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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2011-12-23 00:32:07 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2011-12-23 00:32:07 (GMT)
commit385164089b2301ca1840e5b512b1c19cff7ef209 (patch)
tree6cac397f568b97abd31b5252cb477cc3c72754bf /chapitres/calculs-galois.tex
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[calculs] Encore des éclaircissements sur les groupes de permutations transitifs sur six objets.
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index 9dd8e61..5112658 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2673,25 +2673,44 @@ Pour la présentation qui suit, il est utile de rappeler qu'il existe
des automorphismes extérieurs de $\mathfrak{S}_6$ (ce qui n'est pas le
cas de $\mathfrak{S}_n$ pour aucun autre $n$) et la manière dont on
les obtient. On appelle \emph{synthème} un produit de trois
-transpositions disjointes, c'est-à-dire un appariement de chaque
-élément de $\{1,\ldots,6\}$ avec un autre ; on vérifie aisément qu'il
-existe $15$ synthèmes, soit autant que de transpositions, et chaque
-synthème est disjoint de $8$ autres synthèmes (« disjoint » au sens où
-il n'a aucune transposition en commun) ; on appelle \emph{pentade
- synthématique} un ensemble de cinq synthèmes mutuellement disjoints
-(c'est-à-dire une partition en cinq classes des $15$ transpositions) :
-chaque paire de synthèmes disjoints appartient à une et une seule
-pentade synthématique, et il existe six pentades synthématiques, deux
-d'entre elles ayant toujours exactement un synthème en commun. Un
-automorphisme extérieur de $\mathfrak{S}_6$ est déterminé par une
-bijection entre les six objets $\{1,\ldots,6\}$ et les six pentades
-synthématiques sur ces objets : l'automorphisme envoyant la
-transposition échangeant deux objets sur l'unique synthème commun aux
-deux pentades synthématiques choisies pour leur correspondre. Dans ce
-qui suit, nous appellerons $\mathfrak{H}$ la pentade synthématique
-formée des synthèmes disjoints $(12)(34)(56)$ et $(23)(45)(61)$ et des
-trois autres qui leur sont simultanément disjoints (soit
-$(14)(26)(35)$, $(25)(13)(46)$ et $(36)(24)(51)$).
+transpositions disjointes dans $\mathfrak{S}_6$, qu'on peut aussi voir
+comme un appariement de chaque élément de $\{1,\ldots,6\}$ avec un
+autre ; on vérifie aisément qu'il existe $15$ synthèmes, soit autant
+que de transpositions, et chaque synthème est disjoint de $8$ autres
+synthèmes (« disjoint » au sens où il n'a aucune transposition en
+commun) ; on appelle \emph{pentade synthématique} un ensemble de cinq
+synthèmes mutuellement disjoints (c'est-à-dire une partition en cinq
+classes des $15$ transpositions) : chaque paire de synthèmes disjoints
+appartient à une et une seule pentade synthématique, et il existe six
+pentades synthématiques, deux d'entre elles ayant toujours exactement
+un synthème en commun, et chaque synthème appartenant à exactement
+deux pentades synthématiques. Un automorphisme extérieur de
+$\mathfrak{S}_6$ est déterminé par une bijection entre les six objets
+$\{1,\ldots,6\}$ et les six pentades synthématiques sur ces objets :
+l'automorphisme envoie la transposition échangeant deux objets sur
+l'unique synthème commun aux deux pentades synthématiques choisies
+pour leur correspondre, ou, si l'on préfère, cela revient à faire
+opérer $\mathfrak{S}_6$ sur les six pentades synthématiques.
