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path: root/chapitres/calculs-galois.tex
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authorDavid A. Madore <david@procyon>2011-12-09 15:35:09 (GMT)
committerDavid A. Madore <david@procyon>2011-12-09 15:35:09 (GMT)
commit326810ee2d42ea5d4ded8a9ca7c0bc1f3ace1d9b (patch)
tree808f9282cf509f33233129c9990287482d0b03ff /chapitres/calculs-galois.tex
parent965e468c036ebf8ec2c35ba6cf6cc7c39a1636de (diff)
downloadgalois-326810ee2d42ea5d4ded8a9ca7c0bc1f3ace1d9b.zip
galois-326810ee2d42ea5d4ded8a9ca7c0bc1f3ace1d9b.tar.gz
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[calculs] Fin de la description en degré 5.
Sans doute faudrait-il encore ajouter quelques exemples.
Diffstat (limited to 'chapitres/calculs-galois.tex')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex29
1 files changed, 29 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 4d37258..b6f4fbb 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2635,6 +2635,35 @@ $R_{\mathfrak{A}_5,Q}(f)$ de degré $6$ qui admet une racine si, et
lorsqu'il est séparable seulement si, le groupe de Galois $G$ de $f$
est inclus dans $D_5$.
+S'agissant de savoir si le groupe de Galois de $f$ est en fait inclus
+dans (i.e., égal à) $C_5$ lorsqu'il est inclus dans $D_5$, on peut
+considérer la résultante $R_{D_5,F}(f)$, mais, comme il s'agit d'un
+polynôme quadratique dont seul nous intéresse la question de savoir
+s'il est scindé ou non, en caractéristique différente de $2$, on peut
+directement se pencher sur son discriminant, c'est-à-dire $[\xi_1
+ \xi_2 (\xi_1-\xi_2) + \xi_2 \xi_3 (\xi_2-\xi_3) + \xi_3 \xi_4
+ (\xi_3-\xi_4) + \xi_4 \xi_5 (\xi_4-\xi_5) + \xi_5 \xi_1
+ (\xi_5-\xi_1)]^2$, où les racines $\xi_1,\ldots,\xi_5$ ont été
+numérotées d'une manière qui témoigne du fait que $G \leq D_5$
+(c'est-à-dire, à une éventuelle question de séparabilité près,
+$Q(\xi_1,\ldots,\xi_5) \in k$). Il est en principe possible
+d'exprimer cette quantité de façon générale en fonction des
+coefficients $a_1,\ldots,a_5$ de $f$ ainsi que d'une racine $\xi_1
+\xi_2 + \xi_2 \xi_3 + \xi_3 \xi_4 + \xi_4 \xi_5 + \xi_5 \xi_1$ de
+$R_Q(f)$, mais l'expression générale en question est d'une complexité
+et d'une inutilité telles que nous ne tenterons pas de la reproduire
+ici.
+
+Pour résumer, l'algorithme de calcul du groupe de Galois $G$ d'un
+polynôme de degré $5$ commence par déterminer si ce groupe est contenu
+dans $\mathfrak{A}_5$ ou dans $\AGL(\FF_5)$ (sachant que ces deux
+questions sont indépendantes, mais que si on a répondu positivement à
+l'une, l'autre, qui devient alors de savoir si $G$ est contenu
+dans $D_5$, peut être modifiée pour faire usage d'une résolvante
+relative). Si $G$ est contenu dans les deux, c'est-à-dire dans $D_5 =
+\AGL(\FF_5) \cap \mathfrak{A}_5$, alors on se demande encore s'il est
+contenu dans $C_5$ comme on vient de l'indiquer.
+
\ifx\danslelivre\undefined