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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2011-12-23 01:32:07 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2011-12-23 01:32:07 +0100 |
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[calculs] Encore des éclaircissements sur les groupes de permutations transitifs sur six objets.
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index 9dd8e61..5112658 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -2673,25 +2673,44 @@ Pour la présentation qui suit, il est utile de rappeler qu'il existe des automorphismes extérieurs de $\mathfrak{S}_6$ (ce qui n'est pas le cas de $\mathfrak{S}_n$ pour aucun autre $n$) et la manière dont on les obtient. On appelle \emph{synthème} un produit de trois -transpositions disjointes, c'est-à-dire un appariement de chaque -élément de $\{1,\ldots,6\}$ avec un autre ; on vérifie aisément qu'il -existe $15$ synthèmes, soit autant que de transpositions, et chaque -synthème est disjoint de $8$ autres synthèmes (« disjoint » au sens où -il n'a aucune transposition en commun) ; on appelle \emph{pentade - synthématique} un ensemble de cinq synthèmes mutuellement disjoints -(c'est-à-dire une partition en cinq classes des $15$ transpositions) : -chaque paire de synthèmes disjoints appartient à une et une seule -pentade synthématique, et il existe six pentades synthématiques, deux -d'entre elles ayant toujours exactement un synthème en commun. Un -automorphisme extérieur de $\mathfrak{S}_6$ est déterminé par une -bijection entre les six objets $\{1,\ldots,6\}$ et les six pentades -synthématiques sur ces objets : l'automorphisme envoyant la -transposition échangeant deux objets sur l'unique synthème commun aux -deux pentades synthématiques choisies pour leur correspondre. Dans ce -qui suit, nous appellerons $\mathfrak{H}$ la pentade synthématique -formée des synthèmes disjoints $(12)(34)(56)$ et $(23)(45)(61)$ et des -trois autres qui leur sont simultanément disjoints (soit -$(14)(26)(35)$, $(25)(13)(46)$ et $(36)(24)(51)$). +transpositions disjointes dans $\mathfrak{S}_6$, qu'on peut aussi voir +comme un appariement de chaque élément de $\{1,\ldots,6\}$ avec un +autre ; on vérifie aisément qu'il existe $15$ synthèmes, soit autant +que de transpositions, et chaque synthème est disjoint de $8$ autres +synthèmes (« disjoint » au sens où il n'a aucune transposition en +commun) ; on appelle \emph{pentade synthématique} un ensemble de cinq +synthèmes mutuellement disjoints (c'est-à-dire une partition en cinq +classes des $15$ transpositions) : chaque paire de synthèmes disjoints +appartient à une et une seule pentade synthématique, et il existe six +pentades synthématiques, deux d'entre elles ayant toujours exactement +un synthème en commun, et chaque synthème appartenant à exactement +deux pentades synthématiques. Un automorphisme extérieur de +$\mathfrak{S}_6$ est déterminé par une bijection entre les six objets +$\{1,\ldots,6\}$ et les six pentades synthématiques sur ces objets : +l'automorphisme envoie la transposition échangeant deux objets sur +l'unique synthème commun aux deux pentades synthématiques choisies +pour leur correspondre, ou, si l'on préfère, cela revient à faire +opérer $\mathfrak{S}_6$ sur les six pentades