+
+Dans ce qui suit, pour fixer les représentants des classes de
+conjugaisons de sous-groupes que nous allons décrire, nous appellerons
+$X$, $Y$ et $C$ les synthèmes disjoints $(12)(34)(56)$, $(23)(45)(61)$
+(chacune formée d'un côté sur deux de l'hexagone $(1,2,3,4,5,6)$) et
+$(14)(25)(36)$ (appariant chaque sommet de l'hexagone au sommet
+opposé). Nous appellerons aussi $\mathscr{H}$ l'unique pentade
+synthématique contenant les synthèmes disjoints $X=(12)(34)(56)$ et
+$Y=(23)(45)(61)$ (les trois autres étant $(14)(26)(35)$,
+$(25)(13)(46)$ et $(36)(24)(51)$), et $\mathscr{X}$
+(resp. $\mathscr{Y}$) l'unique autre pentade synthématique contenant
+$X$ (resp. $Y$). Si on appelle
+$\mathscr{U},\mathscr{V},\mathscr{W}$ les trois autres pentades
+synthématiques, on gardera à l'esprit que $\mathfrak{S}_6$ peut se
+voir comme les permutations des objets
+$\{\mathscr{H},\mathscr{X},\mathscr{Y},
+\mathscr{U},\mathscr{V},\mathscr{W}\}$ : et notamment, $C$ échange
+$\mathscr{X}$ et $\mathscr{Y}$, tandis que $X$ (resp. $Y$) échange
+$\mathscr{H}$ et $\mathscr{X}$ (resp. $\mathscr{H}$ et
+$\mathscr{Y}$).
Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_6$ possède seize classes de
conjugaison de sous-groupes transitifs, dont les inclusions (à
@@ -2749,25 +2768,37 @@ conjugaison près) sont représentées par le schéma suivant :
À part $\mathfrak{S}_6$ (d'ordre $720$) et $\mathfrak{A}_6$
(d'ordre $360$), ces sous-groupes peuvent être définis comme les
groupes de permutations laissant invariants, sur un anneau quelconque,
-les polynômes suivants (où on utilise la notation $\sum_{C_6} P$ pour
-désigner le polynôme obtenu en sommant toutes les permutations
+les polynômes suivants (relativement auxquels on pourra donc
+considérer des résolvantes), où on utilise la notation $\sum_{C_6} P$
+pour désigner le polynôme obtenu en sommant toutes les permutations
cycliques des variables $(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6)$ à partir d'un
polynôme $P$, et où bien entendu les expressions faisant intervenir
un $\frac{1}{2}$ doivent se comprendre calculées sur $\QQ$ sachant que
-le résultat final vaut sur $\ZZ$) :
+le résultat final vaut sur $\ZZ$ :
\begin{itemize}
\item pour $\mathfrak{S}_5$ (d'ordre $120$) : le polynôme $\sum_{C_6}
(Z_1^{2} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{2} Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2
- Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4^{2} Z_5 + Z_1^{2} Z_3 Z_4^{2} Z_5)$ ;
+ Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4^{2} Z_5 + Z_1^{2} Z_3 Z_4^{2} Z_5)$ :
+ il s'agit du groupe des permutations stabilisant $\mathscr{H}$
+ (c'est-à-dire, si on veut, le normalisateur de cet ensemble comme
+ une partie de $\mathfrak{S}_6$) ;
\item pour $(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3):C_2$ (d'ordre $72$) :
le polynôme $Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4 + Z_1 Z_5 + Z_3 Z_5 + Z_2 Z_6 + Z_4
Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_3)$ ;
\item pour $\mathfrak{A}_5$ (d'ordre $60$) : le polynôme $Z_1 Z_2 Z_3
+ Z_1 Z_2 Z_4 + Z_1 Z_3 Z_5 + Z_2 Z_4 Z_5 + Z_3 Z_4 Z_5 + Z_2 Z_3
- Z_6 + Z_1 Z_4 Z_6 + Z_3 Z_4 Z_6 + Z_1 Z_5 Z_6 + Z_2 Z_5 Z_6$ ;
+ Z_6 + Z_1 Z_4 Z_6 + Z_3 Z_4 Z_6 + Z_1 Z_5 Z_6 + Z_2 Z_5 Z_6$ : ce
