haut pour le groupe +$\Stab_{\mathfrak{S}_6}(P) = \mathfrak{S}_5$, et soit $R_P(f)$ la +résolvante relativement à $P$ d'un polynôme $f \in k[X]$ irréductible +unitaire de degré $6$ (ainsi, $R_P(f)$ est un polynôme sextique). On +suppose $R_P(f)$ séparable. Alors l'action du groupe de Galois $G$ +de $f$ sur les racines de $R_P(f)$ est équivalente à son action (comme +groupe de permutation) sur les pentades synthématiques de racines +de $f$. En particulier : +\begin{itemize} +\item si $R_P(f)$ a une racine dans $k$, alors $G$ fixe une pentade, + c'est-à-dire est inclus (à conjugaison près) dans $\mathfrak{S}_5$, +\item si $R_P(f)$ a un facteur quadratique (irréductible ou non) + sur $k$, alors $G$ fixe un doublet de pentades, c'est-à-dire est + inclus (à conjugaison près) dans $\mathfrak{S}_4 \times C_2$, +\item si $R_P(f)$ a un facteur cubique (irréductible ou non) sur $k$, + alors $G$ fixe un trio de pentades, c'est-à-dire est inclus (à + conjugaison près) dans $\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3$. +\end{itemize} +\end{proposition2} + \ifx\danslelivre\undefined |