synthématiques. + +Dans ce qui suit, pour fixer les représentants des classes de +conjugaisons de sous-groupes que nous allons décrire, nous appellerons +$X$, $Y$ et $C$ les synthèmes disjoints $(12)(34)(56)$, $(23)(45)(61)$ +(chacune formée d'un côté sur deux de l'hexagone $(1,2,3,4,5,6)$) et +$(14)(25)(36)$ (appariant chaque sommet de l'hexagone au sommet +opposé). Nous appellerons aussi $\mathscr{H}$ l'unique pentade +synthématique contenant les synthèmes disjoints $X=(12)(34)(56)$ et +$Y=(23)(45)(61)$ (les trois autres étant $(14)(26)(35)$, +$(25)(13)(46)$ et $(36)(24)(51)$), et $\mathscr{X}$ +(resp. $\mathscr{Y}$) l'unique autre pentade synthématique contenant +$X$ (resp. $Y$). Si on appelle +$\mathscr{U},\mathscr{V},\mathscr{W}$ les trois autres pentades +synthématiques, on gardera à l'esprit que $\mathfrak{S}_6$ peut se +voir comme les permutations des objets +$\{\mathscr{H},\mathscr{X},\mathscr{Y}, +\mathscr{U},\mathscr{V},\mathscr{W}\}$ : et notamment, $C$ échange +$\mathscr{X}$ et $\mathscr{Y}$, tandis que $X$ (resp. $Y$) échange +$\mathscr{H}$ et $\mathscr{X}$ (resp. $\mathscr{H}$ et +$\mathscr{Y}$). Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_6$ possède seize classes de conjugaison de sous-groupes transitifs, dont les inclusions (à @@ -2749,25 +2768,37 @@ conjugaison près) sont représentées par le schéma suivant : À part $\mathfrak{S}_6$ (d'ordre $720$) et $\mathfrak{A}_6$ (d'ordre $360$), ces sous-groupes peuvent être définis comme les groupes de permutations laissant invariants, sur un anneau quelconque, -les polynômes suivants (où on utilise la notation $\sum_{C_6} P$ pour -désigner le polynôme obtenu en sommant toutes les permutations +les polynômes suivants (relativement auxquels on pourra donc +considérer des résolvantes), où on utilise la notation $\sum_{C_6} P$ +pour désigner le polynôme obtenu en sommant toutes les permutations cycliques des variables $(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6)$ à partir d'un polynôme $P$, et où bien entendu les expressions faisant intervenir un $\frac{1}{2}$ doivent se comprendre calculées sur $\QQ$ sachant que -le résultat final vaut sur $\ZZ$) : +le résultat final vaut sur $\ZZ$ : \begin{itemize} \item pour $\mathfrak{S}_5$ (d'ordre $120$) : le polynôme $\sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{2} Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2 - Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4^{2} Z_5 + Z_1^{2} Z_3 Z_4^{2} Z_5)$ ; + Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4^{2} Z_5 + Z_1^{2} Z_3 Z_4^{2} Z_5)$ : + il s'agit du groupe des permutations stabilisant $\mathscr{H}$ + (c'est-à-dire, si on veut, le normalisateur de cet ensemble comme + une partie de $\mathfrak{S}_6$) ; \item pour $(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3):C_2$ (d'ordre $72$) : le polynôme $Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4 + Z_1 Z_5 + Z_3 Z_5 + Z_2 Z_6 + Z_4 Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_3)$ ; \item pour $\mathfrak{A}_5$ (d'ordre $60$) : le polynôme $Z_1 Z_2 Z_3 + Z_1 Z_2 Z_4 + Z_1 Z_3 Z_5 + Z_2 Z_4 Z_5 + Z_3 Z_4 Z_5 + Z_2 Z_3 - Z_6 + Z_1 Z_4 Z_6 + Z_3 Z_4 Z_6 + Z_1 Z_5 Z_6 + Z_2 Z_5 Z_6$ ; + Z_6 + Z_1 Z_4 Z_6 + Z_3 Z_4 Z_6 + Z_1 Z_5 Z_6 + Z_2 Z_5 Z_6$ : ce + groupe