+ groupe est l'intersection de $\mathfrak{S}_5$ tel que défini
+ ci-dessus et de $\mathfrak{A}_6$ ;
\item pour $\mathfrak{S}_4 \times C_2$ (d'ordre $48$) : le polynôme
- $Z_1 Z_4 + Z_2 Z_5 + Z_3 Z_6 = \frac{1}{2} \sum_{C_6} (Z_1 Z_4)$ ;
+ $Z_1 Z_4 + Z_2 Z_5 + Z_3 Z_6 = \frac{1}{2} \sum_{C_6} (Z_1 Z_4)$ :
+ il s'agit des éléments commutant à $C = (14)(25)(36)$ (c'est-à-dire
+ son centralisateur ou, si on voit $C$ comme un graphe sur
+ $\{1,2,3,4,5,6\}$, les automorphismes de ce graphe ; la description
+ comme produit direct $\mathfrak{S}_4 \times C_2$ se voit si on
+ considère ce groupe comme le stabilisateur de
+ $\{\mathscr{X},\mathscr{Y}\}$) ;
\item pour $(C_3\times C_3):C_4$ (d'ordre $36$) : le polynôme $Z_1^{3}
Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{3} Z_4^{2}
+ Z_1^{2} Z_2 Z_3 Z_4^{3} + Z_1^{2} Z_2^{3} Z_4 Z_5 + Z_2^{2}
@@ -2803,9 +2834,17 @@ le résultat final vaut sur $\ZZ$) :
Z_1^{2} Z_2^{3} Z_6 + Z_2^{2} Z_4^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_5^{2} Z_6 +
Z_4^{2} Z_5^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_2 Z_6^{2} + Z_2^{3} Z_4 Z_6^{2} +
Z_4^{3} Z_5 Z_6^{2} + Z_1 Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_1 Z_2^{2} Z_6^{3} +
- Z_2 Z_4^{2} Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_5 Z_6^{3} + Z_4 Z_5^{2} Z_6^{3}$ ;
+ Z_2 Z_4^{2} Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_5 Z_6^{3} + Z_4 Z_5^{2} Z_6^{3}$ :
+ il s'agit du groupe des permutations stabilisant à la fois
+ $\mathscr{X}$ et $\mathscr{Y}$, qu'on peut donc voir comme les
+ permutations sur $\{\mathscr{H},
+ \mathscr{U},\mathscr{V},\mathscr{W}\}$ ;
\item pour $\mathfrak{S}_4^+$ (d'ordre $24$) : le polynôme $Z_1 Z_2
- Z_3 + Z_3 Z_4 Z_5 + Z_2 Z_4 Z_6 + Z_1 Z_5 Z_6$ ;
+ Z_3 + Z_3 Z_4 Z_5 + Z_2 Z_4 Z_6 + Z_1 Z_5 Z_6$ : ce groupe est
+ l'intersection de $\mathfrak{S}_4 \times C_2$ tel que défini
+ ci-dessus et de $\mathfrak{A}_6$, on peut donc le voir comme le
+ groupe des permutations paires stabilisant
+ $\{\mathscr{X},\mathscr{Y}\}$ ;
\item pour $\mathfrak{A}_4 \times C_2$ (d'ordre $24$) : le polynôme
$Z_1 Z_2 Z_4 + Z_2 Z_3 Z_5 + Z_1 Z_4 Z_5 + Z_1 Z_3 Z_6 + Z_3 Z_4 Z_6
+ Z_2 Z_5 Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_2 Z_4)$ ;
@@ -2830,9 +2869,19 @@ le résultat final vaut sur $\ZZ$) :
Z_5^{2} Z_6 + Z_4 Z_5 Z_6^{2}$ : il s'agit du groupe (diédral
d'ordre $6$) des symétries de l'hexagone dont les sommets sont
étiquetés par les variables $(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6)$ mais dont un
- côté sur deux est coloré différemment ;
+ côté sur deux est coloré différemment, c'est-à-dire des éléments
+ commutant à la fois à $X$ et à $Y$, ou encore, stabilisant chacun de
+ $\mathscr{H}$, $\mathscr{X}$ et $\mathscr{Y}$.
\end{itemize}
+Nous avons choisi, ci-dessus, un représentant pour chaque classe de
+conjugaison de sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_6$. Ces choix
+sont tels que les inclusions à conjugaison près sont toutes des
+inclusions précises des représentants, aux quatre exceptions
+suivantes : $\mathfrak{S}_4^- \subset \mathfrak{S}_5$, $\mathfrak{A}_4
+\subset \mathfrak{S}_5$, $\mathfrak{A}_4 \subset \mathfrak{A}_5$ et
+$\mathfrak{S}_3 \subset \mathfrak{S}_3 \times C_3$.
+
\ifx\danslelivre\undefined