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author | David A. Madore <david@procyon> | 2011-12-09 16:35:09 +0100 |
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committer | David A. Madore <david@procyon> | 2011-12-09 16:35:09 +0100 |
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[calculs] Fin de la description en degré 5.
Sans doute faudrait-il encore ajouter quelques exemples.
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-rw-r--r-- | chapitres/calculs-galois.tex | 29 |
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index 4d37258..b6f4fbb 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -2635,6 +2635,35 @@ $R_{\mathfrak{A}_5,Q}(f)$ de degré $6$ qui admet une racine si, et lorsqu'il est séparable seulement si, le groupe de Galois $G$ de $f$ est inclus dans $D_5$. +S'agissant de savoir si le groupe de Galois de $f$ est en fait inclus +dans (i.e., égal à) $C_5$ lorsqu'il est inclus dans $D_5$, on peut +considérer la résultante $R_{D_5,F}(f)$, mais, comme il s'agit d'un +polynôme quadratique dont seul nous intéresse la question de savoir +s'il est scindé ou non, en caractéristique différente de $2$, on peut +directement se pencher sur son discriminant, c'est-à-dire $[\xi_1 + \xi_2 (\xi_1-\xi_2) + \xi_2 \xi_3 (\xi_2-\xi_3) + \xi_3 \xi_4 + (\xi_3-\xi_4) + \xi_4 \xi_5 (\xi_4-\xi_5) + \xi_5 \xi_1 + (\xi_5-\xi_1)]^2$, où les racines $\xi_1,\ldots,\xi_5$ ont été +numérotées d'une manière qui témoigne du fait que $G \leq D_5$ +(c'est-à-dire, à une éventuelle question de séparabilité près, +$Q(\xi_1,\ldots,\xi_5) \in k$). Il est en principe possible +d'exprimer cette quantité de façon générale en fonction des +coefficients $a_1,\ldots,a_5$ de $f$ ainsi que d'une racine $\xi_1 +\xi_2 + \xi_2 \xi_3 + \xi_3 \xi_4 + \xi_4 \xi_5 + \xi_5 \xi_1$ de +$R_Q(f)$, mais l'expression générale en question est d'une complexité +et d'une inutilité telles que nous ne tenterons pas de la reproduire +ici. + +Pour résumer, l'algorithme de calcul du groupe de Galois $G$ d'un +polynôme de degré $5$ commence par déterminer si ce groupe est contenu +dans $\mathfrak{A}_5$ ou dans $\AGL(\FF_5)$ (sachant que ces deux +questions sont indépendantes, mais que si on a répondu positivement à +l'une, l'autre, qui devient alors de savoir si $G$ est contenu +dans $D_5$, peut être modifiée pour faire usage d'une résolvante +relative). Si $G$ est contenu dans les deux, c'est-à-dire dans $D_5 = +\AGL(\FF_5) \cap \mathfrak{A}_5$, alors on se demande encore s'il est +contenu dans $C_5$ comme on vient de l'indiquer. + \ifx\danslelivre\undefined |