est l'intersection de $\mathfrak{S}_5$ tel que défini + ci-dessus et de $\mathfrak{A}_6$ ; \item pour $\mathfrak{S}_4 \times C_2$ (d'ordre $48$) : le polynôme - $Z_1 Z_4 + Z_2 Z_5 + Z_3 Z_6 = \frac{1}{2} \sum_{C_6} (Z_1 Z_4)$ ; + $Z_1 Z_4 + Z_2 Z_5 + Z_3 Z_6 = \frac{1}{2} \sum_{C_6} (Z_1 Z_4)$ : + il s'agit des éléments commutant à $C = (14)(25)(36)$ (c'est-à-dire + son centralisateur ou, si on voit $C$ comme un graphe sur + $\{1,2,3,4,5,6\}$, les automorphismes de ce graphe ; la description + comme produit direct $\mathfrak{S}_4 \times C_2$ se voit si on + considère ce groupe comme le stabilisateur de + $\{\mathscr{X},\mathscr{Y}\}$) ; \item pour $(C_3\times C_3):C_4$ (d'ordre $36$) : le polynôme $Z_1^{3} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{3} Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3 Z_4^{3} + Z_1^{2} Z_2^{3} Z_4 Z_5 + Z_2^{2} @@ -2803,9 +2834,17 @@ le résultat final vaut sur $\ZZ$) : Z_1^{2} Z_2^{3} Z_6 + Z_2^{2} Z_4^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_5^{2} Z_6 + Z_4^{2} Z_5^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_2 Z_6^{2} + Z_2^{3} Z_4 Z_6^{2} + Z_4^{3} Z_5 Z_6^{2} + Z_1 Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_1 Z_2^{2} Z_6^{3} + - Z_2 Z_4^{2} Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_5 Z_6^{3} + Z_4 Z_5^{2} Z_6^{3}$ ; + Z_2 Z_4^{2} Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_5 Z_6^{3} + Z_4 Z_5^{2} Z_6^{3}$ : + il s'agit du groupe des permutations stabilisant à la fois + $\mathscr{X}$ et $\mathscr{Y}$, qu'on peut donc voir comme les + permutations sur $\{\mathscr{H}, + \mathscr{U},\mathscr{V},\mathscr{W}\}$ ; \item pour $\mathfrak{S}_4^+$ (d'ordre $24$) : le polynôme $Z_1 Z_2 - Z_3 + Z_3 Z_4 Z_5 + Z_2 Z_4 Z_6 + Z_1 Z_5 Z_6$ ; + Z_3 + Z_3 Z_4 Z_5 + Z_2 Z_4 Z_6 + Z_1 Z_5 Z_6$ : ce groupe est + l'intersection de $\mathfrak{S}_4 \times C_2$ tel que défini + ci-dessus et de $\mathfrak{A}_6$, on peut donc le voir comme le + groupe des permutations paires stabilisant + $\{\mathscr{X},\mathscr{Y}\}$ ; \item pour $\mathfrak{A}_4 \times C_2$ (d'ordre $24$) : le polynôme $Z_1 Z_2 Z_4 + Z_2 Z_3 Z_5 + Z_1 Z_4 Z_5 + Z_1 Z_3 Z_6 + Z_3 Z_4 Z_6 + Z_2 Z_5 Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_2 Z_4)$ ; @@ -2830,9 +2869,19 @@ le résultat final vaut sur $\ZZ$) : Z_5^{2} Z_6 + Z_4 Z_5 Z_6^{2}$ : il s'agit du groupe (diédral d'ordre $6$) des symétries de l'hexagone dont les sommets sont étiquetés par les variables $(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6)$ mais dont un - côté sur deux est coloré différemment ; + côté sur deux est coloré différemment, c'est-à-dire des éléments + commutant à la fois à $X$ et à $Y$, ou encore, stabilisant chacun de + $\mathscr{H}$, $\mathscr{X}$ et $\mathscr{Y}$. \end{itemize} +Nous avons choisi, ci-dessus, un représentant pour chaque classe de +conjugaison de sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_6$. Ces choix +sont tels que les inclusions à conjugaison près sont toutes des +inclusions précises des représentants, aux quatre exceptions +suivantes : $\mathfrak{S}_4^- \subset \mathfrak{S}_5$, $\mathfrak{A}_4 +\subset \mathfrak{S}_5$, $\mathfrak{A}_4 \subset \mathfrak{A}_5$ et +$\mathfrak{S}_3 \subset \mathfrak{S}_3 \times C_3$. + \ifx\danslelivre\undefined |